【教案】等比数列的概念第1课时+教学设计高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

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1、4.3.1等比数列的概念（第1课时）教学设计一、本课在教材中的地位等比数列是人教A版（2019）数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.等比数列是另一个常见的简单数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，给出等比中项的概念.二、教学目标1.通过类比和归纳的方法得到等比数列的定义和通项公式，能够应用等比数列的通项公式解决简单的问题;2.学生通过观察、抽象、推理、应用的过程，获得用数学的眼光观察现

2、实世界，用数学的语言描述现实世界的实际感受，提高其数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养.三、核心素养1数学抽象： 等比数列的概念2逻辑推理： 等比数列通项公式的推导3数学运算： 等比数列通项公式的运用4数据分析： 学习等比数列的概念 ，同时探究等比数列通项公式的推导方法，提高学生数学判断的能力，以及参与数学活动的能力.四、教学重点、难点1、重点：等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式 2、难点：等比数列通项公式的推导和运用五、教学过程设计（一）复习引入问题1：如何说明一个数列是等差数列？从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。具体实例等差数列的概念代数运算归纳法通项公式函数

3、角度数数一次函数形形抽象概念问题2：在学习等差数列时我们是从哪些方面来进行学习的？累加法（二）观察分析，感知概念引导探究1 等比数列及等比中项的概念问题2：类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，观察以下几个数列，思考它们有何共同特征？1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: , , , ., ; , , , ., ; , , , ., . 2.庄子天下中提到: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭.” 如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”, 那么从第1天开始, 各天得到的“棰”的长度依次是 3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖

4、一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2, 4, 8, 16, 32, 64,. . 【师生活动】 学生独立思考、讨论交流教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“等差数列”；然后指引学生回顾等差数列相邻两项的关系，确定新数列的研究问题：相邻两项比是固定常数【设计意图】意在引导学生从运算的角度，类比已有研究对象的主要特征，发现一个新的特殊数列作为研究对象，这样的过程有利于培养学生发现问题和提出问题的能力（三）抽象概括，形成概念追问：（1）类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？可以用符号语言表示吗？一般地，如果一个数列从第2项

5、起，每一项与它的前一项的比都等于同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等 差 数列的公比，通常用字母表示.（2）从等比数列的符号语言可以发现等比数列的每一项和公比应满足什么条件？注: 从第二项起每一项与它的前一项之比为常数;任意一项且; 时，为非零常数列.【师生活动】 教师引导学生观察、分析， 等比数列的每一项，公比【设计意图】让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论同时增强学生对数列的每一项和公比均不等于0的了解和记忆，这是一个提升学生数学抽象素养的时机例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比（1）1 ， ， ， ， ，

6、； 不是（2）10 , 10 , 10 , 10 , 10 ， ； 是，公比是1（3） ， ， ， ， ； 是，公比（4）1，0，1，0，1， 不是（5）1，-4，16，-64，256， 是，公比是-4（6）-1，-4，-16，-64，-256， 是，公比是4【师生活动】请学生根据所学的等比数列的概念判断数列是否为等比数列【设计意图】进一步巩固等比数列的概念追问：（1）观察题（2）是公比为1的等比数列，那么它是等差数列吗？数列“0,0,0,0,0.”是等差数列吗？（2）观察（2）、（3）、（6）它们有什么共同特征？（5）这个数列跟前3个相比有什么区别？结论：非零常数列既是等差数列又是等比数列；

7、q0时，等比数列各项符号相同；q0 时，等比数列正负交替，是摆动数列.问题4：回忆等差中项的概念和关系，类比等差中项的定义，如果在与中间插入一个数，使，成等比数列，则G可以叫与做的等比中项吗？如果可以，他们有什么关系？如果三个数, G, 组成等比数列，那么G叫做和的等比中项.，那么叫做与的等比中项此时，【师生活动】 【师生活动】 根据学生探究的情况，教师引导，帮助学生建立等比中项的定义【设计意图】对于难度不大的内容，引导学生通过类比的方法去找到等比数列中相邻三项的关系，并抽象概念得到等比数列的定义例2（1）2与8的等比中项为 ； 答案：（2） 9 和 4 的等比中项为 ； 答案： （3）1和4

8、的等比中项为 ； 答案： （4）1，4，-8是等比数列，则 答案： 注意：同号两数有两个等比中项，它们互为相反数；异号两数没有等比中项.【师生活动】请学生根据等比中项的概念填空【设计意图】进一步巩固等比中项的概念四、辨析理解 深化概念探究：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？设一个等比数列的公比为根据等比数列的定义，可得不完全归纳法所以由此可得又，这就是说，当时上式也成立因此，首项为，公比为的等比数列的通项公式为问：在学习等差数列的通项公式是除了应用了不完全归纳法，还利用了累加法，类比等差数列的这个推导方法，等比数列还可以用什么方法推导它的通项公式？设等比数列，首项为，公比为累乘法 ，共

9、有（n-1）个等式将这（n-1）个等式左右两边相乘得到，即思考：已知等比数列的公比为，试用的第项表示.结论：等比数列的通项公式为【师生活动】让学生先独立思考，教师展示学生推导并规范解答【设计意图】内容难度不大，引导学生类比等差数列通项公式的推导过程进行推导，并得到等比数学的通项公式这是一个提升学生数学抽象的时机例3 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.【师生活动】带领学生完成第一个通项公式的寻找，后面三个数列的通项公式由学生独立完成，最后教师组织学生订正【设计意图】通过以上四个数列的通项公式的寻找，学生进一步理解掌握等比数列通项公式的运用变式： 已知在等比数列中，（1） ，求；（2） ， ，求 ；（3） ，求.五、课堂总结，学有所获小结说说你的收获。【设计意图】梳理本节课的研究问题和研究思路，让学生熟练掌握知识和技能，完善知识体系。六、作业布置教材31页 练习 1,2,3.- 7 -学科网（北京）股份有限公司