【高中数学】空间向量与立体几何 检测练习 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、第一章 空间向量与立体几何 检测练习一、单选题1在如图所示的斜三棱柱中，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2若直线，的方向向量分别为，则这两条直线（）A平行B垂直C异面垂直D垂直相交3如图，已知在平行六面体中，且，则（）ABCD4如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（）A直线与直线CP可能相交B直线与直线CP始终异面C直线与直线CP可能垂直D直线与直线BP不可能垂直5下列条件中一定使点P与A，B，C共面的有（）个 A0B1C2D36已知

2、正三棱锥中，则正三棱锥内切球的半径为（）ABCD7如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD8若向量，且，则实数的值是（）A0B1CD二、多选题9如图，正方体棱长为1，点是线段上的一个动点，下列结论中正确的是（）A存在点，使得B三棱锥的体积为定值C若动点在以点为球心，为半径的球面上，则的最小值为D过点，作正方体的截面，则截面多边形的周长的取值范围是10如图，在三棱柱中，设，且向量与的夹角为45，则（）AB与AC所成的角为60CD当时，三棱锥的体积为定值11如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是，的中点，是棱上的动点，则（）AB存在点，使平

3、面C存在点，使直线与所成的角为D点到平面与平面的距离和为定值12如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（）A若保持，则点在底面内运动路径的长度为B三棱锥体积的最大值为C若，则二面角的余弦值的最大值为D若则与所成角的余弦值的最大值为三、填空题13点是正四面体的中心，.若，其中，则动点扫过的区域的体积为 .14已知向量,若,则的值为 15如图,在棱长都为1的平行六面体中,两两夹角均为,则 .16正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列结论正确的是 .直线与直线AF垂直直线与平面AEF平行平面AEF截正方体所得的截面面积为点与点D到平

4、面AEF的距离相等四、解答题17如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面，.(1)若四棱锥的体积为，求的长；(2)在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.18在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果19如图，几何体中，均为边长为2的正三角形，且平面平面，四边形为正方形.（1）若平面平面，求证:平面平面；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.20如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，.(1)求证：平面PAC；(2)E是侧棱PB上一点，记，是否存在实数，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：1C【分析】以为基底，计算，

5、然后解不等式即可判断答案.【详解】因为，所以，所以，因为，所以.反之，若，则，则，即.所以“”是“”的充要条件.故选：C2B【分析】根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可.【详解】因为，所以，所以.故选：B.3A【分析】根据题意得，进而根据空间向量求模即可.【详解】由题意可知，因为，所以，所以故选：A4B【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D.【详解】在正三棱柱中，因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，所以四点不共面，所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B

6、正确；对于C，设，则，若直线与直线CP垂直，则，即，所以，即，解得，因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误；对于D，连接，因为为的中点，所以，又因平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误.故选：B.5C【分析】根据向量共面的充要条件判断即可.【详解】因为，所以，为共面向量，所以点与，共面，故正确；，所以，为共面向量，所以点与，共面，故正确；对于显然不满足，故错；故选：C.6C【分析】由于三棱锥为正三棱锥，所以，由于可得，则可得，设点为的重心，设正三棱锥内切球的半径为，然后利用等体积法求解即可.【详解】因为三棱锥为正三棱锥，

7、所以，设，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，得，得，所以，设点为的重心，由 ，所以,设正三棱锥内切球的半径为，设为正三棱锥内切球的球心，因为，所以，所以，解得故选：C7A【分析】根据题目条件可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值即可.【详解】根据题意可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，所以，设正方形边长为1，异面直线与所成的角为，,所以即所以；即，所以，异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.8C【分析】由已知利用数量积为零列式计算即可.【详解】解：因为，所以，因为，所以，解得故选：C9BCD【分析】A选项为直径的球面与

8、直线没有公共点，则不存在点P；B选项根据等体积法，则，将体积转化为，算出即可；C选项的 最小值为，代入即可求得最小值；D选项的动点位于点时截面周长最小，当位于中点时，截面的周长最大，故可得到结论.【详解】对A选项，在正方体中，以为直径的球面，半径，则直线与该球面没有公共点，故不存在点，使得，故A选项错误；对B选项， 因为，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，故，故B选项正确；对C选项，因为，所以，故C选项正确；对D选项，当在上移动时，截面多边形如图(1)所示，其侧面展开图如图(2)所示，图(1)图(2)当点位于点时，即与点重合，截面多边形为正三角形，此时的周长最

9、小，周长，当点从点向点移动时，根据对称性可知，截面多边形的周长先增大后减小，即点随着点的移动至点时，此时点为的中点，截面为平行四边形，截面多边形的周长最大，此时周长为，所以截面多边形的周长的取值范围是，故D选项正确.故选：BCD10BD【分析】对于A，由勾股定理可判断；对于B，由题可知，根据空间向量的数量积以及向量的夹角运算可判断；对于C，根据空间向量的线性运算可判断；对于D，由已知得点P在直线上从而得直线上的点到平面的距离相等，由此可判断【详解】解：对于A，故A不正确；对于B，由题可知，与AC所成的角为60，故B正确；对于C，故C不正确；对于D，点P在直线上由于平面，直线上的点到平面的距离相

10、等，又的面积为定值，三棱锥的体积为定值，故D正确故选：BD11ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，设，所以，所以，A选项正确.点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.，设平面的法向量为，则，故可设，要使平面，平面，则，解得，所以存在点，使平面，B选项正确.若直线与直线所成角为， 则，无解，所以C选项错误.故选：ABD12ABD【分析】根据题意可知，A选项中点的轨迹是以为圆心，半径为的圆的四分之一，即可得轨迹长度为，判断出A正确；建立空间直角坐标系，由的面积为定值可知到平面的距

11、离最大时，三棱锥体积的最大值为，可得B正确；对于C、D选项，当时可得点在上，设出点坐标并利用空间向量可求得二面角的余弦值的最大值为，可判断C错误，与所成角的余弦值的最大值为，可得D正确.【详解】对于A，根据题意可知平面，所以为直角三角形，即，且若保持，可知，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在底面内的部分，即为四分之一圆，因此点在底面内的运动路径长度为，即A正确；对于B，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知，则，设平面的一个法向量为，可得，令，可得，即；可设，则，所以到平面的距离为，易知当时，距离最大值为；又在中，易知，所以边上的高为；其面积为定值，即；所以到平面的距离

12、最大时，三棱锥体积的最大为，即B正确；对于C，根据正方体性质可知平面，又是棱的中点，所以可得点在平面，又点在底面内，平面平面，所以；根据B中的坐标系可知，所以可得，；则，设平面的一个法向量为，可得，令，则，即；易知平面的一个法向量为，所以，易知当时，当时，令，可得在上恒成立，即在上单调递增；此时时，最大，当，易知在上单调递减，所以时，取得最小值，又由图可知，当时，二面角为锐角，所以二面角的余弦值的最大值为，即C错误；对于D，根据选项C易知，可得，当时，,当时，易知当时，取到最大值为，综上可知，与所成角的余弦值的最大值为，即D正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：在求解立体几何中动点问题时，往往根

13、据其几何位置关系找到变量之间的数量关系式，结合变量与定值之间的关系利用函数单调性或基本不等式求得最值.13/【分析】将正四面体放入正方体中，得到正方体的体对角线是，从而得到该正方体的边长，再根据条件得到扫过的区域的体积即可.【详解】图，作出正四面体，将正四面体放入正方体中，如下图所示：则是该正方体的中心，设该正方体的棱长为，则，解得：，又，则知扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，其中两个面如下图所示：可得动点扫过的区域的体积为该正方体体积的倍，即动点扫过的区域的体积.故答案为：.14【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值【

14、详解】；解得k6故答案为6【点睛】本题考查空间向量坐标运算，向量垂直的充要条件，熟记坐标运算性质，准确计算是关键，是基础题.150【分析】根据空间向量的加减,将转化为之间的运算,再根据模及夹角计算结果即可.【详解】解:由题知平行六面体棱长为1,且两两夹角均为,所以.故答案为:016【分析】根据棱柱的结构特征，建立以为原点，以、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法即可判断，根据线线平行即可判断，根据梯形面积即可判断，根据中点关系即可判断.【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为原点，以、所在的直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，如图所示：、分别为、的中点，则， ， 对于， ，故错误；对

15、于，连接,，,四点共面，由于,所以四边形 为平行四边形，故，又平面，平面，平面，故正确；对于，连接，四边形为平面截正方体所得的截面，四边形为等腰梯形，高为，则四边形的面积为，故正确；对于，连接交于点，故是的中点，且是线段与平面的交点，因此点和点到平面的距离相等，故正确故答案为：17(1)(2)【分析】（1）这是一个逆向思考的问题，当已知四棱锥的体积时，只需把的长作为未知数代入梯形的面积公式即可；（2）本问首先以为坐标原点，建立空间直角坐标系，进而求出直线的方向向量和平面的法向量，再用线面角公式求解即可.【详解】（1）依题意可得梯形的面积：，因为底面，所以四棱锥的体积，解得.（2）以为坐标原点，

16、的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，即取，得.因为，所以.故直线与平面所成角的正弦值为.18，作图见解析【分析】根据图形进行空间向量加减法运算，并作图即可.【详解】在正六棱柱中，四边形是平行四边形，所以同理，由正六棱柱性质可知，所以，所以化简结果如下图所示：19（1）见解析（2）【分析】（1）取的中点,的中点,连接.可证明,结合,可知四边形为平行四边形.进而由和及平面与平面平行的判定定理证明平面平面;（2）连结,可知即为二面角的平面角.以为原点建立空间直角坐标系.由线段关系写出各个点的坐标,求得平面的法向量,即可根据直线与平面夹角的向量关系求得直线与平

17、面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取的中点,的中点,连接.如下图所示:因为,且平面平面,所以平面,同理平面,所以,又因为,所以四边形为平行四边形,所以,平面, 又, 平面,又因为和交于点所以平面平面.（2）连结,则,又所以为二面角的平面角,所以建立如图所示的空间直角坐标系,则所以设平面的一个法向量是,则,即,令,即,又因为,所以,即所求的角的正弦值为.【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定,空间向量在求线面夹角中的用法.关键在于作出相应的辅助线,找到线线平行,找到合适的原点建立空间直角坐标系,属于中档题.20(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）由底面ABCD，可得，在三角形ABC中，

18、由余弦定理可得.再由线面垂直的判定可得平面PAC；（2）以A为原点，分别以AD，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.求得，.设，由，得.求出平面ADE与平面ADP的一个法向量，结合题意可得.说明存在实数，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60.【详解】（1）证明：底面ABCD，在三角形ABC中，由，得.，即.又，平面PAC；（2）解：以A为原点，分别以AD，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.，.设，由，得.，.则.，.设平面ADE的一个法向量为，由，取，得；设平面ADP的一个法向量为，由，得，解得（舍）或.存在实数，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60.学科网（北京）股份有限公司