【高中数学】抛物线的简单几何性质课件 2023-2024学年高二上人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

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1、(一一)圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点平面内，到定点F的距离与到定直的距离与到定直线l的距离比的距离比为常数常数e的点的的点的轨迹迹,当当0e0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxO 根据上表中抛物线的标准方程的不同根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线方程对应关形式与图形、焦点坐标、准线方程对应关系如何判断抛物线的焦点位置，开口方向系如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？第第一一，一一次次项项的的变变量量如如为为x,则则x轴轴为为抛抛物物线的对称轴，焦点就在对称轴线的对称轴，焦点就在对称轴x轴上轴上.一一次次项项的

2、的变变量量如如为为y,则则y轴轴为为抛抛物物线线的的对对称称轴，焦点就在对称轴轴，焦点就在对称轴Y轴上轴上.第二，一次第二，一次变量变量的系数的系数正负正负决定了开口决定了开口方向方向课课堂堂探探究究思考：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为应该研究抛物线y2=2px（p0）的哪些几何性质？如何研究这些性质。思一思：思一思：P(x,y)一、一、抛物线抛物线的的几何性质几何性质抛物抛物线在在y轴的右的右侧，当，当x的的值增大增大时，y也增大，也增大，这说明抛物明抛物线向右上方和右下方无限向右上方和右下方无限延伸。延伸。1、范范围由抛物由抛物线y2=2px（p0）而而所以抛物所以抛物线的范的范围为关

3、于关于x轴对称称 由于点由于点 也也满足足 ，故抛物，故抛物线(p0)关于关于x轴对称称.y2=2pxy2=2px2、对称性称性P(x,y)定定义：抛物：抛物线和它的和它的轴的交点称的交点称为抛物抛物线的的顶点点。P(x,y)由y2=2px（p0）当当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点点就是坐标原点（0，0）。注注:这与与椭圆有四个有四个顶点点,双曲双曲线有有两个两个顶点不同。点不同。、顶点点4、离心率离心率P(x,y)抛物抛物线上的点与焦上的点与焦点的点的距离距离和它到准和它到准线的的距离距离 之比，叫做抛物之比，叫做抛物线的离心率，由抛物的离心率，由抛物线的定的定义，可知，可知e=1。下面

4、请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。5、开口方向、开口方向P(x,y)抛物抛物线y2=2px（p0）的开）的开口方向向右。口方向向右。+X，x轴正半正半轴，向右，向右-X，x轴负半半轴，向左，向左+y，y轴正半正半轴，向上，向上-y，y轴负半半轴，向下，向下思考思考：抛物：抛物线标准方程中的准方程中的p对抛物抛物线开口的影响开口的影响.P(x,y)xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的，称为抛物线的通径，通径，利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通、通径的两个径的两个端点端点可较准确可较准确画出反映抛物线基本特画出反映抛物线基本特征

5、的草图征的草图.|AB|=2p通径通径6、2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.P越大越大,开口越开开口越开阔（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴y轴1（三）圆锥曲线（三）圆锥曲线的的几何性质对比：几何性质对比：例例：已知抛物已知抛物线关于关于x x轴对称，它的称，它的顶点在坐点在坐标原点，原点，经过点点M M（，），求它的

6、（，），求它的标准方程，准方程，因因为抛物抛物线关于关于x x轴对称，它的称，它的顶点在坐点在坐标原点，并且原点，并且经过点点M M（，），（，），解：解：所以所以设方程方程为：又因又因为点点M M在抛物在抛物线上上：所以：所以：因此所求抛物因此所求抛物线标准方程准方程为：（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：变式式题：求并求并顶点在坐点在坐标原点，原点，对称称轴为坐坐标轴，并且，并且经过点点M M（，（，），），抛物抛物线的的标准方程准方程。（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：例2 斜率为1的直线 l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。法二:设而不求,运用

7、韦达定理,计算弦长法一:直接求两点坐标,计算弦长法三:设而不求,运用焦点弦公式,计算弦长例例题题解解析析联立方程组例例题题解解析析连接抛物接抛物线任意一点与焦点的任意一点与焦点的线段叫做抛物段叫做抛物线的的焦半径焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径公式：焦半径焦半径7、xyOFPx0p/2焦半径及焦半径公式焦半径及焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离抛物线上一点到焦点的距离P(x0，y0)在在y2=2px上，上，P(x0，y0)在在y2=-2px上上,P(x0，y0)在在x2=2py上上,P(x0，y0)在在x2=-2py上上,方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2=2px（

8、p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）x0 yRx0 yRxR y0y0 xR关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）重要！重要！课课堂堂探探究究思考 如果直线 不经过焦点 ，的长还等于 吗？分析：如图，设 ，由抛物线的定义可知，同理得 ，由三角形性质 例例题题解解析析 练习：直线 与抛物线 相交于 ，两点，求线段 的长练练习习巩巩固固 解：的直线方程为 ，将方程代入抛物线方程 ，化简得到 根据根与系数的关系 ，所以 因为 ，所以 所以 练练习习巩巩固固 练习：直线 与抛物线 相交于 ，两点，求线段 的长1.知

9、识总结:思考：本思考：本节课我学到了哪些知我学到了哪些知识，了解到哪些解决，了解到哪些解决问题的的思想方法？思想方法？本本堂堂小小结结方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）x0 yRx0 yRxR y0y0 xR关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2.数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法解析法（坐标法），这是我们这节课研究抛物线几何性质的方法.它体现了解析几何的核心思想，也是研究其他曲线的思维模式.注意研究过程中体会数形结合、分类讨论、类比

10、学习的思想。思考：本思考：本节课我学到了哪些知我学到了哪些知识，了解到哪些解决，了解到哪些解决问题的的思想方法？思想方法？本本堂堂小小结结例例1 过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任作一任作一条直线条直线m，交这抛物线于，交这抛物线于A,B两点，求两点，求证：以证：以AB为直径的圆和这抛物线的准为直径的圆和这抛物线的准线相切线相切分析：运用分析：运用抛物线的定抛物线的定义和平面几义和平面几何知识来证何知识来证比较简捷比较简捷证明：如图证明：如图 所以所以EH是以是以AB为为直径的圆直径的圆E的半径，的半径，且且EHl，因而圆，因而圆E和准线和准线l相切相切设设AB的中点为的中点为E，过，过A,E,B分别向准线分别向准线l引引垂线垂线AD，EH，BC，垂足为，垂足为D,H,C，则则AFAD，BFBC故故ABAFBFADBC=2EH（5）y1y2P2，x1x2p2/4。你学到了什么？课课堂堂小小结结作业作业1：书本书本136136练习练习作业作业2：名师基础部分名师基础部分作业作业3：报纸第报纸第1313期期2 2版版作作业业布布置置