山西省太原市第五中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题含答案.pdf

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1、高一数学第 1页(共 16页)高一数学第 2页(共 16页)学科网（北京）股份有限公司密密封封线线学校班级姓名学号密封线内不得答题太原五中太原五中 2022202220232023 学年度第二学期月考学年度第二学期月考高高一一数数学学出题人时间：3.24(青年路校区)一、单选题（本大题共 8 小题，共 32.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.与向量?平行的单位向量是()A.?B.?C.?或?D.?或?2.已知复数?t?i?i，则下列说法正确的是()A.?的虚部为?B.?的共轭复数为?C.?D.?在复平面内对应的点在第二象限3.向量?在向量?上的投影向量的坐标为()A.?B.

2、?C.?D.?4.已知向量?与?的夹角为?，且?，?，则?t?()A.?B.?C.?D.?5.已知?的内角?，所对的边分别为?，?，?，若?，?，?，则(?)A.?B.?C.?或?D.?或?6.如图，从高为的气球?上测量待建规划铁桥?的长，如果测得桥头?的俯角是?，桥头?的俯角是?，则桥 的长为（）A.?h?h?h?B.?t?h?h?C.?h?t?t?D.?t?t?t?7.若锐角?中，?，则?的取值范围是()A.0?B.?C.?)D.?8.在?中，已知?t?，?，?的面积为?，点?为 边上的中点，则?()A.?B.?C.?D.?二、多选题（本大题共 4 小题，共 16.0 分。在每小题有多项符

3、合题目要求,部分选对给 2 分，全部选对给 4 分）9.已知?，?，?是三个非零向量，则下列结论正确的有()A.若?，则?B.若?，?，则?C.若?，则?D.若?t?，则?高一数学第 3页(共 16页)高一数学第 4页(共 16页)密封线内不得答题10.下列说法正确的有()A.任意两个复数都不能比大小B.若?t?，则当且仅当?0 时，?0C.若?，?，且?t?0，则?0D.若复数?满足?，则?t?的最大值为?11.在?中，角?，的对边分别为?，?，?，下列结论中正确的选项有()A.若?t?0，则?一定是锐角三角形B.若?t?t?，则?一定为直角三角形C.若?t?t?t?，则?一定是等边三角形D

4、.若?t?t?，则?一定是等腰三角形12.在?中，?在边 上，且?，?，?若?AD，cos?，则下列结论中正确的是()A.sin?B.?为锐角三角形C.?的外接圆半径为?D.?的内切圆半径为?三、填空题（本大题共 4 小题，共 16.0 分）13.已知?，且?与?夹角为钝角，则 的取值范围_14.设?是虚数单位，复数?t?为纯虚数，则实数?_15.在?中，已知?的平分线?，则?的面积16.已知?，?，?分别为?的三个内角?，的对边，?ht?h?ht?h，?，?为?内一点，且?t?t?0?，?，则?四、解答题（本大题共 3 小题，共 36.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本

5、小题?h0 分?已知?，?，?是同一平面内的三个向量，其中?若?，且?，求?的坐标；?若?0，且?t?与?垂直，求?与?的夹角?18.本小题?h0 分?在?中，角?，的对边分别为?，?，?且满足?t?t?求角 的大小；?若?，?，求?的面积19.本小题?h0 分?已知锐角?的面积是?，?求 sin?的值；?若，?求?周长的取值范围.高一数学第 5页(共 16页)高一数学第 6页(共 16页)学科网（北京）股份有限公司密密封封线线学校班级姓名学号密封线内不得答题太原五中太原五中 2022-2023 学年度第二学期月考试题答案学年度第二学期月考试题答案一、单选题（本大题共 8 小题，共 32.0

6、分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.与向量AB?=(1,3)平行的单位向量是()A.(12,32)B.(12,32)C.(12,32)或(12,32)D.(12,32)或(12,32)【解答】解：|AB?|=12+(3)2=2与向量AB?=(1,3)平行的单位向量为(12,32)故选：C2.已知复数 z=5+3i1?i，则下列说法正确的是()A.z 的虚部为 4iB.z 的共轭复数为 1 4iC.|z|=5D.z 在复平面内对应的点在第二象限【解答】解：z=5+3i1?i=5+3i1+i1?i1+i=2+8i2=1+4i，z 的虚部为 4，z 的共轭复数为 1 4i，|z|=17

7、，z 在复平面内对应的点在第一象限故选项 B 正确故选：B3.向量a?=(2,1)在向量b?=(3,4)上的投影向量的坐标为()A.(6,8)B.(6,8)C.(65,85)D.(65,85)【解答】解：|b?|=32+42=5，与b?同向的单位向量e?=b?|b?|=(35,45)，又|a?|cos=a?b?|b?|=6+45=2，所求投影向量为 2e?=(65,85)故选：C4.已知向量a?与b?的夹角为23，且|a?|=2，|b?|=1，则|a?+2b?|=()A.2B.2 3C.4D.12解：|a?+2b?|=a?2+4b?2+4a?b?=4+4+4 2 1 (12)=2，故选：A5.

8、已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=2，b=2，A=4，则 B=()A.6B.3C.6或56D.3或23【解答】解：由正弦定理知，asinA=bsinB，所以222=2sinB，所以 sinB=12，又 a b，所以 A B，所以B=6故选：A高一数学第 7页(共 16页)高一数学第 8页(共 16页)密封线内不得答题6.如图，从高为的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长，如果测得桥头(B)的 俯 角 是 ，桥 头(C)的 俯 角 是 ，则 桥 BC 的 长 为()A.sin(?)sinsinB.cos(?)sinsinC.sin(?)coscosD.cos

9、(?)coscos【解答】解：如图，由题意知EAB=，DBA=，在 RtADB 中，AD=，AB=sin，又由题意知EAC=，ACB=，BAC=，在ABC 中，BC=ABsin(?)sin=sin(?)sinsin，故选 A7.若锐角中，则的取值范围是()A.B.C.D.【解答】解：因为 C=2B，所以 sinC=sin2B=2sinBcosB，sinCsinB=2cosB由正弦定理cb=sinCsinB=2cosB，在锐角三角形 ABC 中，2 C+B=3B ，2B=C 2，6 B 4，所以 cosB(22,33)，2cosB(2,3)，所以的取值范围是2,3 故选 C8.在ABC 中，已知

10、 cosA=15，AC=5，ABC 的面积为 2 6，点 M 为 BC 边上的中点，则 AM=()A.21B.212C.33D.332解：因为 cosA=15，AC=5，所以 sinA=1 cos2A=2 65，所 以ABC 的 面 积 为 2 6=12AB AC sinA=12 AB 5 2 65，解得 AB=2，因为点 M 为 BC 边上的中点，所以AB?+AC?=2AM?，两边平方，可得|AB?|2+|AC?|2+2|AB?|AC?|cosA=4|AM?|2，可得4+25+2 2 5 15=4|AM?|2，高一数学第 9页(共 16页)高一数学第 10页(共 16页)学科网（北京）股份有

11、限公司密密封封线线学校班级姓名学号密封线内不得答题解得|AM?|2=334，可得 AM=332故选：D二、多选题（本大题共 4 小题，共 16.0 分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知a?，b?，c?是三个非零向量，则下列结论正确的有()A.若a?b?=|a?|b?|，则a?/b?B.若a?/b?，b?/c?，则a?/c?C.若a?c?=b?c?，则a?=b?D.若|a?+b?|=|a?b?|，则a?b?【解答】解：a?，b?，c?是三个非零向量，A，因为a?b?=|a?|b?|，而a?b?=|a?|b?|cos，两式结合可得 cos=1，即=0，可得 a?，b?同向，正确；B，由共线定理

12、可知，正确；C，因为a?c?=b?c?，则可得(a?b?)c?=0，所以a?=b?或c?=0?或(a?b?)c?，故错误；D，由|a?+b?|=|a?b?|可得，|a?+b?|2=|a?b?|2，化简得a?b?=0，正确故选 ABD10.下列说法正确的有()A.任意两个复数都不能比大小B.若 z=a+bi(aR,bR)，则当且仅当 a=b=0 时，z=0C.若z1，z2C，且z12+z22=0，则z1=z2=0D.若复数 z 满足|z|=1，则|z+2i|的最大值为 3【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以 A 不正确；复数的实部与虚部都是 0 时，复数是 0，所以 B 正确；反

13、例z1=1，z2=i，满足z12+z22=0，所以 C 不正确；复数 z 满足|z|=1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到(0,2)的距离，它的最大值为 3，所以 D 正确；故选：BD11.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，下列结论中正确的选项有()A.若a2+b2 c2 0，则ABC 一定是锐角三角形B.若 acosB bcosA=c，则ABC 一定为直角三角形C.若acosA=bcosB=ccosC，则ABC 一定是等边三角形D.若 acosA=bcosB，则ABC 一定是等腰三角形【解答】对于 A，因为a2+b2 c2 0，所以 cosC=a2+b2?c2

14、2ab 0，因为 C(0,)，所以角 C 为锐角，但角 A，B 的大小不能确定，所以ABC 不一定是锐角三角形，所以 A 错误，对于 B，因为 acosB bcosA=c，所以由余弦定理得 aa2+c2?b22ac bb2+c2?a22bc=c，化简得a2=b2+c2，所以ABC 一定为直角三角形，所以 B 正确，对于 C，因为acosA=bcosB=ccosC，所以由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，所以 tanA=tanB=tanC，因为 A,B,C(0,)，所以 A=B=C，所以ABC 一定是等边三角形，所以 C 正确，对于 D，因为 acosA=bcosB

15、，所以由正弦定理得 sinAcosA=sinBcosB，高一数学第 11页(共 16页)高一数学第 12页(共 16页)密封线内不得答题所以 sin2A=sin2B，因为 A,B(0,)，所以 2A=2B，或 2A+2B=，所以 A=B 或 A+B=2，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以 D错误，故选：BC12.在ABC 中，D 在边 BC 上，且 DC=3BD，BD=2，若 AB=2AD，cosADB=33，则下列结论中正确的是()A.sinABD=33B.ABC 为锐角三角形C.ABC 的外接圆半径为 3 2D.ABC 的内切圆半径为 4(3 2)【解答】解：设 AD=x，则 AB

16、=2x，由 cosADB=33，ADB(0,)，可得 sinADB=63，在ABD 中，由正弦定理可得sinABD=ADsinADBAB=632=33，故 A 正确；在ABD 中，由余弦定理，有：AB2=BD2+AD2 2BD AD cosADB，即：2x=4+x 2 2x 33，解得 x=2 3，故 AD=2 3,AB=2 6,在ACD 中，cosADC=cosADB=33，AD=2 3,CD=6，故 AC=AD+CD 2AD CDcosADC=12+36 2 2 3 6 33=24，所以 AC=2 6，又 BC=BD+DC=8，由 AB+AC=48 BC，可知ABC 为钝角三角形，故 B

17、错误；设ABC 的外接圆半径 R，由正弦定理可得2R=ACsinABC=2 633=6 2，R=3 2，故 C 正确；设ABC 的内切圆半径为 r，则SABC=12 2 6 8 33=12(2 6+2 6+8)r，解得 r=4(3 2)，故 D 正确故选 ACD三、填空题（本大题共 4 小题，共 17.0 分）13.已知a?=(2,7),b?=(x,3)，且a?与b?夹角为钝角，则 x 的取值范围_解：由题意知 a?与b?的夹角为钝角，所以a?b?=2x 21 0，所以 x 212，又当a?与b?共线时，有2x=7?3，则 x=67，此时b?=(67,3)=37(2,7)=37a?，即a?与b

18、?反向共线，即a?与b?夹角为钝角时，x 的取值范围为x|x 212且 x 67，故答案为：x|x 212且 x 6714.设 i 是虚数单位，复数2+ai1?i为纯虚数，则实数 a=_高一数学第 13页(共 16页)高一数学第 14页(共 16页)学科网（北京）股份有限公司密密封封线线学校班级姓名学号密封线内不得答题【解答】解：2+ai1?i=2+ai1+i1?i1+i=2?a+2+a i2，复数2+ai1?i是纯虚数，2?a2=02+a2 0，解得：a=2故答案为：215.在ABC 中，已知 AB=2,AC=1,A 的平分线 AD=1，则ABC 的面积【解答】解：如图：因为 AD 是A 的

19、平分线，所以ABAC=BDCD，不妨设 BD=2x，CD=x，结合已知得 cosBAD=cosCAD，由余弦定理得：1+4?4x2221=1+1?x2211，解得 x=22，负值舍去，所以 BC=3x=3 22所以cosBAC=AB2+AC2?BC22ABAC=4+1?184221=18，可得 sinBAC=1 cos2A=3 78，所以SABC=12AB AC sinBAC=12 2 1 3 78=3 7816.已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，25bsinC+asinA=bsinB+csinC，b=4，G 为ABC 内一点，且GA?+GB?+GC?=0?，CA

20、G=45，则 AG=【解答】解：25bsinC+asinA=bsinB+csinC，由正弦定理可得：25bc+a2=b2+c2，由余弦定理可得：b2+c2 a2=2bccosA，25bc=2bccosA，解得：cosA=210sinA=1 cos2A=7 210 CAG=45，sinBAG=sin(A 45)=7 2102221022=35GA?+GB?+GC?=0?，G 为ABC 的重心，SBAG=13SABC，12 c AG sinBAG=1312c 4sinA，AG 35=13 4 7 210，解得 AG=14 29故答案为：14 29四、解答题（本大题共 3 小题，共 36.0 分。解

21、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题 12.0 分)已知a?，b?，c?是同一平面内的三个向量，其中a?=(1,2)(1)若|b?|=2 5，且a?/b?，求b?的坐标；高一数学第 15页(共 16页)高一数学第 16页(共 16页)密封线内不得答题(2)若|c?|=10，且 2a?+c?与 4a?3c?垂直，求a?与c?的夹角解：(1)设b?=(x,y)，则由|b?|=2 5，可得x2+y2=(2 5)2，由a?/b?，可得 2x y=0，联立x2+y2=20y=2x，解得x=2y=4或x=2y=4，b?=(2,4)或b?=(2,4)；(2)2a?+c?与 4a?3c?垂直，

22、(2a?+c?)(4a?3c?)=0，即 8a?2 2a?c?3c?2=0，又|a?|=5,|c?|=10，8 5 2 5 10cos 3 10=0，cos=22，又0,，a?与c?的夹角=418.(本小题 12.0 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且满足(2b a)cosC=ccosA(1)求角 C 的大小；(2)若 a=4 2，b=2c，求ABC 的面积解：(1)由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，(2b a)cosC=ccosA，(2sinB sinA)cosC=sinCcosA，2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A

23、+C)=sinB，sinB 0，cosC=22，C(0,)，C=4(2)由余弦定理知，c2=a2+b2 2ab cosC，c2=32+2c2 2 4 2 2c cosC，即c2 8 2c+32=0，解得 c=4 2，b=2c=8，ABC 的面积 S=12absinC=12 4 2 8 22=1619.(本小题 12.0 分)已知锐角ABC 的面积是 S，AB?AC?=2 33S(1)求 sinA 的值；(2)若 BC=2 3，求ABC 周长的取值范围；解：(1)由AB?AC?=2 33S 得 ABACcosA=2 3312ABACsinA，所以 cosA=33sinA，在ABC 中 A(0,2)得 tanA=3，所以A=3，sinA=32，(2)在ABC 中ABsinC=ACsinB=BCsinA得ABsinC=ACsin(3+C)=2 332=4，所以周长 l=BC+AB+CA=2 3+4sinC+4sin(3+C)=2 3+4 3sin(C+6)，因 为ABC 是 锐 角 三 角 形，所 以0 C 20 23 C 2，解 得6 C 2，32 sin(C+6)1所以周长 l 的取值范围是(2 3+6,6 3,