【高中数学】圆的标准方程+课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

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1、2.42.4圆的方程圆的方程 2.4.12.4.1圆的标准方程圆的标准方程问题问题1 我们按照什么样的脉络研究直线？我们按照什么样的脉络研究直线？直线直线直线的方程直线的方程直线的性质直线的性质几何要素：点几何要素：点+方向方向通过方程研究通过方程研究核心方法：坐标法核心方法：坐标法问题问题2 2 直线和圆是平面几何中的基本图形，你能类比直线研究直线和圆是平面几何中的基本图形，你能类比直线研究脉络，给出圆的研究脉络吗？脉络，给出圆的研究脉络吗？圆圆圆的方程圆的方程圆的性质圆的性质几何要素几何要素通过方程研究通过方程研究学习任务：明确圆的几何要素，确定圆的方程学习任务：明确圆的几何要素，确定圆的

2、方程（一）创设情境，明确脉络（一）创设情境，明确脉络思考思考 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢?在平面直角坐标系中，如果一个圆的在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了，由此，确定了，圆就唯一确定了，由此，我们可以建立圆上点我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程.rMxAOy活动：活动：请大家动手作一个圆请大家动手作一个圆问题问题3 3 如何判断你作出的图形是圆？（平面几何中圆是如何定义的？）如何判断你作出的图形是圆？（平面几何中圆是如何定义的？）圆圆是平面

3、上是平面上到定点的距离等于定长到定点的距离等于定长的的点的集合点的集合.M（二）类比探索，建立方程（二）类比探索，建立方程探究探究 若一个圆的圆心为若一个圆的圆心为A(a,b),半径为半径为r,那么如何求此圆的方程那么如何求此圆的方程?设设M(x,y)是圆上任意一点是圆上任意一点,根据定义根据定义,点点M到圆心到圆心A的距的距离等于离等于r,所以圆所以圆A就是集合就是集合 P M|MA|r.由两点间的距离公式由两点间的距离公式,点点M(x,y)满足的条件可表示满足的条件可表示 把上式两边平方把上式两边平方,得得rMxA(a,b)Oy(x,y)由上述讨论可知由上述讨论可知,圆上任意点圆上任意点M

4、的坐标都满足方程的坐标都满足方程,反之反之,若点若点M的坐标满的坐标满足方程足方程,这就说明点这就说明点M与圆心与圆心A的距离为的距离为r,即点即点M在圆心为在圆心为A的圆上的圆上.这时我们这时我们把把方程方程称为以圆心为称为以圆心为A(a,b),半径为半径为r的的圆的标准方程圆的标准方程.问题问题4 4 通过上述过程得出方程通过上述过程得出方程后后，我们就能说方程，我们就能说方程是圆的方程吗？是圆的方程吗？还需要做什么？为什么要这么做？还需要做什么？为什么要这么做？1.是关于是关于x、y的二元二次方程的二元二次方程;3.确定圆的方程必须具备三个独立条件确定圆的方程必须具备三个独立条件,即即

5、a、b、r.4.若圆心在坐标原点若圆心在坐标原点,则圆方程为则圆方程为 x2+y 2 =r22.明确给出了圆心坐标和半径明确给出了圆心坐标和半径.圆的标准方程：圆的标准方程：以以A(a,b)为圆心，为圆心，r为半径的为半径的圆的标准方程圆的标准方程是是rMxA(a,b)Oy(x,y)方程的特点方程的特点:（三）辨析理解，认识方程（三）辨析理解，认识方程 例例1 求圆心为求圆心为A(2,3),半径为半径为5的圆的标准方程的圆的标准方程,并判断点并判断点M1(5,7),M2(2,1)是否在这个圆上是否在这个圆上.解：解：圆心心为A(2,-3)，半径，半径为5的的圆的的标准方程：准方程：(x-2)2

6、+(y+3)2=25.把点把点M1(5,-7)的坐的坐标代入代入圆的方程，得的方程，得(5-2)2+(-7+3)2=25，所以点，所以点M1在在圆上上.把点把点M2(-2,-1)的坐的坐标代入代入圆的方程，得的方程，得(-2-2)2+(-1+3)2=20，即点即点M2的坐的坐标不不满足足圆的方程，所以点的方程，所以点M2不在不在这个个圆上上.（四）思考交流，应用方程（四）思考交流，应用方程追问追问 点点M2 在圆内还是圆外？如何判断？在圆内还是圆外？如何判断？问题问题5 5 如何确定点如何确定点P(x0,y0)与圆与圆 的位置关系？的位置关系？例例2 ABC 的三个顶点分别是的三个顶点分别是A

7、(5,1),B(7,3),C(2,8),求求ABC的外接圆的的外接圆的标准方程标准方程.ABC的外接圓的圆心是的外接圓的圆心是ABC的外心的外心,即即ABC三边垂直平分线的交点三边垂直平分线的交点.xOyA(5,1)C(2,-8)B(7,-3)解解1：(待定系数法待定系数法)例例2 ABC 的三个顶点分别是的三个顶点分别是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求求ABC的外接圆的的外接圆的标准方程标准方程.ABC的外接圓的圆心是的外接圓的圆心是ABC的外心的外心,即即ABC三三边垂直平分线的交点边垂直平分线的交点.xOyA(5,1)C(2,-8)B(7,-3)rM解解2：（数形：（数形结合

8、法）合法）问题问题6 6 观察观察“待定系数法待定系数法”中的三元方程组化简得到的二元方程和中的三元方程组化简得到的二元方程和“数形结数形结合合”中垂线的方程，你有什么发现？为什么？中垂线的方程，你有什么发现？为什么？结论：方程作差的几何意义就是圆心到弦两端点的距离相等，即圆结论：方程作差的几何意义就是圆心到弦两端点的距离相等，即圆心在弦的垂直平分线上，故两种方法的本质相同心在弦的垂直平分线上，故两种方法的本质相同问题问题7 7 比较比较“待定系数法待定系数法”和和“数形结合法数形结合法”求圆的方程，两种方法各有什求圆的方程，两种方法各有什么优点？么优点？结论：待定系数法较为直接，但运算较为复

9、杂；结论：待定系数法较为直接，但运算较为复杂；数形结合法分析几何性质简化数学运算数形结合法分析几何性质简化数学运算.感悟：本章节的学习既要重视感悟：本章节的学习既要重视“代数运算代数运算”，也要重视，也要重视“几何直观几何直观”解解1：(待定系数法待定系数法)由已知条件可得由已知条件可得 例例3 已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1,1)和和B(2,2),且圆心且圆心C在直线在直线 l：x y 10上，求此圆的标准方程上，求此圆的标准方程（尝试用多种方法解决本题，列出关系式即可，不用求解）（尝试用多种方法解决本题，列出关系式即可，不用求解）设圆设圆C的方程为的方程为解解2：例例3

10、已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1,1)和和B(2,2),且圆心且圆心C在直线在直线 l：x y 10上，求此圆的标准方程上，求此圆的标准方程xOyA(1,1)B(2,-2)l解解3：例例3 已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1,1)和和B(2,2),且圆心且圆心C在直线在直线 l：x y 10上，求此圆的标准方程上，求此圆的标准方程xOyA(1,1)B(2,-2)l1.圆的标准方程：圆的标准方程：以以A(a,b)为圆心，为圆心，r为半径的为半径的圆的标准方程圆的标准方程是是2.点与圆位置关系的判别方法：点与圆位置关系的判别方法：问题问题8 8 本节课你学习了什么知识？解决了什么问题？本节课你学习了什么知识？解决了什么问题？掌握了什么思想与方法掌握了什么思想与方法知识层面：知识层面：3.求圆的标准方程的方法求圆的标准方程的方法：思想层面：思想层面：转换与化归转换与化归数形结合数形结合（五）反思小结，深化提升（五）反思小结，深化提升