山东省济宁市2023-2024学年高三上学期质量检测数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度第一学期高三质量检测数学试题学年度第一学期高三质量检测数学试题2024.01本试卷共本试卷共 4 页页.满分满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。注意事项：分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上。答卷前，考生务必将自己的姓名，考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、

2、单项选择题：本题共铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1i)12i0z，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合2N30Axxx，集合2log,By yx xA，则AB（）A.1B.2C.0,1D.3.“1a”是“直线1:10laxy 与

3、直线22:10lxa y 垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点分别为1F、2F，点P为椭圆E上位于第一象限内的一点，若123PFPF，2|OPOF（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为（）A.54B.64C.22D.1045.如图，已知圆锥SO的母线长为2 6，AB是底面圆O的直径，且4AB，点C是弧AB的中点，D是SA的中点，则异面直线SO与CD所成角的大小为（）A.6B.4C.3D.2更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君山东省济宁市2023-2024学年高三上学期1月期末学科网

4、（北京）股份有限公司6.定义在R上的函数()yf x和()yg x的图象关于y轴对称，且函数(1)2yf x是奇函数，则函数()yg x图象的对称中心为（）A.(1,2)B.(1,2)C.(1,2)D.(1,2)7.若tan24，则sin(1sin2)cossin（）A.65B.35C.35D.658.已知正三棱锥PABC的底面边长为2 2，E为棱PB的中点，若PACE，则三棱锥PACE的外接球的表面积是（）A.92B.9C.814D.36二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的

5、得分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9.下列命题中正确的是（）A.若22acbc，则abB.若ab且cd，则acbdC.若0a，0b，且21ab，则11ab的最小值为32 2D.若0a，则942aa的最小值为 410.已知函数()sin()(0,0)f xx 的最小正周期为，且函数()f x的图象关于直线12x 对称，则下列说法正确的是（）A.函数()f x的图象关于点2,03对称B.函数()f x在区间50,12内单调递减C.函数()f x在区间,4 2 内有恰有两个零点D.函数()

6、f x的图象向右平移12个单位长度可以得到函数()cos2g xx的图象11.已知数列 na的前n项和为nS，且满足11a，12nnna a，221lognnba，数列1nnbb的前n项更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司和为nT，则下列说法正确的是（）A.1212nnaB.122nnaC.101220243 23SD.1nT 12.已知双曲线22:13yE x 的左、右焦点分别为1F、2F，过左焦点1F的直线与双曲线E的左支相交于,A B两点（A在第二象限），点C与B关于坐标原点对称，点M的坐标为(0,2 3），则下列结论正确的是（）A.记直线AB、AC

7、的斜率分別为1k、2k，则1213kkB.若110CFBF，则13CBFSC.1MCCF的最小值为 6D.12AFAF 的取值范围是3,4三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.已知指数函数()yf x的图象经过点(3,27)，则32log 2f_.14.已知平面向量,a b满足1a，(1,2)b，(2)aab，则向量,a b夹角的余弦值为_.15.已知圆22:4O xy，过点(3,1)P作两条与圆O相切的直线，切点分别为,A B，则AB _.16.若函数22()e1exxf xxaxa恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_

8、.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分 10 分）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，已知coscos02cosabCcBA.（1）求角A的大小；（2）若3ABCS，求a的最小值.18.（本题满分 12 分）已知数列 na为公差大于 0 的等差数列，其前n项和为nS，515S，248aa.（1）求数列 na的通项公式；更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司（2）设2cos2nannab，求数列 nb

9、的前 100 项和100T.19.（本题满分 12 分）如图，已知三棱柱111ABCA BC各棱长均为 2，,D E分別是线段AC，1AA的中点，1A D 平面ABC.（1）求证：平面1ABC 平而BDE；（2）求平面1B BD与平面BDE夹角的大小.20.（本题满分 12 分）如图，点P是圆心角为23，半径为 1 的扇形圆弧AB上的一动点（与,A B不重合），C在线段OB上且/CP OA，记POA，线段OC，CP及圆弧PA的长度之和为()f.（1）求函数()f关于的解析式；（2）求为何值时，函数()f取得最大值.21.（本题满分 12 分）已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点到C的准线

10、的距离为 1.（1）求抛物线C的方程；（2）若经过定点(0,4)D的直线l与抛物线C交于,A B两点，M为弦AB的中点，过M作与x轴垂直的直线与抛物线C交于点N，当ANBN时，求直线l的方程.22.（本题满分 12 分）已知函数1ln()xf xx.（1）求函数()f x的单调区间；更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司（2）若实数,m n满足0mn，证明：ee1eenmmnmn；（3）证明：当0 x 时，224e()xf xx.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度第一学期高三质量检测学年度第一学

11、期高三质量检测数学试题参考答案及评分标准数学试题参考答案及评分标准说明：（说明：（1）此评分标准仅供参考：）此评分标准仅供参考：（2）学生解法若与此评分标准中的解法不同，请酌情给分。）学生解法若与此评分标准中的解法不同，请酌情给分。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。1.C 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

12、要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9.AC 10.ABD 11.ACD 12.BD12.提示：设11,A x y，22,B xy，22,Cxy由于,A B两点均在双曲线的左支上，所以54Ax ，54Bx ，54Cx 对于 A：设11,A x y，22,B xy，22,Cxy则，221212121222121212yyyyyykkxxxxxx,A B均在双曲线上，221122221313yxyx，所以2222121213xxyy所以，123kk，A 错误.对于 B：由110CFBF 知，11CFBF由对称性得，12CFCF且1

13、1 2CBFCF FSS计算可得，11 23CBFCF FSS，B 正确对于12:2CMCMFMCCF当M，C，2F三点共线时，1226MCMFMCCF此时，54Cx，与54Cx 矛盾，故 C 错误对于 2212111111:2,2,4D AFAFxyxyxy 又，221131yx，所以，212147AFAFx 结合，54Ax 得，12AFAF 的取值范围是3,4，故 D 正确.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司综上，正确答案为：BD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.4 14.510

14、 15.4 155 16.0a a 或1ea 16.提示：22()e1e()exxxf xxaxaxaxa令()0f x，则xa或exxa记()exxg x，1()exxg x，()g x在(0,1)上单调递增；在(1,)上单调递减()g x最大值为1(1)eg.当0a 时，()f x只有一个零点，0 x，显然不合题意要使()f x恰好有两个零点，则方程exxa只有一个实根，另一个零点为xa.故a的取值范围为：1(0,)e四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.（

15、10 分）解：（1）coscos02cosabCcBA由正弦定理得：sinsincossincos02cosABCCBAsinsinsin()sin02cos2cosAABCAAA，又sin0A，1cos2A，(0,)A，23A（2）113sin3222ABCSbcAbc，4bc 由余弦定理得：222222cos312abcbcAbcbcbc当且仅当2bc时等号成立.2 3a即a的最小值为2 3.18.（12 分）解：（1）设数列 na的公差为(0)d d 因为515S，248aa更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司所以111521538adadad解得1

16、11ad或151ad（舍去）所以，1(1)1(1)1naandn，即nan.（2）由（1）得2cos2cos22nannnanb当41nk，Nk 时，(41)coscos 2022kk，所以410kb；当42nk，Nk 时，(42)coscos(2)12kk，所以42422kkb；当43nk，Nk 时，(43)3coscos 2022kk，所以430kb；当4(1)nk，Nk 时，4(1)coscos(22)12kk，所以44442kkb；246810010022222T 50102241(4)24512 .19.（12 分）（1）证明：1A D 平面ABC，BD 平面ABC，1A DBD2A

17、BACBC，D为AC的中点，BDAC1ACA DD，BD平面11ACC A，1BDAC在平行四边形11ACC A中，11112ACCCC AA A，四边形11ACC A为菱形，11ACAC又,D E分别为AC，1AA的中点，1/DE AC1ACDE，1AC平面BDE，1AC 平面1ABC平面1ABC 平面BDE（2）由（1）可知，DB，DC，1DA两两相互垂直，故建立以D为坐标原点，以DB，DC，1DA所在直更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司线分别为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系由三棱柱的所有棱长均为 2 得，3DB，1DA，13DA(0,0

18、,0)D，(0,1,0)A，(3,0,0)B，1(3,1,3)B，1(0,2,3)C(3,0,0)DB，1(3,1,3)DB ，1(0,3,3)AC 设平面1B BD的法向量为(,)mx y z则100m DBm DB ，30330 xxyz令1z，则3y ，0 x 所以，平面1B BD的一个法向量为(0,3,1)m 由（1）知1AC 平面BDE所以，平面BDE的一个法向量为1(0,3,3)AC 设平面1B BD与平面BDE的夹角为则113 331cos222 3|m ACmAC ，3所以，平面1B BD与平面BDE的夹角为3.20.（12 分）解：（1）在PCO中，由题可知1OP，CPO，3

19、OCP，23COP由正弦定理得，12sinsinsin33OCCP更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司所以，sin2sin3sin3OC.22sin2sin333sin3CP在扇形POA中，记弧PA的长度为l，则l所以，22sin2sin2333()sincos22333fOCCP所以，()2sin6f，20,3（2）由（1）得，()2cos16f，20,3令()2cos106f，得2当0,2时，()0f，()f单调递增当2,23时，()0f，()f单调递减所以，当2时，()f取最大值，且最大值为32.21.（12 分）解：（1）因为抛物线 C 的焦点到

20、C 的准线的距离为 1，所以，1p 所以，抛物线C的方程为22xy.（2）由题意可得，直线l存在斜率，又直线l过(0,4)D，故设直线l的方程为4ykx，由224xyykx，消去y并整理得2280 xkx，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司24320k，所以直线l与抛物线C恒有两个交点.设11,A x y，22,B xy，则122xxk，128x x ，所以，21212828yyk xxk，2221212(8)16224xxy y.因为，M为弦AB的中点，过M作x轴垂直的直线与抛物线C交于点N，所以，122NMxxxxk，2222NNxky所以，N的坐标

21、为2,2kk所以，211,2kANkxy，222,2kBNkxy因为ANBN所以，221212022kkAN BNkxkxyy 即24212121212024kkx xk xxky yyy24222821628024kkkkk 整理得4222320328340kkkk解得2 33k 所以，直线l的方程为2 33120 xy或2 33120 xy.22.（12 分）解：（1）()f x的定义域为(0,)，2ln()xfxx由()0fx，得01x，由()0fx得1x；所以()f x的单调递增区间为(0,1)；()f x的单调递减区间为(1,).（2）证明：0mn，0ee1mn更多全科试卷尽在网盘群

22、，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司要证明ee1eenmmnmn，即证明：eeeenmmnmn即证明：11eemnmn，即证：lne1lne1eemnmn又由（1）可知，()f x的单调递增区间为(0,1)，eemnff，原命题成立.（3）要证明224e()xf xx，(0)x 即证明2(1ln)4exxx由（1）可知，()f x在1x 处取得最大值，()(1)f xf，1ln xx，2(1ln)xxx（等号在1x 时成立）下面证明：224exx，即证明：224eexx令2()(0)exxg xx，22(2)()eexxxxxxg x令()0g x，得02x，()0g x，得2x 所以()g x的单调递增区间为(0,2)；()g x的单调递减区间为(2,).24()(2)eg xg（等号在2x 时成立）综上：224e()xf xx（等号不能同时成立）.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君