黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学含答案.pdf

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1、1从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取 2 个，则这 2 个数字之积大于 5 的概率为（）A25B12C35D7102各项均为正数的等比数列 na前n项和为nS，且1233,4aa a成等差数列，若11a，则4S（）A15B58C58或 15D58或153进入 8 月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为 24小时内最高气温将升至 37 摄氏度以上），在今后的 3 天中，每一天最高气温在 37 摄氏度以上的概率是35.用计算机生成了 20 组随机数，结果如下:116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 21

2、7 109 361 908 284 044 147 318 027若用 0，1，2，3，4，5 表示高温橙色预警，用 6，7，8，9 表示非高温橙色预警，则今后的 3 天中恰有2 天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）A35B12C1320D254一组数据122023122023,x xxxxx 的均值为x，第 25 百分位数为m，方差为2s，则（）A505mxB10121013xxxC数据122023,axb axbaxb的均值为axD数据122023,axb axbaxb的方差为22a s5双曲线C：222210,0 xyabab的渐近线与圆2244xy相切，则C的离心率为（）A3B2C4

3、3D46已知等差数列 na的前n项和为nS，60a，490aa，则使得不等式0nS 成立的最大的n的值为（）A9B10C11D127已知点A是抛物线220ypx p上的一点，若以抛物线的焦点F为圆心，以FA为半径的圆交抛物线的准线于,B C两点，BFBC，当ABC的面积为323时，p的值为（）A2B2 2C4D4 28已知数列 na满足112a，418a，且111122nnnnnnaaaaaan，若1nnnba a，数列 nb的前n项和为nT，则2024T（）A20238096B20232024C20242025D50620259已知双曲线C：221xym的实轴长是虚轴长的 3 倍，则下列关于

4、双曲线C的说法正确的是（）A实轴长为 6B虚轴长为 2C焦距为2 2D离心率为2 2310下列说法正确的是（）A“1a”是“直线10axy 与直线20 xay互相平行”的充要条件B已知点2,1A，1,2 3B，直线l过1,0P且与线段AB相交，则其倾斜角的范围是 2,43C圆1C：2220 xyx与2C：22480 xyxym恰有四条公切线，则420mD圆222xy上有且仅有 2 个点到直线l：10 xy 的距离等于2211记nS为数列 na的前 n 项和，nb为数列 nS的前 n 项积，已知*212,NnnnSb,则（）A132a B11nan nC21nnSnD数列 nb是等差数列12双曲

5、线2222:10,0)xyCabab（的左、右焦点分别为12,F F，C与有公共焦点的椭圆在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为1212,e ePFF的内切圆的圆心为I，2121,PFIPF IFFI的面积分别是123,S S S,过2F作直线PI的垂线，垂足为D，则（）AI 到 y 轴的距离为 aB点D的轨迹是双曲线C若12313SSS，则113eD若1OPOF，则2212112ee13某高中学生总人数为 1000 人，其中高三人数为 300 人，现采用按比例分配的分层抽样方法从全校学生中抽取 20 人参加一项活动，则高一与高二参加活动的总人数为.14已知动点,P x y在椭圆22

6、12516xy上，过点 P 作圆22134xy的切线，切点为 M，则PM的最小值是.15已知抛物线220ypx p的焦点为F，第一象限的,A B两点在抛物线上，且满足4BFAF，4 2AB 若线段AB中点的纵坐标为 4，则抛物线的方程为.16已知数列na满足11232nnaaa，若对任意正整数1n 都有(1)23nk an恒成立，则实数 k 的取值范围是.17（本小题满分 10 分）已知数列 na的首项为 3，且满足13 2nnnaa.(1)求证：数列12nna是等比数列；(2)求数列 na的前n项和nS.18（本小题满分 12 分）过点1,0P作直线l与抛物线22yx相交于,A B两点.(1

7、)若直线l的斜率是 1，求弦AB的长度；(2)若2PAPB ，求直线l的方程19（本小题满分 12 分）已知 na为等差数列，nb是公比为正数的等比数列，11212,21abab，3222ba(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)求数列nnab的前 n 项和nS20（本小题满分 12 分）某学校后勤服务中心为监控学校食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查，每次调查的具体做法是：随机调查 50 名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据自己的感受从 0 到 100 分选取一个分数打分，根据这 50 名师生对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图 下图是根

8、据本学期第二次抽样调查师生打分结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为40，50），50，60），90，100(1)求频率分布直方图中 a 的值，并估计样本数据的众数；(2)学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于 75分，否则将进行内部整顿 用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；(3)学校每周都会随机抽取 3 名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这 3 名学生了解食堂服务质量，校长的做法是让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者“没有出现好评”，校长会立即责成后勤分管副校长亲自检查食

9、堂服务情况 若以本次抽取的 50 名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定学生评分在40，60）之间的会给“差评”，评分在60，80）之间的会给“中评”，评分在80，100之间的会给“好评”，已知本周和校长共进午餐的 3 名学生都会根据自己的感受独立地作答，不会受到另外两人的影响，试估计本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率21（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系Oxy中，圆1F：2224xy，22,0F，P 是圆1F上的一个动点，线段2PF的垂直平分线 l 与直线1PF交于点 M记点 M 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)过点2F作与 x 轴不垂直

10、的任意直线交曲线 C 于 A,B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 H，求证：2ABF H为定值22（本小题满分 12 分）椭圆C与双曲线22221xy有相同的焦点，且过点31,2.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 A,B,设M为直线4x 上不同于点(4,0)的任意一点，连接线段AM交椭圆于点P，连接线段MB并延长交椭圆于点Q.（i）证明：点 B 在以PQ为直径的圆内；（ii）求四边形APBQ面积的最大值一单选题1.C2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.D二、多选题9.AB10.BC11.ACD12.ACD三、填空题13.1414.15215.28

11、yx16.1,9三、解答题17.【解】（1）由数列 na的首项为3，且满足13 2nnnaa，可得1113 2111(1)2222nnnnnnnaaa ，又111022a，所以数列12nna是以12为首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）得1111()222nnna ，可得12(1)nnna，所以数列na的前n项和12(1 2)1(1)(1)321 21(1)2nnnnnS .18【解】（1）直线l的方程为1yx，由221yxyx消去y得2410 xx，设1122,A x yB xy，解得112313xy，222313xy，即23,13,23,13AB，所以222 32 32 6AB.（2

12、）由于直线l过1,0P且与抛物线相交于,A B两点，所以可设直线l的方程为1xmy，由212xmyyx消去x并化简得2220ymy，2480m，122yym，122y y ，由2PAPB 得1122221,21,22,2xyxyxy，所以122yy，由121222y yyy 解得1221yy 或1221yy，所以122yym的值为12，所以直线l的方程为112xy或112xy，即220 xy或220 xy.19【解】（1）设 na公差为d，nb公比为0q，则2222 12222dqd，又0q，解得12dq，所以2111nann，12 22nnnb；（2）1 2nnnna b，232 23 24

13、 21 2nnSn ，234122 23 24 21 2nnSn ，两式相减得1231114242221 241 221 2nnnnnnSnnn ，故12nnSn.20【解】（1）由(0.0040.0220.028 0.0220.018)101a，解得0.006a.该组数据的众数在分数为70,80这一组，取中点值为 75 分，即众数为 75（2）由题中数据可得对食堂服务质量评分的平均分为45 0.004 1055 0.006 1065 0.022 10 x 75 0.028 1085 0.022 1095 0.018 1076.2因为 76.275，所以食堂不需要内部整顿.（3）由图可知，40

14、，60）、60，80）、80，100这三组的频率分别为 0.1、0.5、0.4；用频率估计概率，即差评、中评、好评的概率分别为 0.1、0.5、0.4；以本次抽取的 3 名学生，让学生在“差评、中评、好评”中选择一个作答，已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，记 3 名学生分别为甲、乙、丙；设本周校长不会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的事件记为 A，则A 事件即为：甲好评乙丙中评、甲乙好评丙中评、甲丙好评乙中评、乙好评甲丙中评、乙丙好评甲中评、丙好评甲乙中评、甲乙丙都好评；即()0.4 0.5 0.50.4 0.4 0.50.4 0.5 0.40.5 0.4

15、0.50.5 0.4 0.4P A 0.5 0.5 0.40.4 0.4 0.40.604()1()10.6040.396P AP A .即本周校长会责成后勤分管副校长亲自检查食堂服务质量的概率为 0.396.21.【解】（1）如图所示，连结2MF，根据题意，2|MPMF，则21111224MFMFMPMFPFFF，点M的轨迹是以1F，2F为焦点的双曲线，设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，其中22a，24c，1a，2c，222413bca，故所求C的方程为2213yx（2）证明：设直线AB的方程为2yk x，1122,A x yB xy22213yk xyx，222234430k

16、xk xk，0 所以22121222443,33kkxxx xkk，则31212224124433kkyyk xxkkkk，所以AB中点为22226,33kkQkk，当0k 时，(0,0),0,0,1,0,1,0QHAB，此时2212ABF H;当0k 时，则AB垂直平分线方程为22261233kkyxkkk，令0y 得2283kxk，即228,03kHk，所以2222261823|3|kkF Hkk，又2222221222226 1443114333kkkABkxxkF Hkkk，综上可得2ABF H为定值 122.【解】（1）由题知，椭圆C的焦点为 1,0,1,0，1c，故可设椭圆C的方程

17、为222211xyaa，将点31,2代入可得2291411aa，解得24a，所以椭圆C得方程为22143xy.（2）（i）易知(2,0),(2,0)AB，由椭圆对称性可知，不妨设4,0Mtt，QQ,ppP xyQ xy；根据题意可知直线,AM BM斜率均存在，且6MAtk，2BMtk；所以直线AM的方程为26tyx，BM的方程为22tyx；联立直线AM和椭圆方程2226143tyxxy，消去y可得222227441080txt xt；由韦达定理可得0，224108227ptxt，解得2254227Ptxt，则2182627pPttyxt；联立直线BM和椭圆方程2222143tyxxy，消去y可

18、得2222344120txt xt；由韦达定理可得0，2241223Qtxt，解得2Q2263txt，则QQ26223 ttyxt；则222222542184182,27272727ttttBPtttt，222222661262,3333tttBQtttt；所以22222222412186600273273273ttttBP BQtttttt ；即可知PBQ为钝角，所以点 B 在以PQ为直径的圆内；（ii）易知四边形APBQ的面积为22Q222222118648(9)48291222739129pttttSAByytttttttt，设29,0ttt，则299926tttttt ，当且仅当3t 时等号成立；又12y在6,上单调递增，所以12628y，可得48486128S，所以3t 时，四边形APBQ的面积最大为 6，此时点M的坐标为4,3，由对称性可知，即当点M的坐标为4,3或4,3时，四边形APBQ的面积最大，最大值为 6.