哈师大附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案.pdf

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1、 答案第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 1从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取 2 个，则这 2 个数字之积大于 5 的概率为（）A25 B12 C35 D710 2各项均为正数的等比数列 na前n项和为nS，且1233,4aa a成等差数列，若11a=，则4S=（）A15 B58 C58或 15 D58或15 3进入 8 月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为 24 小时内最高气温将升至 37 摄氏度以上），在今后的 3 天中，每一天最高气温在 37 摄氏度以上的概率是35.用计算机生成了 20 组随机数，结果如下:116 78

2、5 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用 0，1，2，3，4，5 表示高温橙色预警，用 6，7，8，9 表示非高温橙色预警，则今后的 3 天中恰有 2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）A35 B12 C1320 D25 4一组数据()122023122023,x xxxxx的均值为x，第 25 百分位数为m，方差为2s，则（）A505mx=B10121013xxx的渐近线与圆()2244xy+=相切，则C的离心率为（）A3 B2 C43 D4 6已知等差数列 na的前n项和为nS

3、，60a，则使得不等式0nS 上的一点，若以抛物线的焦点F为圆心，以FA为半径的圆交抛物答案第 2 页，共 4 页 线的准线于,B C两点，BFBC=，当ABC的面积为323时，p的值为（）A2 B2 2 C4 D4 2 8已知数列 na满足112a=，418a=，且()111122nnnnnnaaaaaan+=，若1nnnba a+=，数列 nb的前n项和为nT，则2024=T（）A20238096 B20232024 C20242025 D5062025 9已知双曲线C：221xym=的实轴长是虚轴长的 3 倍，则下列关于双曲线C的说法正确的是（）A实轴长为 6 B虚轴长为 2 C焦距为2

4、 2 D离心率为2 23 10下列说法正确的是（）A“1a=”是“直线10axy+=与直线20 xay=互相平行”的充要条件 B已知点()2,1A，()1,2 3B，直线l过()1,0P且与线段AB相交，则其倾斜角的范围是 2,43 C圆1C：2220 xyx+=与2C：22480 xyxym+=恰有四条公切线，则420m（的左、右焦点分别为12,F F，C与有公共焦点的椭圆在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为1212,e ePFF的内切圆的圆心为I，2121,PFIPF IFFI的面积分别是123,S S S,过2F作直线PI的垂线，垂足为D，则（）AI 到 y 轴的距离为 a

5、B点D的轨迹是双曲线 C若12313SSS，则113e的焦点为F，第一象限的,A B两点在抛物线上，且满足4BFAF=，4 2AB=若线段AB中点的纵坐标为 4，则抛物线的方程为 .16已知数列na满足11232nnaaa+=+，若对任意正整数1n 都有 (1)23nk an+恒成立，则实数 k的取值范围是 .17（本小题满分 10 分）已知数列 na的首项为 3，且满足13 2nnnaa+=.(1)求证：数列12nna是等比数列；(2)求数列 na的前n项和nS.18（本小题满分 12 分）过点()1,0P作直线l与抛物线22yx=相交于,A B两点.(1)若直线l的斜率是 1，求弦AB的长

6、度；(2)若2PAPB=，求直线l的方程 19（本小题满分 12 分）已知 na为等差数列，nb是公比为正数的等比数列，11212,21abab=，3222ba=+(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)求数列nnab的前 n项和nS 20（本小题满分 12 分）某学校后勤服务中心为监控学校食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查 50 名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据自己的感受从 0 到 100 分选取一个分数打分，根据这 50 名师生对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图下图是根据本学期第二次抽样调查师生打分

7、结果绘制的频率分布直方图，其中答案第 4 页，共 4 页 样本数据分组为40，50），50，60），90，100(1)求频率分布直方图中 a的值，并估计样本数据的众数；(2)学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于 75 分，否则将进行内部整顿用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；(3)学校每周都会随机抽取 3 名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这 3 名学生了解食堂服务质量，校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食堂服

8、务情况若以本次抽取的 50 名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定学生评分在40，60）之间的会给“差评”，评分在60，80）之间的会给“中评”，评分在80，100之间的会给“好评”，已知本周和校长共进午餐的 3 名学生都会根据自己的感受独立地作答，不会受到另外两人的影响，试估计本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率 21（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系Oxy中，圆1F：()2224xy+=，()22,0F，P是圆1F上的一个动点，线段2PF的垂直平分线 l与直线1PF交于点 M记点 M的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)过点2F作与 x 轴不垂

9、直的任意直线交曲线 C 于 A,B两点，线段 AB的垂直平分线交 x 轴于点 H，求证：2ABF H为定值 22（本小题满分 12 分）椭圆C与双曲线22221xy=有相同的焦点，且过点31,2.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 A,B,设M为直线4x=上不同于点(4,0)的任意一点，连接线段AM交椭圆于点P，连接线段MB并延长交椭圆于点Q.（i）证明：点 B 在以PQ为直径的圆内；（ii）求四边形APBQ面积的最大值 答案第 1 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一单选题 1.C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.

10、C 8.D 二、多选题 9.AB 10.BC 11.ACD 12.ACD 三、填空题 13.14 14.152 15.28yx=16.1,9+三、解答题 17.【解】（1）由数列 na的首项为3，且满足13 2nnnaa+=，可得1113 2111(1)2222nnnnnnnaaa+=，又111022a=，所以数列12nna是以12为首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）得1111()222nnna=，可得12(1)nnna=+，所以数列na的前n项和12(1 2)1(1)(1)321 21(1)2nnnnnS+=+=.18【解】（1）直线l的方程为1yx=，由221yxyx=消去y得24

11、10 xx+=，设()()1122,A x yB xy，解得112313xy=，222313xy=+=+，即()()23,13,23,13AB+，所以()()222 32 32 6AB=+=.（2）由于直线l过()1,0P且与抛物线相交于,A B两点，所以可设直线l的方程为1xmy=+，由212xmyyx=+=消去x并化简得2220ymy=，2480m=+，122yym+=，122y y=，答案第 2 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由2PAPB=得()()()1122221,21,22,2xyxyxy=，所以122yy=，由121222y yyy=解得

12、1221yy=或1221yy=，所以122yym+=的值为12，所以直线l的方程为112xy=+或112xy=+，即220 xy=或220 xy+=.19【解】（1）设 na公差为d，nb公比为0q，则()222 2 12222dqd+=+，又0q，解得12dq=，所以()2111nann=+=+，12 22nnnb=；（2）()1 2nnnna b=+，()232 23 24 21 2nnSn=+，()234122 23 24 21 2nnSn+=+，两式相减得()()1231114242221 241 221 2nnnnnnSnnn+=+=+=，故12nnSn+=.20【解】（1）由(0.

13、0040.0220.0280.0220.018)101a+=，解得0.006a=.该组数据的众数在分数为70,80这一组，取中点值为 75 分，即众数为 75（2）由题中数据可得对食堂服务质量评分的平均分为 45 0.004 1055 0.006 1065 0.022 10 x=+75 0.028 1085 0.022 1095 0.018 1076.2+=因为 76.275，所以食堂不需要内部整顿.（3）由图可知，40，60）、60，80）、80，100这三组的频率分别为 0.1、0.5、0.4；用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为 0.1、0.5、0.4；以本次抽取的 3 名学生

14、，让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，记 3 名学生分别为甲、乙、丙；设本周校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为 A，则 A 事件即为：甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙中评、乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评；即 答案第 3 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司()0.4 0.5 0.50.4 0.4 0.50.4 0.5 0.40.5 0.4 0.50.5 0.4 0.4P A=+0.5 0.5 0.40.4 0.4 0.40.60

15、4+=()1()1 0.6040.396P AP A=.即本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率为 0.396.21.【解】（1）如图所示，连结2MF，根据题意，2|MPMF=，则21111224MFMFMPMFPFFF=，其中22a=，24c=，1a=，2c=，222413bca=，故所求C的方程为2213yx=（2）证明：设直线AB的方程为()2yk x=，()()1122,A x yB xy()22213yk xyx=，()222234430kxk xk+=，0 所以22121222443,33kkxxx xkk+=，则()31212224124433kkyyk xxkk

16、kk+=+=，所以AB中点为22226,33kkQkk，当0k=时，()()()(0,0),0,0,1,0,1,0QHAB，此时2212ABF H=;当0k 时，则AB垂直平分线方程为22261233kkyxkkk=，令0y=得2283kxk=，即228,03kHk，所以()2222261823|3|kkF Hkk+=，又()2222221222226 1443114333kkkABkxxkF Hkkk+=+=+=，综上可得2ABF H为定值 1 答案第 4 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22.【解】（1）由题知，椭圆C的焦点为()()1,0,1,0，

17、1c=，故可设椭圆C的方程为222211xyaa+=，将点31,2代入可得2291411aa+=，解得24a=，所以椭圆C得方程为22143xy+=.（2）（i）易知(2,0),(2,0)AB，由椭圆对称性可知，不妨设()4,0Mtt，()()QQ,ppP xyQ xy；根据题意可知直线,AM BM斜率均存在，且6MAtk=，2BMtk=；所以直线AM的方程为()26tyx=+，BM的方程为()22tyx=；联立直线AM和椭圆方程()2226143tyxxy=+=，消去y可得()222227441080txt xt+=；由韦达定理可得0，224108227ptxt=+，解得2254227Ptx

18、t=+，则()2182627pPttyxt=+=+；联立直线BM和椭圆方程()2222143tyxxy=+=，消去y可得()2222344120txt xt+=；由韦达定理可得0，2241223=+Qtxt，解得2Q2263=+txt，则()QQ26223=+ttyxt；则222222542184182,27272727ttttBPtttt=+，222222661262,3333tttBQtttt=+；所以()()22222222412186600273273273ttttBP BQtttttt=+=+，则299926tttttt+=+=，当且仅当3t=时等号成立；又12y=+在)6,+上单调递增，所以12628y=+=，可得48486128S=+，答案第 5 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以3t=时，四边形APBQ的面积最大为 6，此时点M的坐标为()4,3，由对称性可知，即当点M的坐标为()4,3或()4,3时，四边形APBQ的面积最大，最大值为 6.