黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司哈三中哈三中 2023-2024 学年度上学期高三学年期末考试学年度上学期高三学年期末考试数学试卷数学试卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知21log1,12xAxxBx，则AB（）A.()1,2-B.1,0C.0,2D.1,22.复数12iiz的虚部为（）A.1B.2C.iD.i3.函数 232f xxx的大致图象是（）A.B.C.D.4.若,1,2,3abab abm，则实数

2、m（）A.6B.6C.3D.35.已知命题：2000R,210 xaxax 为假命题，则实数a的取值范围是（）A.,10,B.1,0C.1,0D.1,06.若椭圆221259xy和双曲线22197xy共同焦点为12,F F P是两曲线的一个交点，则12PFF的面积值为（）A.3 7B.6 7C.9 7D.8的第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司7.等比数列 na中，nS为 na的前 n 项和，若51013SS，则1015SS（）A.37B.73C.12D.18.哈三中第 38 届教改汇报课在 2023 年 12 月 15 日举行，组委会派甲乙等 6 名志愿者到,A B两个路口做引导

3、员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同安排方案总数为（）A.14B.20C.28D.40二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，分，9.下列说法正确的是（）A.已知111,202420232023，若幂函数 fxx奇函数，且在0,上递减，则只能为1B.函数212log20242023yxx的单调递减区

4、间为1,1012C.函数33(3)yx与函数3yx同一个函数D.已知函数21fx的定义域为1,1，则函数22f x 的定义域为1,110.已知正数,a b，2ab，且ab，则下列说法正确的是（）A.1baB.eeababC.114abD.1ab11.在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，下列结论正确的有（）A.11/AC平面1BCDB.点1C到平面1BCD的距离为22C.当P在线段11C D上运动时，三棱锥11AB PC的体积不变D.若Q为正方体侧面11BCC B上的一个动点，,E F为线段1AC的两个三等分点，则QEQF的最小值为11312.已知函数 cossin(0)f xa

5、xbx在6x 处取得最大值 2，f x的最小正周期为，将的为是第 3 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司 yf x图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3个单位长度得到 g x的图象，则下列结论正确的是（）A.6x 是 f x图象的一条对称轴B.2cos 26f xxC.2g x是奇函数D.方程 2lg0g xx有 3 个实数解三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知为第二象限角，2sin3，则tan2_14.已知边长为 2 的等边三角形ABC所在平面外一点,S D是AB边的中点，满足

6、SD垂直平面ABC，且3SD，则三棱锥SABC外接球的体积为_15.直线l与抛物线24xy交于,A B两点且3AB，则AB的中点到x轴的最短距离为_16.设 f x是 定 义 在,00,U上 的 奇 函 数，对 任 意 的12,0,x x 满 足 1221120 x f xx f xxx且 315f，则不等式 5f xx的解集为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且33cossinabCC（1）求角B；（2）D为AC边上

7、一点，DBBA，且4ADDC，求cosC的值18.已知 na是公差不为零的等差数列，11a，且125,a a a成等比数列（1）求数列 na的通项公式；（2）若114(1)nnnnnbaa，求 nb的前 1012 项和1012T19.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点为12,A A，点G是椭圆C的上顶点，直线2A G与圆2283xy相切，且椭圆C的离心率为22（1）求椭圆C的标准方程；第 4 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司（2）过椭圆C右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于A B、两点，若点0,Mm，且MAMB，求实数m的取值范围20.如图，在四棱锥PABCD

8、中，/,4,2,10,60ABCD ABBCCDBPDPBCD，ADPD （1）求证：平面PBD 平面ABCD；（2）若线段PC上存在点F，满足CFFP ，且平面BDF与平面ADP的夹角的余弦值为130130，求实数的值21.圆G经过点2,2 3,4,0，圆心在直线yx上（1）求圆G的标准方程；（2）若圆G与x轴分别交于,M N两点，A 为直线:16l x 上的动点，直线,AM AN与曲线圆G的另一个交点分别为,E F，求证直线EF经过定点，并求出定点的坐标22.已知函数 22eee,e12xxxxf xg xh xx（1）求函数 f x在1x 处切线方程；（2）当0 x 时，试比较 ,f x

9、g xh x的大小关系，并说明理由；（3）设nN，求证：1111111111ln2123421223421nnn 的第 1 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司哈三中哈三中 2023-2024 学年度上学期高三学年期末考试学年度上学期高三学年期末考试数学试卷数学试卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知21log1,12xAxxBx，则AB（）A.()1,2-B.1,0C.0,2D.1,2【答案】C【解析】【分析】根据对数函

10、数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由22log1log 2020,2xxA，由011100,22xxB，所以AB 0,2，故选：C2.复数12iiz的虚部为（）A.1B.2C.iD.i【答案】A【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由2212ii12i2ii2iiiz ，所以虚部为-1.故选：A3.函数 232f xxx的大致图象是（）第 2 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0 x，2233

11、22fxxxf xxx为偶函数，采用特殊值法代入，当x趋近于零时，2 x趋近于零，23x趋于正无穷；此时 232f xxx取值趋于正无穷；当 x 趋近于正无穷时，2 x趋近于正无穷，23x趋于零，此时 232f xxx取值趋于正无穷；所以只有 B 图像符合；故选：B4.若,1,2,3abab abm，则实数m（）A.6B.6C.3D.3【答案】B【解析】【分析】将abab两边平方，结合数量积的运算律求出a b，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为abab，所以22abab，即222222aba baba b ，所以0a b，即60m，解得6m .故选：B.5.已知命题：2000R,21

12、0 xaxax 为假命题，则实数a的取值范围是（）第 3 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司A.,10,B.1,0C.1,0D.1,0【答案】D【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：2R,210 xaxax 为真命题，讨论 a 是否为0，结合0a 时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：2000R,210 xaxax 为假命题，则命题：2R,210 xaxax 为真命题，故当0a 时，2210axax，即为10，符合题意；当0a 时，需满足20440aaa，解得10a，综合可得实数a的取值范围是1,0，故选：D6.若椭圆221259xy和双曲线22197xy

13、的共同焦点为12,F F P是两曲线的一个交点，则12PFF的面积值为（）A.3 7B.6 7C.9 7D.8【答案】A【解析】【分析】设点,P m n，根据方程组求点 P 的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆221259xy可知：半长轴长为 5，半短轴长为 3，半焦距为 4，则128FF，设点,P m n，则22221259197mnmn，解得374n，所以12PFF的面积值为13873 724.故选：A.第 4 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司7.等比数列 na中，nS为 na的前 n 项和，若51013SS，则1015SS（）A.37B.73C.12D.1【答案】A【解

14、析】【分析】根据51051510,S SS SS构成等比数列求解即可.【详解】因为 na为等比数列，51013SS，设510,3,0Sk Sk k，所以51051510,S SS SS构成等比数列.所以15,2,3kk Sk构成等比数列，所以157Sk，所以10153377SkSk.故选：A8.哈三中第 38 届教改汇报课在 2023 年 12 月 15 日举行，组委会派甲乙等 6 名志愿者到,A B两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（）A.14B.20C.28D.40【答案】C【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据

15、分组分配的方法安排其余 4 名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有22A2种方法；再安排其余 4 名志愿者有两类方法，共有122424C AC14种方法，根据分步计数原理可得共有2 1428种方法.故选：C二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，分，9.下列说法正确的是（）A.已知111,202420232023，若幂函数 fxx为奇函数，且在0

16、,上递减，则只能为1第 5 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司B.函数212log20242023yxx的单调递减区间为1,1012C.函数33(3)yx与函数3yx是同一个函数D.已知函数21fx的定义域为1,1，则函数22f x 的定义域为1,1【答案】BCD【解析】【分析】对于 A，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于 B，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于 C，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于 D，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于 A，当1 时，幂函数 1f xxx奇函数，且在0,上递减，满足题意，当12023时，幂

17、函数 1f xxx在0,上递增，不满足题意，当12023 时，幂函数 20231f xxx为奇函数，且在0,上递减，满足题意，当2024 时，幂函数 20241f xxx为偶函数，在0,上递减，不满足题意，故 A 错误；对于 B，12logyt关于t在定义域内单调递减，若函数212log20242023yxx关于x在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知220242023xxt关于x单调递增，而二次函数220242023xxt开口向下，对称轴为2012x，所以22024202302012xxx，解得12012x，所以函数212log20242023yxx的单调递减区间为1,1012，故 B

18、正确；对于 C，13333333yxxx，故 C 选项正确，对于 D，若函数21fx的定义域为1,1，则1,1,211,3xx ，所以函数22f x 的定义域满足221,3x ，解得1,1x，故 D 正确.故选：BCD.10.已知正数,a b，2ab，且ab，则下列说法正确的是（）为第 6 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司A.1baB.eeababC.114abD.1ab【答案】AB【解析】【分析】选项 A，将不等式1ba等价转化为1ab，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项 B，需要研究函数exy 的单调性，即可判断不等式；对于选项 C，1111()2ababab，应用基

19、本不等式即可；对于选项 D，将ab平方，2()2ababab，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项 A，1ba等价1ab，22abab，得1ab，其中ab，等号取不到，所以1ab，1ab，不等式成立，选项 A 正确；对于选项 B，因为e1，指数函数exy 是增函数，且ab，所以eeab所以eeabab，选项 B 正确；对于选项 C，1111()112222222abbaababababba ，由于ab，22baab，等号取不到，112ab，选项 C 不正确；对于选项 D，2()22()4abababab，由于ab，等号取不到，所以2()4ab，2ab，选项 D 不正确；故选：AB.11.在棱

20、长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，下列结论正确的有（）A.11/AC平面1BCDB.点1C到平面1BCD的距离为22C.当P在线段11C D上运动时，三棱锥11AB PC的体积不变D.若Q为正方体侧面11BCC B上的一个动点，,E F为线段1AC的两个三等分点，则QEQF的最小值为113【答案】BCD第 7 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】对于 A 通过观察可得直线11AC与平面有公共点1A所以 A 不正确；对于 B 利用等体积法计算点到平面距离；对于 C 观察到点P到平面11ABC的距离为定值，确定三棱锥11AB PC的体积不变；对于 D 利用线段1

21、AC关于平面11BCC B的对称直线，将QEQF转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于 A，因为平面1BCD也就是平面11ABCD与直线11AC有公共点1A，所以 A 选项不正确.对于 B，设点1C到平面1BCD的距离为h，由1111CB CDD CC BVV得11111133B CDCC BShS，由已知易得111,2,3CDBCB D则1BCD是直角三角形，所以122B CDS，112C CDS，解得22h.故 B 选项正确对于 C，设点P到平面11ABC的距离为h，易知点P所在的直线11C D与平面11ABC平行，则点P到平面11ABC的距离为定值，因为111 11 113AB

22、PCP A B CA B CVVSh，其中1 1A B CS也为定值，故 C 选项正确.对于 D，如图1QEQFQEQF，当1EQF、共线的时候1QEQFEF最小，在1AC M中222111111cos23C AC MAMAC MC A C M，由余弦定理得22211111111112cos9EFC EC FC E C FAC M，所以1113EF，所以QEQF有最小值113，故 D 正确.故选：BCD12.已知函数 cossin(0)f xaxbx在6x 处取得最大值 2，f x的最小正周期为，将第 8 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司 yf x图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2

23、 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3个单位长度得到 g x的图象，则下列结论正确的是（）A.6x 是 f x图象的一条对称轴B.2cos 26f xxC.2g x是奇函数D.方程 2lg0g xx有 3 个实数解【答案】ACD【解析】【分析】由 f x最小正周期为，求出，由最值点和最值，求出,a b，得 f x的解析式，判断 AB选项；由函数图象的变换，求 g x的解析式，验证 C 选项，数形结合验证 D 选项【详解】22cossincosf xaxbxabx，其中tanba，f x的最小正周期为T，则有222T，故 22cos 2f xabx，函数 f x在6x 处取得最大值 2，则2

24、2cossin26332fabab，解得13ab，则 cos23sin22cos 23f xxxx，B 选项错误；函数 2cos 23f xx在6x 处取得最大值 2，则6x 是 f x图象的一条对称轴，A 选项正确；将 yf x图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变，得函数2cos3yx的图象，再把得到的曲线向左平移3个单位长度得到 2cosg xx的图象，2cos2sin22g xxx，函数为奇函数，C 选项正确；在同一直角坐标系下作出函数 2cosg xx和函数2lgyx的图象，如图所示，的第 9 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司两个函数图象有 3 个交点，可知方

25、程 2lg0g xx有 3 个实数解，D 选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知为第二象限角，2sin3，则tan2_【答案】4 5【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin3，为第二象限角，所以2225cos1 sin1()33 ，则2sin2 53tancos553，所以22tantan21tan22 5254 52 515 .故答案为：4 514.已知边长为 2 的等边三角形ABC所在平面外一点,S D是AB边的中点，满足SD垂直平面ABC，且3SD

26、，则三棱锥SABC外接球的体积为_【答案】20 1527【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥SABC外接球的体积.【详解】因为SD垂直平面ABC，ABC为等边三角形，且D是AB边的中点，以D为坐标原点，分别以,DB DC DS所在的直线为x轴，y轴，z轴，建系如图，第 10 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司设三棱锥SABC外接球的球心,O x y z，半径为R，因为2ABBCAC，则2222213DCBCBD，又因为3SD，所以0,0,3S，1,0,0B，1,0,0A，0,3,0C，则OSOAOBOCR，

27、即2222222222223113xyzRxyzRxyzRxyzR，解得03333153xyzR，所以三棱锥SABC外接球的体积33441520 15R33327V.故答案为：20 1527.15.直线l与抛物线24xy交于,A B两点且3AB，则AB的中点到x轴的最短距离为_【答案】916【解析】公众号：高中试卷君【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l的方程为ykxm，1122,A x yB xy；联立24ykxmxy，2440 xkxm，216160km，12124,4xxk x xm.222212121411616ABkxxx xk

28、km，第 11 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司因为3AB，所以22116163kkm，整理可得22916 1mkk.由21212242yyk xxmkm，所以AB的中点到x轴的距离为2212292112161yykmkk 设21tk，则1t，1291216yytt，由对勾函数的单调性可得129216yy，当且仅当0k 时，取到最小值916.故答案为：91616.设 f x是 定 义 在,00,U上 的 奇 函 数，对 任 意 的12,0,x x 满 足 1221120 x f xx f xxx且 315f，则不等式 5f xx的解集为_【答案】(,3)(0,3)【解析】【分析】根据

29、题意可设 ,0f xg xxx，结合 f x的奇偶性判断 g x的奇偶性，再结合题设判断 g x的单调情况，进而结合不等式 5f xx，讨论 x 的正负，结合 g x的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设 ,0f xg xxx，而 f x是定义在,00,上的奇函数，即()fxf x，故()fxf xgxg xxx，即 ,0f xg xxx为偶函数；对任意的12,0,x x，不妨设12xx，则 121212f xf xg xg xxx 211212x f xx f xx x，又对任意的12,0,x x满足 1221120 x f xx f xxx，第 12 页/共 24 页学科网（北京）股

30、份有限公司当12xx时，120 xx，则 12210 x f xx f x，即 21120 x f xx f x，而120 x x，故 1212120,f xf xg xg xxx，则 g x在0,上单调递减，又 g x为偶函数，故 g x在,0上单调递增，315f，故 3(3)53fg，则(3)5g ，而不等式 5f xx，即为不等式 50f xxx或 50f xxx，即()5(3)0g xgx或()5(3)0g xgx，故03x或3x ，即不等式 5f xx的解集为(,3)(0,3)，故答案为：(,3)(0,3)【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断

31、出其奇偶性和单调性，再结合所求解不等式同构为所构造函数的函数值大小比较形式，结合单调性以及奇偶性，即可求解.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且33cossinabCC（1）求角B；（2）D为AC边上一点，DBBA，且4ADDC，求cosC的值【答案】（1）23；（2）2 77.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）BCD和Rt ABD分别根据正弦定理和三角函数

32、定义列式，联立整理得2ca，再由余弦定理求得7ba，然后可解.在第 13 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【小问 1 详解】因为33cossinabCC，所以，由正弦定理可得3sinsin3cossinABCC，又sinsin sinsincoscossinABCBCBCBC，所以3sincos3cossinsin3cossinBCBCBCC，整理得sin3cossin2sinsin03CBBCB，因为0,sin0CC，所以sin03B，又 40,333BB，所以3B，即23B.【小问 2 详解】由（1）知23B，因为DBBA，所以6CBD，记BDC，则BDA，在BCD中，由正弦定理

33、得sinsin6CDa，得2sinaCD，在Rt ABD中，有sin sinccAD，因为4ADDC，所以2sinsinca，得2ca，在ABC中，由余弦定理可得22222422 cos73baaaaa，即7ba，所以222742 7cos727aaaCaa18.已知 na是公差不为零的等差数列，11a，且125,a a a成等比数列（1）求数列 na的通项公式；.第 14 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司（2）若114(1)nnnnnbaa，求 nb的前 1012 项和1012T【答案】（1）21nan （2）101220242025T【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和

34、等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前 1012 项和.【小问 1 详解】设等差数列 na的公差为d，又11a，则211aadd ，51414aadd，因为125,a a a成等比数列，所以2215aa a，即21114dd，得220dd，又因为 na是公差不为零的等差数列，所以2d，即1111221naandnn.【小问 2 详解】由（1）知 11114411(1)(1)(1)21212121nnnnnnnnbaannnn ，1012123410111012Tbbbbbb1111111111113355779202120232023202512024120252025.19.已知椭圆2

35、222:1(0)xyCabab的左、右顶点为12,A A，点G是椭圆C的上顶点，直线2A G与圆2283xy相切，且椭圆C的离心率为22第 15 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于A B、两点，若点0,Mm，且MAMB，求实数m的取值范围【答案】（1）22184xy （2）22,22【解析】【分析】（1）先由离心率得出2ab，再由直线2A G与圆2283xy相切得到圆心(0,0)O到直线2A G的距离等于半径得出2222883aba b，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线AB方程，与椭圆方程联立，得出

36、韦达定理，求出AB的中点H坐标，利用条件MAMB判断MH是直线AB的中垂线，求出方程，将求m的取值范围转化成求关于t的函数的值域问题即得.【小问 1 详解】由22ca可得：2ab因2(,0),(0,)A aGb，则2:1A Gxylab即：0bxayab，又因直线2A G与圆2283xy相切，则2283abab，化简得：2222883aba b，联立，可解得：2 2,2ab故椭圆C的标准方程为：22184xy.【小问 2 详解】如图，因直线l与x轴不重合，椭圆焦点为(2,0)F，故可设:2l xty，由222184xtyxy，消去x整理第 16 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司得：2

37、2(2)440tyty，易得：0，不妨设1122(,),(,)A x yB xy，则有12212242,42tyytyyt 设AB中点为00(,)H xy，则：1202222yytyt,1212022()442()222222xxt yyttxtt，即：2242(,)22tHtt，因MAMB，则MH为直线AB的中垂线.又因直线AB的斜率为1t，故直线AB的中垂线MH的斜率为t，于是2224:()22MHtlyt xtt，因0,Mm，则有：222422222tttmttt，当0t时，0m，此时直线:2l x，点(0,0)M，符合题意；当0t 时，22mtt，若0t，则22 2tt,可得2(0,2

38、m，当且仅当2t 时取等号；若0t，则22 2tt,可得2,0)2m，当且仅当2t 时取等号.综上，实数m的取值范围为22,22.20.如图，在四棱锥PABCD中，/,4,2,10,60ABCD ABBCCDBPDPBCD，ADPD （1）求证：平面PBD 平面ABCD；（2）若线段PC上存在点F，满足CFFP ，且平面BDF与平面ADP的夹角的余弦值为130130，求实数的值【答案】（1）证明见解析 第 17 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司（2）2【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证AD 平面PBD，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方

39、法求解.【小问 1 详解】如图：因为2CBCD，60BCD，所以BCD为等边三角形，2BD 又/ABCD，所以60ABDBDC，又4AB，所以22212cos601642 4 2122ADABBDAB BD .因为222ADBDAB，所以ABD为直角三角形，ADBD.又ADPD，BD，PD为平面PBD内的两条相交直线，所以AD 平面PBD，AD 平面ABCD，所以：平面PBD 平面ABCD.【小问 2 详解】取BD中点O，AB中点E，因为 PBPDPOBD，又平面PBD 平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD，PO平面PBD，所以PO平面ABCD，又OEBD，故以O为原点，建立如图空间直角坐

40、标系，所以0,1,0B，0,1,0D，0,0,3P，3,0,0E，2 3,1,0A，3,0,0C.第 18 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司设,F x y z，因为CFFP 3,3xy zxyz33xxyyzz 解得31031xyz ，所以33,0,11F.设平面ADP的法向量为111,mx y z，则mADmDP 00m ADm DP 111111,2 3,0,00,0,1,30 x y zx y z 111030 xyz，取0,3,1m；设平面BDF的法向量为222,nxyz，则nBDnBF 00n BDn BF 222222,0,2,0033,1,011xyzxyz 22203

41、30yxz，取3,0,1n.那么 m n0,3,13,0,11，10m，231n.由130130m nmn 23113 24，又0，所以2.【点睛】关键点睛：根据CFFP ，和点C、F的坐标，求F点坐标是本题的一个关键.21.圆G经过点2,2 3,4,0，圆心在直线yx上（1）求圆G的标准方程；（2）若圆G与x轴分别交于,M N两点，A 为直线:16l x 上的动点，直线,AM AN与曲线圆G的另一个交点分别为,E F，求证直线EF经过定点，并求出定点的坐标【答案】（1）2216xy （2）证明见详解，直线EF过定点1,0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解

42、即可；（2）设出直线AM的方程和直线AN的方程，分别与圆的方程联立写出EF、的坐标，进而写出直线EF第 19 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司的方程，化简即可证明直线EF经过定点，并求出定点的坐标.【小问 1 详解】因为圆心在直线yx上，设圆心为,a a又因为圆G经过点2,2 3,4,0则222222 34aaaa，解得0a，所以圆心0,0,半径为220404，所以圆G的标准方程为2216xy【小问 2 详解】由圆G与x轴分别交于,M N两点，不妨设4,0,4,0MN，又A 为直线:16l x 上的动点，设16,0Att，则,2012AMANttkk则AM方程为420tyx，AN方程

43、为412tyx，设1122,E x yF xy，联立方程2242016tyxxy，解得22224008164000txt xt，所以212164004400txt，即211224400160,400400ttxytt，即2224400160,400400ttEtt.联立方程2241216tyxxy，解得22221448161440txt xt，所以222161444144txt，即22222414496,144144ttxytt，即222414496,144144ttFtt.所以2222221609640014444004144400144EFttttktttt232240tt，所以直线EF的

44、方程为222241449632,144240144tttyxttt第 20 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司化简得2321,240tyxt所以直线EF过定点1,0.22.已知函数 22eee,e12xxxxf xg xh xx（1）求函数 f x在1x 处的切线方程；（2）当0 x 时，试比较 ,f xg xh x的大小关系，并说明理由；（3）设nN，求证：1111111111ln2123421223421nnn【答案】（1）ee44yx （2）f xg xh x；理由见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导数，求得切线斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）构

45、造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论；（3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论.【小问 1 详解】由 e1xf xx得，2e1xxfxx，所以 f x在1x 处的切线的斜率 e14kf，切点e1,2，所以所求切线方程：ee124yx，即ee44yx；【小问 2 详解】结论：f xg xh x；理由如下：要证 f xg x，即证eee12xxxx，只需证2e1 eexxxx，为第 21 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司令 2e1 eexxxxx，则 2eee1 e-eeexxxxxxxxxx，当0 x 时，1xe，e1x，故 0 x，所以 2e1 eexxxxx

46、在0 x 时单调递减，所以 00 x，即2e1 ee0 xxxx，所以eee12xxxx，故 f xg x；要证 g xh x，即证22eee2xxx，只需证22eelnlne2xxx，令 222eeee1lnlneln222xxxxxv xx，则 eeeexxxxv xx，令 eeeexxxxw xx，则 241eexxw x，当0 x 时，ee2xx，从而2ee4xx，故 2410eexxw x，所以 eeeexxxxv xx在0 x 时单调递减，所以 00v xv，从而 2ee1ln22xxv xx在0 x 时单调递减，所以 00v xv，即22eelnlne20 xxx，即22eeln

47、lne2xxx所以22eee2xxx，故 g xh x，又因为 f xg x，所以 f xg xh x.【小问 3 详解】公众号：高中试卷君第 22 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司令 ln101xu xxxx，则 22110111xuxxxx所以 ln11xu xxx在当0 x 时单调递减，所以 00u xu，所以ln11xxx，即1ln111xx，令1xn，则有11ln1ln1ln1nnnn，即1ln1ln1nnn，所以1ln2ln12nnn，1ln3ln23nnn，1ln2ln 212nnn，所以1111ln2lnln21112nnnnnn，所以111111234212nn11

48、11111112234212242nnn1111111112342122nnn，所以11111111112342121112nnnnnn，因为1111ln21112nnnn，所以111111ln2234212nn；下面先证当0 x 时，ln1xx，令 1 ln0p xxx x，111xpxxx，令 0p x，则1x，所以 1 lnp xxx 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，所以 10p xp，第 23 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司从而 1 ln0p xxx，即ln1xx，当且仅当1x 时，ln1xx，所以当0 x 时，ln1xx，令1xn，则有11ln1nn，即1ln1ln

49、nnn，所以1ln2ln11nnn，1ln3ln22nnn，1ln 2ln 2121nnn，所以1111ln 2ln1221nnnnnn，即1111ln21221nnnn，因为1111123421n111111112234212422nn111111112342121nn，所以111111111234211221nnnnn，因为1111ln21221nnnn，所以11111ln223421n，综上所述，1111111111ln2123421223421nnn.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.第 24 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司