湘豫名校联考2023-2024学年高二上学期1月阶段性考试数学试题含答案.pdf

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1、#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#书书书数学参考答案第页（共页）湘 豫 名 校 联 考 学年高二（上）月阶段性考试数学参考答案题号 答案 一、选择题：本题共小题，每小题分，共 分在每小题给出的四个选项中，只有

2、一项是符合题目要求的【解析】因为狕 （）（）（）（），所以狕，其虚部为 故选【解析】因为有个数据，所以第 百分位数为 所以平均数为，可求得犪，所以该组数据的中位数为犪 故选【解析】因为抛物线犆：狔狆 狓（狆）的准线犾为狓，所以狆所以抛物线犆的方程是狔狓，则犉（，）设犕（狓犕，狔犕），犖（，狔犖）因为 犉犕 犉犖，所以（狓犕，狔犕）（，狔犖），解得狓犕所以犉犕狓犕狆故选【解析】因为犉狀狀，所以犪狀 犉狀（）狀所以犪犽犪犽犪犽犪犽（）犪犽（）所以犪犽，即犽，解得犽故选【解析】设犃犻“甲答对了第犻道题”，犅犻“乙答对了第犻道题”，犻，犆“两道题都被答对”，则犘（犃），犘（犃），犘（犅），犘（犅）方法

3、一：易知犆犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅所以犘（犆）犘（犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）方法二：犘（犆）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）方法三：犘（犆）犘（犃犃）犘（犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）犘（犃犃犅犅）故选【解析】因为平面的方程为狓狔狕，所以平面的一个法向量为犿（

4、，）同理可知，犿（，）与犿（，）分别为平面狓狔与狓狕的一个法向量 设直线犾的方向向量为狀（狓，狔，狕），则犿狀，犿狀，即狓狔，狓狕 不妨取狓，则狀（，）设直线犾与平面所成的角为，则#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#数学参考答案第页（共页）狊 犻 狀 犿，狀犿狀犿狀槡槡 所以 槡槡 故选 【解析】由题设知，犃 犉犪犮，则犛犃 犘 犉狔犘犃 犉犃 犉，所以犪犮，且犮犪 易知犪，又点犘（，）在犆上，所以犪犫，所以犫犪犪犫 因为犪犫犮，所以（犮犪）犪犪（犮犪），则犪 犪犮（犪）（犪）（犪），化简得犪犪犪（犪）（犪犪），解得犪或犪

5、槡（舍去）综上所述，犪 所以犮 故犆的离心率为犮犪 故选【解析】因为犈为线段犆 犅上的动点，所以可设 犆 犈 犆 犅，所以 犃 犈 犃 犆 犆 犈 犃 犆 犆 犅 犃 犆 犆 犅犅 犅（）犃 犆 犃 犅 犃 犆犃 犃（）犃 犅 （）犃 犆犃 犃 因为犅 犇犃 犈，且 犅 犇 犃 犇 犃 犅犃 犆 犃 犅 犃 犆犃 犃 犃 犅，所以 犅 犇 犃 犈 犃 犆犃 犃 （）犃 犅 犃 犅 （）犃 犆犃 犃 因为犃 犃 犃 犅，犃 犃 犃 犆，所以 犅 犇 犃 犈 犃 犆 犃 犅（）犃 犆犃 犃 犃 犅（）犃 犅 犃 犆因 为 犃 犆 犃 犅，犃 犃 犃 犅 犃 犆，所 以 犅 犇 犃 犈（）（），所以

6、，即点犈与点犆重合，所以犃 犈犃 犆故选注：本题也可用坐标法二、选择题：本题共小题，每小题分，共 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分 【解析】对于，由题意可得，圆犆的圆心为犆，（），半径狉，圆犆的圆心为犆，（），半径狉，则两圆圆心距犆犆槡 狉狉，所以两圆相离，故与圆犆和圆犆都相切的直线有四条，错误；对于，易得点犆，（）与点犆，（）到直线狓狔槡 的距离犱犱狉狉，故直线狓狔槡与圆犆和圆犆都相切，正确；对于，犘 犙 犆犆狉狉槡，犘 犙 犆犆狉狉槡，正确；对于，易知当犕犙犖时，四边形犗犕犙犖为正方形，所以当犙 犗槡 时，犕犙犖，而犙 犗 槡 槡，

7、矛盾，错误 故选 【解析】对于，因为犛狀犪狀犪狀，犪，当狀时，犛犪犪，解得犪；当狀时，犛狀犪狀犪狀，所以犪狀犪狀犪狀犪狀犪狀，即犪狀犪狀犪狀犪狀（）又犪犪，所以犪狀犪狀是首项为，公比为的等比数列，正确 对于，由 易得，犪狀犪狀狀，则狀犪狀狀犪狀 又犪，所以狀犪狀是首项为，公差为的等差数列 所以狀犪狀狀 所以犪狀狀狀，错误对于，因为犛狀 犪狀犪狀，犪狀狀狀，所以犛狀犪狀犪狀 狀 狀，正确对于，因为犫狀狀（）狀犪狀狀（）狀狀狀狀狀（），所 以犜狀（）狀#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#数学参考答案第页（共页）狀（）狀狀 狀（

8、），错误 故选 【解析】如图，以犇为原点，犇 犃，犇 犆，犇犇所在直线分别为狓轴、狔轴、狕轴建立空间 直 角 坐 标 系，不 妨 设 正 方 体 的 棱 长 为，则犇，（），犃，（），犅，（），犆，（），犃，（），犅，（），犇，（），因为犈，犉，犌分别为棱犃犇，犃 犃，犆 犇的中点，所以犈，（），犉，（），犌，（）对于，因为犅犌，（），犅 犉，（），所以犅犌 犅 犉（）（）（）（）所以犅犌 犅 犉，即犅犌犅 犉，正确对于，因为 犅 犈，（），所以犅犌 犅 犈（）（）（）（）（）所以犅犌 犅 犈，即犅犌犅 犈，错误对于，如图，分别延长犈 犉，犇 犃相交于点犕，连接犕犆交犃 犅于点犘，因为犉为棱犃

9、 犃的中点，所以犃犉犃 犉 因为犈 犃犉犕犃 犉 ，犃犉 犈犃 犉犕，所以犈 犃犉 犕犃 犉，所以犈 犃犕犃 因为犃 犘犆 犇，所以犕犃 犘犕犇 犆，所以犕犃犕犇犃 犘犇 犆 因为犃 犅犆 犇，所以犃 犘犃 犅，即犃 犘犃 犅，正确对于，设平面犅 犈 犉的法向量为犿（狓，狔，狕），则犿 犅 犈狓狔狕，犿 犅 犉狔狕，不 妨 令狔，得犿（，）又犅犉，（），设直线犅犉与平面犅 犈 犉所成的角为，则 犅犉，犿犅犉犿犅犉犿槡槡 ，错误故选 【解析】对于，因为椭圆犆的长轴长为犪，所以犪又椭圆犆的离心率犲犮犪，所以犮所以犫犪犮所以椭圆犆：狓狔，正确对于，若椭圆犆上存在点犕，使得犕犉犕犉，则点犕在圆狓狔上又

10、 方 程 组狓狔，狓狔烅烄烆无 解，错 误对 于，设犉犘 犉，犘 犉狆，犘 犉狇，则狆 狇在犘 犉犉中，由 余 弦 定 理 可 得 犘 犉犘 犉犉犉犘 犉犘 犉狆狇 犮狆 狇狆（）狇 狆 狇犮狆 狇因为，所以 槡 所以犛犘 犉犉犘 犉犘 犉 犉犘 犉狆 狇 槡 槡，正确 对于，犉（，），设直线犾：狓狋 狔，犃（狓，狔），犅（狓，狔）由狓狋 狔，狓 狔，消去狓并整理，得：（狋）狔狋 狔，狋（狋）恒成立，所以狔狔狋狋，狔狔狋依题意有（犃 犉犃 犉 犮）狉犮狔，得（犪犮）狉犮狔，所以（）狉 狔，即狉狔同理可得狉狔因为狉狉，所以狔 狔 又狔狔，所以狔狔 又狔狔狋狋，所以狔狔狋狋，#QQABLYKQog

11、CgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#数学参考答案第页（共页）解得狔狋狋，狔 狋狋 代入到狔狔狋，得 狋（狋）狋，解得狋，所以直线犾的斜率为犽狋槡，正确 故选 三、填空题：本题共小题，每小题分，共 分 【解析】因为犪，（）犿，犫狀，（），犪犫，所以犪犫，即狀犿，得狀犿又犪犫狀，犿（），所以犪犫 （）狀犿（）槡犿（）（）犿槡槡，解得犿 所以犿狀犿 狓槡 狔【解析】由题意得犾：狓犿 狔恒过点犘，（），圆犆：狓狔狓槡 狔的标准方程为狓（）狔槡（），所以圆心犆，槡（），狉，点犘在圆犆内方法一：由直线与圆的几何性质知，当犘 犆犾时，所截得弦长最短，此时犽犘

12、 犆犽犾，即犿 犽犘 犆槡（）槡，所以直线犾的方程为狓槡 狔方法二：易得直线犾的方向向量为狀（犿，），犘 犆（，槡）当圆犆截直线犾所得的弦长最短时，狀 犘 犆，所以狀 犘 犆，解得犿槡，所以直线犾的方程为狓槡 狔 ，（）【解析】设等差数列犪 狀的公差为犱，则犱因为犪，且犪，犪构成等比数列，所以犪犪（）犪（）犱犪犱（）（）犱（）犱，整理得犱犱，解得犱或犱（舍去）所以犪狀狀（）狀，则犫狀狀，所以犛狀狀 （）狀 狀（）由 狀犛狀犪狀，得 狀狀（）狀 当狀为 奇 数 时，狀（）狀，即（）狀狀 （）；当狀为偶数时，狀（）狀，即 狀（）狀 （）（或当时，由（），得；当时，由（），得）综上所述，实数的取值范

13、围为，（）【解析】如图，以点犅为坐标原点，犅 犆，犅 犃，犅 犅所在直线分别为狓轴，狔轴，狕轴，建立空间直角坐标系犅 狓 狔 狕，则犈，（），犅，（）连接犃犆，犃 犆相交于点犗，直三棱柱犃 犅 犆犃犅犆中，犃 犅犅 犆，故此三棱柱的外接球即为以犅 犃，犅 犆，犅 犅分别为长、宽、高的长方体的外接球，且点犗为外接球球心 因为犃，（），犆，（），所以犗，（），所以外接球半径为犆 犗槡槡 设平面犃犅犈的法向量为狀（狓，狔，狕），则狀犅犃（狓，狔，狕）（，）狔，狀犅 犈狓，狔，（）狕（，）狓 狕，解得狔，令狓，则狕，所以狀，（）所以点犗，（）到平面犃犅犈的距离为犱 犗 犈狀狀，（），（）槡槡所以平面截

14、此三棱柱的外接球所得的截面圆的半径为犚犆 犗犱槡槡槡，故截面面积为犚 四、解答题：本题共小题，共 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【解析】（）因为当狀时，狀 犛狀狀（）犛狀 狀（）犛狀，#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#数学参考答案第页（共页）所以狀 犛狀犛（）狀狀（）犛狀犛狀（），即狀 犪狀狀（）犪狀，分所以犪狀狀犪狀狀狀 狀（）狀狀，分所以犪狀狀犪狀狀犪狀狀（）犪狀狀犪狀狀（）犪犪（）犪狀（）狀狀狀（）（）狀，所以犪狀狀分又犪满足上式，故犪狀狀（狀）分（）由（）知，犫狀犪狀犪狀（）狀（）狀（）狀狀（），分所以

15、犜狀犫犫犫狀（）（）（）狀狀（）狀（）又犜狀，分解得狀，故狀的最大值为 分【解析】（）依题意知，犉，（）当直线犾的斜率不存在时，直线犾的方程为：狓，此时犃 犅，不合题意，所以直线犾的斜率存在，设直线犾的方程为：狔犽（狓）分联立方程狔狓，狔犽（狓），消去狔可得：犽狓（犽）狓犽（犽）犽犽 犽，设犃 狓，狔（），犅 狓，狔（），则狓狓（犽）犽犽分因为犃 犅狓狓犽，解得犽槡 所以直线犾的方程为狔槡 狓槡 或狔槡 狓槡 分（）显然直线犾的斜率不为，设直线犾的方程为狓犿 狔，由狓犿 狔，狔狓，消去狓可得：狔犿 狔，显然分如图，设犃（狓，狔），犅（狓，狔），狔，狔，则狔狔，即狔狔分因为犃 犗 犅的面积为犛犗

16、 犈（狔狔）狔狔，分犅 犗 犉的面积为犛犗 犉狔狔，分所以犛犛（狔狔）狔（）狔狔狔 狔狔 狔槡槡，分当且仅当狔 狔，即狔槡 时取等号所以犛犛的最小值为槡 分【解析】（）方法一：设犪 狀的公差为犱，#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#数学参考答案第页（共页）依题意得犪犱犪（）犱，犪犱烅烄烆，分解得犪，犱分所以犪狀犪狀（）犱狀（）狀狀犖（）分方法二：设犪 狀的公差为犱，因为犛犪且犪，且由等差数列的性质得犛犪 犪（）犱 （）犱，犪 犪（）犱 （）犱，分所以（）犱（）犱，解得犱分所以犪狀犪狀（）犱狀（）狀狀犖（）分（）数列犫 狀中

17、，犜狀犜狀狀，当狀时，犜狀犜狀狀，两式相减，得犜狀犜狀犜狀犜狀（），即犫狀犫狀所以犫狀犫狀（）分又当狀时，犜犜，所以犫犫犫，又犫，所以犫 从而犫犫（），故总有犫狀犫狀（），狀犖又因为犫，所以犫狀，从而犫狀犫狀分所以犫狀是以犫为首项，为公比的等比数列所以犫狀狀，所以犫狀狀分由（）知，犪狀狀，所以犮狀（犪狀）（犫狀）狀狀狀狀分设犱狀狀狀，犱 狀的前狀项和为犃狀，则犃狀狀狀，所以犃狀狀（）狀狀狀得犃狀 狀（）狀狀狀狀狀，分所以犎狀犃狀狀狀（）狀 狀（）狀 分【解析】（）设双曲线犈的半焦距为犮，则犮槡，所以犪犫分又犈过点犘槡，槡（），所以犪犫分由，可解得犪，犫，所以犈的标准方程为狓狔分（）当直线犕犖的

18、斜率存在时，设犕犖：狔犽 狓犿（犽），犕 狓，狔（），犖 狓，狔（），由狔犽 狓犿，狓狔，消去狔可得犽（）狓犽 犿 狓犿（），由题意知（犽 犿）犿（）犽（），即犽犿，且狓狓犽 犿犽，狓狓犿犽，分#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#数学参考答案第页（共页）狔狔犽 狓（）犿犽 狓（）犿犽狓狓犽 犿 狓狓（）犿由（）知犃（，），因为犃犕犃犖，又 犃犕（狓，狔），犃犖（狓，狔），所以 犃犕 犃犖狓（）狓（）狔狔，分所以犽（）狓狓犽 犿（）狓狓（）犿，所以犽（）犿犽犽 犿（）犽 犿犽犿化简得犿 犽 犿 犽，即犿（）犽犿（）犽分所以犿

19、犽或犿 犽，且均满足犽犿当犿犽时，直线犕犖的方程为狔犽 狓（），过定点，（），与已知矛盾；分当犿 犽时，直线犕犖的方程为狔犽 狓（），过定点，（）分当直线犕犖的斜率不存在时，由对称性不妨设直线犃犕：狔狓，与双曲线犈的方程联立解得狓犕狓犖，此时直线犕犖也过点，（）分综上所述，直线犕犖过定点，（）分【解析】（）由题设，知犃 犅犇 犆，所以犃 犅 犇犅 犇 犆 又犅 犆犆 犇，所以犅 犆 犇为等边三角形，所以犅 犇犅 犆分在犃 犅 犇中，犃 犅，犅 犇，所以犃犇犃 犅犅 犇犃 犅犅 犇 犃 犅 犇，图即犃犇 ，则犃犇槡 所以犃犇犅 犇犃 犅，即犃犇犅 犇分又犘 犅犃犇，犘 犅犅 犇犅，所以犃犇平面犘

20、 犅 犇因为犃犇平面犃 犅 犆 犇，所以平面犘 犅 犇平面犃 犅 犆 犇分如图，设犗为犅 犇的中点，连接犘 犗，因为犘 犅犘 犇，所以犘 犗犅 犇又因为平面犘 犅 犇平面犃 犅 犆 犇犅 犇，犘 犗平面犘 犅 犇，所以犘 犗平面犃 犅 犆 犇，所以犘 犗即为点犘到平面犃 犅 犆 犇的距离分在 犘 犗 犅中，犘 犅，犅 犗，所以犘 犗犘 犅犅 犗槡槡，即点犘到平面犃 犅 犆 犇的距离为槡分（）如图，连接犗 犆，则犗 犆犅 犇，且犗 犆平面犃 犅 犆 犇，所以犘 犗犗 犆，所以犘 犗，犅 犇，犗 犆两两互相垂直以犗为原点，犗 犅，犗 犆，犗 犘所在直线分别为狓轴、狔轴、狕轴建立空间直角坐标系犗 狓

21、 狔 狕图则犅，（），犆，槡，（），犇，（），犘，槡（），所以 犘 犆，槡，槡（），犇 犅（，），犅 犆，槡，（），犅 犘，槡（）若犘 犆上存在点犉满足题意，不妨设 犘 犉 犘 犆，则犉，槡，槡（）（），所以 犅 犉，槡，槡（）（）分#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#数学参考答案第页（共页）设犿（狓，狔，狕）是平面犅 犇 犉的法向量，则犿 犅 犉狓槡 狔槡（）狕，犿 犇 犅狓烅烄烆，解得狔狕，不妨取狕，则平面犅 犇 犉的一个法向量为犿，（）分同理，设狀狓，狔，狕（）是平面犘 犅 犆的法向量，则狀 犅 犘狓槡狕，狀 犅 犆

22、狓槡狔烅烄烆，解得狓槡 狔槡 狕，不妨取狔狕，则狓槡，所以平面犘 犅 犆的一个法向量为狀槡，（），分所以 犿，狀犿狀犿狀（）槡槡，化简整理得，解得或即 犘 犉 犘 犆或 犘 犉 犘 犆 分故在犘 犆的三等分点处存在点犉，可使得平面犇 犅 犉与平面犘 犅 犆夹角的余弦值为 分【解析】（）设椭圆犆的半焦距为犮，由题意，得犲犮犪槡，可得犪犮分又犪犫槡，犪犫犮，解得犪，犫分所以椭圆犆的标准方程为狓狔分（）设点犗到直线犾的距离为犱，犘（狓，狔），犙（狓，狔）当直线犾的斜率不存在时，设直线犾的方程为狓犿（槡 犿槡，且犿），则狔犿槡，所以犛犗 犘 犙犱 犘 犙犿犿槡槡，当犿时等号成立即当犿时，犗 犘 犙的面

23、积最大，此时犽犗 犘犽犗 犙狔狓狔狓当直线犾的斜率存在时，设直线犾的方程为狔犽 狓狋狋，且狋（），由狔犽 狓狋，狓狔，消去狔并整理可得犽（）狓犽 狋 狓狋由题意知 犽狋 犽（）狋（）犽狋（），狓狓犽 狋犽，狓狓狋犽狋（），分则犘 犙犽槡狓狓（）狓狓槡犽槡 犽狋（）槡犽又犱狋犽槡，分#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#数学参考答案第页（共页）所以犛犗 犘 犙犱 犘 犙槡狋犽狋槡犽槡狋犽狋犽槡，当且仅当狋犽狋槡时，等号成立分所以当犽狋狋，且狋（）时，犗 犘 犙的面积最大分此时犽犗 犘犽犗 犙狔狓狔狓犽 狓（）狋犽 狓（）狋狓狓犽狓狓犽 狋 狓狓（）狋狓狓犽犽 狋犽 狋狋狋犽（）狋犽狋狋狋（）狋狋 分综上所述，当犗 犘 犙的面积最大时，犽犗 犘犽犗 犙 分#QQABLYKQogCgAAAAARhCUQX4CAKQkAACACoGhAAAMAABgRNABAA=#