2023-2024学年高二数学上学期重难点和易错点突破（人教A版2019）专题4.2等差数列的概念（九个重难点突破）含解析.docx

《2023-2024学年高二数学上学期重难点和易错点突破（人教A版2019）专题4.2等差数列的概念（九个重难点突破）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年高二数学上学期重难点和易错点突破（人教A版2019）专题4.2等差数列的概念（九个重难点突破）含解析.docx（45页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023-2024学年高二数学上学期重难点和易错点突破（人教A版2019）专题4.2等差数列的概念知识点一 等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中项由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，通项公式为知识点二 等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1）（2）.（3）,且.2

2、.若分别是公差为的等差数列,则有数列结论公差为d的等差数列(c为任一常数)公差为cd的等差数列(c为任一常数)公差为2d的等差数列(k为常数)公差为的等差数列(p,q为常数)3.下标性质在等差数列中,若,则.特别的,若,则有重难点1利用定义判断等差数列1已知数列中，则 .2已知数列的通项公式为，其中p，q为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？3判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)4判断下列数列是否为等差数列：(1)an=3-2n；(2)an=n2-n.5已知在数列中，则等于 6（多选）若是等差数列，

3、则下列数列中仍为等差数列的是（）ABC(为常数)D重难点2利用定义得到等差数列的通项公式7等差数列3，11，19，27，的通项公式是（）ABCD8已知数列满足，（，），则 9在数列中，则数列的通项公式为 .10已知数列中，且是等差数列，则（）A36B37C38D3911在数列中，则（）ABCD12已知数列（）为等差数列，且，则数列的通项公式为 .重难点3等差数列基本量的计算13已知递增数列是等差数列，若，则（）A2024B2023C4048D404614已知等差数列中， ， ，则首项与公差分别为（）ABCD15已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是 16已知等差数列的前项和为，公差为，且满

4、足，则的取值范围是 .17已知在等差数列中，则 18已知等差数列满足，则的值为 .重难点4等差中项及其应用19一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是 .20已知等差数列满足，则 .21记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（）A0BC1D222有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是 .23已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为 24已知数列满足：，则 重难点5等差数列的性质25已知数列为等差数列，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件26已知正项等差数列，若，则()ABCD27若是公差不为的等差数列，

5、满足，则该数列的前项和（）ABCD28已知等差数列中，是函数的两个零点，则（）A3B6C8D929已知等差数列满足，则 30在等差数列中，若为方程的两根，则 重难点6等差数列的证明31已知数列an满足，令.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式32已知数列满足，（），令.(1)求的值；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.33已知满足，且.(1)求；(2)证明数列是等差数列，并求的通项公式.34数列满足.(1)求的值；(2)设，证明是等差数列.35已知数列满足，.(1)证明：是等差数列；(2)设，求数列的前n项和.36已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足求证：

6、为等差数列；37已知数列的前项和为证明：数列是等差数列；重难点7构造等差数列38在数列中，若，则（）A18B24C30D3639已知数列满足，则（）A2023B2024C2027D404640已知各项均不为0的数列满足，且，则 41已知数列满足，则 .42设数列的前n项和为，且，则 43已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.重难点8等差数列的实际应用44习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列

7、（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A72万元B96万元C120万元D144万元45稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯并n苯结构简式分子式由此推断并十苯的分子式为 .46百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每

8、工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个.47某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废请确定d的取值范围重难点9等差数列与数学文化的结合48周髀算经中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、

9、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（）A尺B13尺C尺D尺49天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重

10、新开始，即“丙子”，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A戊戌年B辛丑年C己亥年D庚子年50九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（）A升B升C升D升51中国古代数学名著算法统宗中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A乙分到37文，丁

11、分到31文B乙分到40文，丁分到34文C乙分到31文，丁分到37文D乙分到34文，丁分到40文52诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 .53中国古代经典数学著作孙子算经记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 专题4.2等差数列

12、的概念知识点一 等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中项由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，通项公式为知识点二 等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1）（2）.（3）,且.2.若分别是公差为的等差数列,则有数列结论公差为d的等差数列(c为任一常数)公差为cd的等差数

13、列(c为任一常数)公差为2d的等差数列(k为常数)公差为的等差数列(p,q为常数)3.下标性质在等差数列中,若,则.特别的,若,则有重难点1利用定义判断等差数列1已知数列中，则 .【答案】【分析】先判断得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解【详解】因为，所以数列是等差数列，公差，又，所以故答案为：2已知数列的通项公式为，其中p，q为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？【答案】一定是等差数列【分析】根据等差数列定义证明数列是等差数列.【详解】取数列中任意相邻两项与，作差得，它是一个与n无关的常数，所以数列一定是等差数列3判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由

14、(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)【答案】(1)是，公差为6(2)不是等差数列(3)是，公差为【分析】结合等差数列的定义判断即可；【详解】（1）因为，所以是等差数列，且公差为6（2）因为，所以，因此不是等差数列（3）因为，所以是等差数列，且公差为4判断下列数列是否为等差数列：(1)an=3-2n；(2)an=n2-n.【答案】(1)是等差数列(2)不是等差数列【分析】（1）（2）根据等差数列的定义判断即可.【详解】（1）因为，是常数，所以数列an是以为公差的等差数列（2）因为，不是常数，所以数列an不是等差数列5已知在数列中，则等于 【答案】【分析】根据题意可得数

15、列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，故，所以故答案为：6（多选）若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（）ABC(为常数)D【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A不符合题意；对于选项B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，故选项B符合题意；对于选项C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列，故为等差数列，故选项C符合题意；对于选项D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数

16、列，故选项D符合题意，故选：BCD.重难点2利用定义得到等差数列的通项公式7等差数列3，11，19，27，的通项公式是（）ABCD【答案】B【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.【详解】因为等差数列的首项，公差，所以通项公式为.故选：B8已知数列满足，（，），则 【答案】【分析】由题意得到为等差数列，公差为1，从而求出通项公式.【详解】因为（，），故为等差数列，公差为1，所以.故答案为：9在数列中，则数列的通项公式为 .【答案】【分析】根据可得为等差数列，从而可求的通项公式.【详解】由题设可得，故为等差数列，故，故，故答案为：10已知数列中，且是等差数列，则（）A36B37C38D39

17、【答案】A【分析】根据等差数列的定义写出的通项公式，再利用累加法求.【详解】因为，所以，又是等差数列，故首项为3，公差为2，所以，所以故选：A.11在数列中，则（）ABCD【答案】B【分析】先把变形得到，再由等差数列的定义即可求出通项公式.【详解】由得，令，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即，所以.故选：B12已知数列（）为等差数列，且，则数列的通项公式为 .【答案】【分析】根据等差数列的概念可得数列的通项公式，进而可得.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以，即，故答案为：.重难点3等差数列基本量的计算13已知递增数列是等差数列，若，则（）A2024B2023C404

18、8D4046【答案】C【分析】设数列的公差为d（），解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求，即可得结果；解法二：根据等差数列的性质并以为中心求，即可得结果.【详解】解法一：设数列的公差为d（），因为，则，解得，所以；解法二：设数列的公差为d（），由得，又因为，即，解得，所以.故选：C14已知等差数列中， ， ，则首项与公差分别为（）ABCD【答案】D【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】设等差数列的公差为，依题得，解得.故选：D15已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是 【答案】【分析】根据题意求出首项和公差的关系，表示出即可求出其取值范围.【详解】设等差数列的公差为，因为单调

19、递增，所以，由，所以，则，所以的取值范围是.故答案为：16已知等差数列的前项和为，公差为，且满足，则的取值范围是 .【答案】【分析】根据已知判断等差数列先正后负，是递减数列，即可得出，再根据等差数列通项结合已知列不等式，即可解出答案.【详解】，则，解得，即的取值范围是.故答案为：.17已知在等差数列中，则 【答案】20【分析】设等差数列的公差为，进而列出方程求得，进而求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，则.故答案为：20.18已知等差数列满足，则的值为 .【答案】3【分析】由等差数列通项公式得，即，进而求出【详解】由等差数列通项公式得，即，故，.故答案为：3重难点4等差中项及

20、其应用19一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是 .【答案】12.【分析】方法一：设出直角三角形的三边以及公差，进而通过基本量结合面积公式和勾股定理建立方程组求出三边，进而得到答案；方法二：设出直角三角形的三边，利用等差中项建立等式，进而结合面积公式和勾股定理解出三边，进而得到答案.【详解】方法一：设c为斜边，公差为d，则abd，cbd，所以解得b4，d，从而a3，c5，abc12.方法二：设c为斜边，因为是直角三角形且三边长a，b，c成等差数列，且面积为12，可得：解得故三角形的周长为abc12.故答案为：12.20已知等差数列满足，则 .【答案】【分析】由等差数

21、列的性质可得，代入条件式，可求得，再根据，可得解.【详解】在等差数列中，又，解得，又，而，解得.故答案为：.21记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（）A0BC1D2【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及等差中项的意义列式求解即得.【详解】等差数列的公差为，由是与的等差中项，得，即，整理得，而，解得，所以d的值为1.故选：C22有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是 .【答案】/0.75【分析】利用等差中项易知，再由基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.【详解】由，且，则，当且仅当时等号成立且满足题设.故答案为：23已知是等差数列，且是和的等差中

22、项，则的公差为 【答案】2【分析】利用等差中项的性质和通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值.【详解】设等差数列的公差为d，由已知条件，得，即，解得.故答案为：2.24已知数列满足：，则 【答案】【分析】由，得，可知为等差数列，从而可以求出的通项公式，进而可求出的值【详解】解：由，得，为等差数列又，故答案为【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了通项公式的求法，证明数列是等差数列是解决本题的关键.重难点5等差数列的性质25已知数列为等差数列，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据等差数列的性质，结合已知可得充分性成

23、立；举例即可说明必要性不成立.【详解】当时，根据等差数列的性质可得，故充分性成立；当为常数列时，有，由，此时即可，故必要性不成立因此“”是“”的充分不必要条件，故选：A26已知正项等差数列，若，则()ABCD【答案】C【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出和，进而求出公差即可求解.【详解】在等差数列中，依题意，故，解得，故和是的两根，解得，因为为正项等差数列，故公差，从而，则，即，所以.故选：.27若是公差不为的等差数列，满足，则该数列的前项和（）ABCD【答案】C【分析】设等差数列的公差为，可得，根据题意求得，然后利用等差数列的基本性质得出，利用等差数列求和公式可求得的值.【详解】设等

24、差数列的公差为，可得，即，所以，由等差数列的基本性质可得，即，所以，.故选：C.【点睛】本题考查等差数列求和，考查了等差数列基本量和基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.28已知等差数列中，是函数的两个零点，则（）A3B6C8D9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，数列为等差数列，.故选：B.29已知等差数列满足，则 【答案】5【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】因为，且，所以，解得.故答案为：30在等差数列中，若为方程的两根，则 【答案】15【分析】由等差数列的性质以及一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】因为若

25、为方程的两根，由韦达定理可得，所以由等差数列的性质得:故答案为：15.重难点6等差数列的证明31已知数列an满足，令.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的通项公式【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将递推关系代入，利用定义证明是等差数列；（2）由等差数列通项公式求，进而得.【详解】（1），又，是首项为，公差为的等差数列（2）由（1）知，.32已知数列满足，（），令.(1)求的值；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.【答案】(1)，(2)证明见解析，【分析】（1）采用迭代法，可求，;（2）将转化为，即可证明数列是等差数列，算出数列的通项公式后即可计算数列的通项公式.【

26、详解】（1）因为，且，当时，当时，.（2）因为，所以，两边同时取倒数有：，令，有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.33已知满足，且.(1)求；(2)证明数列是等差数列，并求的通项公式.【答案】(1)(2)证明详见解析，【分析】（1）根据递推关系求得正确答案.（2）根据已知条件进行整理，结合等差数列的定义进行证明，进而求得.【详解】（1）依题意，所以，所以.（2）依题意，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以.34数列满足.(1)求的值；(2)设，证明是等差数列.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可；（2）结合递推关系式与等差数列的定义证

27、明即可.【详解】（1）数列满足所以，（2）为等差数列.35已知数列满足，.(1)证明：是等差数列；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)将已知表达式变形为，通过配凑的方法可以得到是等差数列；(2)由第一问可以求得数列的通项公式，代入，用错位相减法可以求得前n项和.【详解】（1）由题可知，所以，所以.所以.又，所以是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）可得，所以所以.所以.所以.两式相减，得所以.36已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足求证：为等差数列；【答案】证明见解析【分析】根据所给递推公式及前项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；【详

28、解】当时，解得或，又，所以，故，由，可得，所以，当时，所以，即，所以，即，所以是以为首项，1为公差的等差数列37已知数列的前项和为证明：数列是等差数列；【答案】证明见解析【分析】利用与的关系及等差数列的定义即可求解.【详解】因为，即，即，是1为首项，1为公差的等差数列重难点7构造等差数列38在数列中，若，则（）A18B24C30D36【答案】A【分析】由已知可得，则数列是等差数列，从而可求出，进而可求得，然后由可求得结果.【详解】由且数列不存在为0的项，得，所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，所以由，得，故选：A39已知数列满足，则（）A2023B2024C2027D4046【答案】C

29、【分析】由可得，进而可得，则有数列的偶数项是以为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】由，得，由得，所以数列的偶数项是以为公差的等差数列，则，所以.故选：C.40已知各项均不为0的数列满足，且，则 【答案】/【分析】将取倒数化简可得，即判断为等差数列，即可求得的通项公式，即可得答案.【详解】由题意知数列满足，即，即，即为首项是，公差为1的等差数列，故， 故，故答案为：41已知数列满足，则 .【答案】120【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，可求得数列的通项，即可得解.【详解】因为，所以，即，等式两边开方可得：，即，所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，所以，所以，所

30、以.故答案为：120.42设数列的前n项和为，且，则 【答案】【分析】题中所给式子无法直接根据进行转化，考虑使用进行转化，先求出，再求【详解】由，得到，然后两边同除以得到，即，于是数列是公差为的等差数列而，于是，进而得到，所以当时，有（）综上所述，故答案为：43已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用构造法，先求得，进而求得.（2）利用裂项求和法求得.【详解】（1）由得：，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以，所以；（2），所以.重难点8等差数列的实际应用44习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键要积极培养本土人才，鼓励

31、外出能人返乡创业为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A72万元B96万元C120万元D144万元【答案】C【分析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列的公差为，由题意可知，五年累计总投入资金为：，因为，所以，当且仅当时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.4

32、5稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯并n苯结构简式分子式由此推断并十苯的分子式为 .【答案】【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中、的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【详解】因为稠环芳香烃的分子式中下标分别是：，的下标分别是：所以稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为4，所以通项公式为：，稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差

33、为2，所以通项公式为：，所以并n苯的分子式为：，因此当时，得到并十苯的分子式为：.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.46百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们

34、约定的“家庭日”共有 个.【答案】 ； .【分析】根据等差数列的性质进行求解即可.【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假，所以有，若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有，此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为，设共有项，所以有；若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有，此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为，设共有项，所以有，所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天，故答案为：；47某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元已

35、知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废请确定d的取值范围【答案】【分析】这台设备使用n年后的价值构成一个数列由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元可以利用的通项公式列不等式求解【详解】解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列由已知条件，得由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列因为购进设备的价值为220万元，所以，于是根据题意，得，即，解这个不等式组，得所以d的取值范围为重难点9等差数列与数学文化的结合48周髀算经中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、

36、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（）A尺B13尺C尺D尺【答案】D【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列，公差为，则由题意可得，则小满当日日影长故选：D49天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”

37、起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A戊戌年B辛丑年C己亥年D庚子年【答案】D【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合，分别求出100年后天干为庚，地支为子，得到答案.【详解】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，余数为0，故100年后天干为庚，由于，余数为4，故100年后地支为子，综上：100年后的2080年为庚子年.故选：

38、D.50九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（）A升B升C升D升【答案】A【分析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列，设其首项为，公差为，由题意可得，所以，解得，所以，即第5节竹子的容积为升故选：A51中国古代数学名著算法统宗中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到

39、75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A乙分到37文，丁分到31文B乙分到40文，丁分到34文C乙分到31文，丁分到37文D乙分到34文，丁分到40文【答案】A【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，则，解得，所以乙分得（文），丁分得（文），故选：A.52诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 .【答案】【分析】

40、由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为，首项为的等差数列，求出通项公式，再解不等式即可.【详解】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为，首项为的等差数列，所以，令，即，解得，又，所以、，所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为次.故答案为：.53中国古代经典数学著作孙子算经记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 【答案】196【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则，令，解得，则数列的最大项为，所以该数列最大项和最小项之和为故答案为：196.