天津市南开区2023-2024学年高三上学期质量检测（二）数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度第一学期阶段性质量监测（二）高三年级学年度第一学期阶段性质量监测（二）高三年级 数学学科数学学科2024.01本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分卷（非选择题）两部分.共共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.第第 I卷卷 1 至至 2 页，第页，第卷卷 3 至至 8 页页.祝各位考生考试顺利祝各位考生考试顺利!第第 I 卷注意事项：卷注意事项：1.答第答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名准考证号考试科目涂在答题卡上；卷前，考生务必将自己的姓名准考证号考试科目涂在答

2、题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共本卷共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分分.参考公式：参考公式：锥体的体积公式锥体的体积公式13VSh，其中，其中S表示锥体的底面积，表示锥体的底面积，h表示锥体的高表示锥体的高.对于事件对于事件,0A B P A，那么，那么 P ABP AP B A.一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一选择题：在每小题给出的四个选项中

3、，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,0,1,2,3,0,1,2,12UABxx Z，则UAB （）A.B.1C.2D.1,22.函数2()sin12xf xx的图象可能是（）A.B.C.D.3.“1a”是“2R,0 xxxa”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君天津市南开区2023-2024学年高三上学期质量检测（二）数学试题第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 100 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，

4、得到样本的频率分布直方图如图所示，则a的值为（）A.0.02B.0.2C.0.04D.0.45.设0.40.40.3log,log022,.3abc，则（）A.acbB.bacC.cbaD.abc6.数列 na满足12a，111nnnaaa，其前n项积nT，则10T等于（）A.16B.16C.6D.67.已知圆柱12OO的底面半径为 1，高为 2，AB，CD 分别为上、下底面圆的直径，ABCD，则四面体ABCD 的体积为（）A.13B.23C.1D.438.设函数 3sin(0,)f xx.若50,388ff，且 f x的最小正周期大于2，则（）A.17,312.B.111,324C.2,31

5、2 D.211,3129.已知13,0F，23,0F分别是双曲线222210,0 xyabab的左右焦点，点 P 是双曲线上一点，若126PFPFa，且12PFF的最小内角为6，则双曲线的标准方程为（）为更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 3 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司A.22163xyB.22136xyC.2218yx D.2218xy第第卷卷注意事项：注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2.本卷共本卷共 11 小题，共小题，共 105 分分.二填空题：本大题共二填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共

6、分，共 30 分分.10.已知复数1212i,izza，若12zz是实数，则实数a的值为_.11.6xyyx展开式中，3x的系数等于_12.直线21yx与圆 C：22450 xyx相交于 M，N 两点，则MN _13.设甲乘汽车动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为_.14.在ABC中，1,2,90ACBCC，则CACB _；若P为ABC所在平面内的动点，且33PC，则PA PB 的取值范围是_.15.已知函数 1221,1,log1,1,xxf xxx若方程 f xm有三个不等的实根，则实数m的取值范围是_；

7、函数 322g xff xf x的零点个数是_.三解答题：本大题共三解答题：本大题共 5 题，共题，共 5 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且2222sin3acBacb，22abc.（1）求角B大小；（2）求角A 的大小；（3）求2sin cos sincos sin sin cosABCABCC的值.17.如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为棱11AB上一点（不含端点），F为棱BC的中点.的更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 4 页/共 4 页学科网（

8、北京）股份有限公司（1）若E为棱11AB的中点，（i）求直线EF与平面11ABC所成角的正弦值；（ii）求平面11ABC和平面AC的夹角的余弦值；（2）求直线EF与11AC所成角余弦值的取值范围.18.设椭圆2222:1(0)xyEabab经过点2 2 6,33，且其左焦点坐标为1,0.（1）求椭圆方程；（2）对角线互相垂直的四边形ABCD的四个顶点都在E上，且两条对角线均过E的右焦点，求ACBD的最小值.19.已知正项等比数列 na满足1232,12aaa，数列 nb前n项和为12,1nS b，当2n 时，10nnnS Sb.（1）求 na的通项公式：（2）证明1nS等差数列，并求nS；（3

9、）设数列nnaS的前n项和为nT，若29nnTna恒成立，求的取值范围.20.已知函数 ln,af xxx g xxx，且函数 f x与 g x有相同的极值点.（1）求实数a的值；（2）若对121,3ex x，不等式 12f xf xk恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：ecosxxf xg xx.的的是更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 1 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度第一学期阶段性质量监测（二）学年度第一学期阶段性质量监测（二）高三年级高三年级 数学学科数学学科2024.01本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第

10、卷（非选择题）两部分卷（非选择题）两部分.共共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.第第 I卷卷 1 至至 2 页，第页，第卷卷 3 至至 8 页页.祝各位考生考试顺利祝各位考生考试顺利!第第 I 卷卷注意事项：注意事项：1.答第答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名准考证号考试科目涂在答题卡上；卷前，考生务必将自己的姓名准考证号考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共本卷共 9

11、小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分分.参考公式：参考公式：锥体的体积公式锥体的体积公式13VSh，其中，其中S表示锥体的底面积，表示锥体的底面积，h表示锥体的高表示锥体的高.对于事件对于事件,0A B P A，那么，那么 P ABP AP B A.一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,0,1,2,3,0,1,2,12UABxx Z，则UAB （）A.B.1C.2D.1,2【答案】C【解析】【分析】由集合补集及交集的性质即可求得.【详解】120,1Bxx Z，1,0,1,2,3U

12、 U1,2,3B 又0,1,2A UAB 2故选：C更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 2 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司2.函数2()sin12xf xx的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过判断 f x不是奇函数，排除 A，B，又因为302f，排除 C，即可得出答案.【详解】因为2()sin12xf xx的定义域为R，又因为 22 2sin()sin1221xxxfxxxf x ，所以 f x不是奇函数，排除 A，B.33223322sin()10221212f ，所以排除 C.故选：D.3.“1a”是“2R,0 xxxa”的（）A.充分

13、不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】因为2R,0 xxxa，所以2140a ，解得14a.所以,11,4，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 3 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司故“1a”是“2R,0 xxxa”的必要不充分条件.故选：B.4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 100 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a的值为（）A.0.

14、02B.0.2C.0.04D.0.4【答案】A【解析】【分析】根据题意结合频率和为 1 列式求解.【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1,10,0.45,10,0.05aa，则0.1 100.45 100.05200.61aaa，解得0.020a.故选：A.5.设0.40.40.3log,log022,.3abc，则（）A.acbB.bacC.cbaD.abc【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算性质、对数函数的性质和指数函数的性质即可求解.【详解】20.0.3243log,olo1122log 0.4l g 0.gab，由2logyx在0,上单调递增，0.40.3，得220.4

15、0.30loglog，所以22110log 0.4log 0.3，即0.40.30logl2og2，于是有0ab，由0.40.30c，得0abc，所以abc.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 4 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司故选：D.6.数列 na满足12a，111nnnaaa，其前n项积为nT，则10T等于（）A.16B.16C.6D.6【答案】D【解析】【分析】依次代入1,2,3,4n 可得 na是以4为周期的周期数列，由1231nnnna aaa可推导得到结果.【详解】当1n 时，121131aaa；当2n 时，2321112aaa；当3n 时，34311

16、13aaa；当4n 时，454121aaa；，数列 na是以4为周期的周期数列，1231123123nnnna aaanN ，10891012236TT a aa a .故选：D.7.已知圆柱12OO的底面半径为 1，高为 2，AB，CD 分别为上、下底面圆的直径，ABCD，则四面体ABCD 的体积为（）A.13B.23C.1D.43【答案】D【解析】【分析】易证AB平面1CDO，然后由11ABCDA CDOB CDOVVV求解.【详解】解：如图所示：连接11C OD O，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 5 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司因为ABCD，12ABO

17、O，且122OOCDO，所以AB平面1CDO，所以11ABCDA CDOB CDOVVV，111142 2 23323 CDOSAB，故选：D8.设函数 3sin(0,)f xx.若50,388ff，且 f x的最小正周期大于2，则（）A 17,312.B.111,324C.2,312 D.211,312【答案】C【解析】【分析】由题意求得4T，再由周期公式求得，再由538f可得2 12k，结合|，求得值，即可得解【详解】由()f x的最小正周期大于2，可得42T，因为50,388ff，可得534884T，则3T，且0，所以223T，即2()3sin3f xx，由5253sin3838f，即5

18、sin112，可得52 122 k，kZ，则2 12k，kZ，且，可得0k，12，所以23，12.故选：C.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 6 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司9.已知13,0F，23,0F分别是双曲线222210,0 xyabab的左右焦点，点 P 是双曲线上一点，若126PFPFa，且12PFF的最小内角为6，则双曲线的标准方程为（）A.22163xyB.22136xyC.2218yx D.2218xy【答案】B【解析】【分析】设点P为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得14PFa，22PFa，在12PFF中，根据大边对大角可知12PF

19、F为最小角，进而根据余弦定理求得a，再得到b，即可得到答案.【详解】设点P双曲线右支上一点，则12PFPF，因为122PFPFa，且126PFPFa，所以14PFa，22PFa，由题，因1226FFc，则2242caaa，所以12PFF为最小角，故126PFF，所以在12PFF中，由余弦定理可得，22242232 422acaac，解得3a，所以6b，所以双曲线的标准方程为22136xy.故选：B第第卷卷注意事项：注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2.本卷共本卷共 11 小题，共小题，共 105 分分.二填空题：本大题共二填空题：本大题共 6 个小题，每

20、小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.10.已知复数1212i,izza，若12zz是实数，则实数a的值为_.【答案】12#0.5为为更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 7 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得 12221 izzaa，进而结合题意可得210a ，运算求解即可.【详解】由题意可得：1212ii221 izzaaa，若12zz是实数，则210a ，解得12a.故答案为：12.11.6xyyx展开式中，3x的系数等于_【答案】15【解析】【详解】xyyx6的通项为Tr1C6rxy6ryxrC6r(1)rx632

21、ry32r3，令 632r3，得 r2，32r30，故 x3的系数为 C62(1)215.12.直线21yx与圆 C：22450 xyx相交于 M，N 两点，则MN _【答案】4【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.【详解】解：圆 C：2229xy，其圆心坐标为2,0，半径为 3圆心2,0到直线 2xy10 的距离222 2 1521d ，则2222 954MNrd故答案为:4.13.设甲乘汽车动车前往某目地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为的更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 8 页/共 19 页学科网（

22、北京）股份有限公司0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为_.【答案】0.82#4150【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设事件1A“甲乘汽车前往某目的地”，事件2A“甲乘动车前往某目的地”，事件B“甲正点到达目的地”.11220.4 0.70.6 0.90.82P BP B A P AP B AP A.故答案为：0.8214.在ABC中，1,2,90ACBCC，则CACB _；若P为ABC所在平面内的动点，且33PC，则PA PB 的取值范围是_.【答案】.3 .2 4,3 3【解析】【分析】建立，利用向量的坐标运算求CACB ；设33cos,sin33P，利用向量的坐标运算

23、结合辅助角公式可得1sin3PA PB ，再结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】如图，以 C 为坐标原点，,AC BC分别为,x y轴所在直线，建立平面直角坐标系，则1,0,0,2,0,0ABC，可得1,0,0,2CACB ，则1,2CACB ，所以22123CACB ；更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 9 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司因为33PC，设33cos,sin33P，可得33331cos,sin,cos,2sin3333PAPB ，则33331coscossin2sin3333PA PB ，1631sincossin3333，其中63cos,sin3

24、3，因为sin1,1，所以12 4sin,33 3PA PB .故答案为：3；2 4,3 3.15.已知函数 1221,1,log1,1,xxf xxx若方程 f xm有三个不等的实根，则实数m的取值范围是_；函数 322g xff xf x的零点个数是_.【答案】.1,2 .4【解析】【分析】作出 f x大致图象，结合图象可得实数m的取值范围；令 f xt，将问题转化为 322f tt，根据图象分析得 122f tt有两个零点为10t，21,2t，从而考虑 1f xt与 2f xt根的个数即可求解.【详解】作出 f x大致图象如下：更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 10 页

25、/共 19 页学科网（北京）股份有限公司若方程 f xm有三个不等的实根，由图象可得实数m的取值范围是1,2；令 f xt，则 3202f tt，可得 322f tt，且 302f，结合图象可知方程 322f tt的一个根10t，另一个根21,2t，当10t 时，f x与1yt的图象有 1 个交点，所以 1f xt有 1 个实根，当21,2t 时，f x与2yt的图象有 3 个交点，所以 2f xt有 3 个实根，综上所述：g x共有 4 个零点.故答案为：1,2；4.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维使用数

26、形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解三解答题：本大题共三解答题：本大题共 5 题，共题，共 5 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且2222sin3acBacb，22abc.（1）求角B的大小；（2）求角A 的大小；（3）求2sin cos sincos sin sin cosABCABCC的值.【答案】（1）3B （2）4A （3）28【解析】【分析】（1）根据题意利用余弦定理边化角即可得解；（

27、2）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（3）可得512C，代入结合降幂公式分析求解.【小问 1 详解】因为2222sin3acBacb，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 11 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司由余弦定理可得2sin2 3cosacBacB，则tan3B.又因为0B，所以3B.【小问 2 详解】因为22abc，由正弦定理可得sin2sin2sinABC，即2sin2sin2sin33AA，所以6sin3cossin2AAA，则2cos2A.因为0A，所以4A.【小问 3 详解】由（1）（2）可得512CAB，则2sin cos sincos

28、 sin sin cosABCABCC551 cossin66sincoscossin43243231121232222222228.17.如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为棱11AB上一点（不含端点），F为棱BC的中点.（1）若E为棱11AB的中点，（i）求直线EF与平面11ABC所成角的正弦值；（ii）求平面11ABC和平面AC的夹角的余弦值；（2）求直线EF与11AC所成角余弦值的取值范围.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 12 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）（i）23；（ii）33 （2）102,102【解析】【分析】（1）根据

29、已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标；（i）求出直线EF的方向向量和平面11ABC的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（ii）分别求出平面11ABC和平面AC的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（2）根据（1）的结论，分别求出直线EF和直线11AC的方向向量，利用向量的夹角与线面角的关系，结合对勾函数的性质即可求解.【小问 1 详解】公众号：高中试卷君在正方体1111ABCDABC D中以1,DA DC DD分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，若E为棱11AB的中点，则2,1,2,1,2,0EF，112

30、,2,0,2,0,2,0,2,2BAC.所以1112,2,0,0,2,2,1,1,2ACBAFE .（i）设平面11ABC的一个法向量为,nx y z，则1110,0,n ACn BA即220,220,xyxz令1x，则1,1,1n.设EF与平面11ABC所成角为，则有22sincos,336n FEn FEn FE .故直线EF与平面11ABC所成角的正弦值为23.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 13 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司（ii）易知平面AC的一个法向量为0,0,1m，设平面PDC和平面EAC夹角为，则有|13cos|cos,|33m nm nm n

31、 .故平面11ABC和平面AC的夹角的余弦值为33.【小问 2 详解】设直线EF与11AC所成角为,2,2(02)Emm，则1,2,2FEm.所以111121126coscos,2 2(2)5ACFEmAC FEAC FEm 22169121949224mmmmmm.因为02m，所以952mm，即1211954mm，于是有1211954mm，所以101221910224mm，即102cos102.故直线EF与11AC所成角余弦值的取值范围为102,102.18.设椭圆2222:1(0)xyEabab经过点2 2 6,33，且其左焦点坐标为1,0.（1）求椭圆的方程；（2）对角线互相垂直的四边形

32、ABCD的四个顶点都在E上，且两条对角线均过E的右焦点，求ACBD的最小值.【答案】（1）22143xy （2）487.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；的更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 14 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出ACBD，利用二次函数可得答案.【小问 1 详解】因为椭圆E的左焦点坐标为1,0，所以右焦点坐标为1,0,1c.又椭圆E经过点2 2 6,33，所以22252412424,39999abac.所以椭圆的方程为22143xy.【小问 2 详解】当直线,AC BD中

33、有一条直线的斜率不存在时，7ACBD.当直线AC的斜率存在且不为 0 时，设直线AC的方程11221,xtyA x yC xy，由2213412xtyxy，得2234690tyty，则12122269,3434tyyy ytt，2222223636 3412113434tttACttt.设直线BD的方程为11xyt，同理得2212134tBDt，所以22228413434tACBDtt，设21m t，则1m，则22284848448113141711491224mACBDmmmmm，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 15 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司所以2m 时

34、，ACBD有最小值487.综上，ACBD的最小值是487.19.已知正项等比数列 na满足1232,12aaa，数列 nb的前n项和为12,1nS b，当2n 时，10nnnS Sb.（1）求 na的通项公式：（2）证明1nS是等差数列，并求nS；（3）设数列nnaS的前n项和为nT，若29nnTna恒成立，求的取值范围.【答案】（1）2nna （2）证明见解析，11nSn （3）3.【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量的计算求通项公式；（2）利用na与nS的关系以及等差数列的定义求解；（3）利用错位相减法求和以及基本不等式求解.【小问 1 详解】设正项等比数列 na的公比为(0)q q，

35、由1232,12aaa，得22212qq，解得2q=，所以2nna.【小问 2 详解】当2n 时，10nnnS Sb，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 16 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司所以110nnnnS SSS，整理得1111nnSS，所以数列1nS是以11112Sb为首项，1 为公差的等差数列.所以11nnS，即11nSn.【小问 3 详解】由（1）（2）知1 2nnnanS，所以12312 23 24 221 2nnnTnn ，234122 23 24 221 2,nnnTnn -得23142221 2nnnTn12nn ,所以12nnTn.由29nnT

36、na得12292nnnn，即922nn，因为9923222 2nnnn，当且仅当3n 时，等号成立，所以3.20.已知函数 ln,af xxx g xxx，且函数 f x与 g x有相同的极值点.（1）求实数a的值；（2）若对121,3ex x，不等式 12f xf xk恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：ecosxxf xg xx.【答案】（1）1 （2）2ln3,（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x的极大值点为1x，由(1)0g可得1a，经检验可确定1a；更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 17 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司（2）先求得(

37、)f x在1,3e上的最大值和最小值，然后分1k 和1k 两种情况可得k的取值范围；（3）所证不等式即为lnecos1xxxx，通过证明21cos1(0)2xxx 和21lne2xx xx 即可证得结果.【小问 1 详解】公众号：高中试卷君令 110fxx，解得1x，当0,1x时，0,fxf x在0,1单调递增，当1,x时，0,fxf x在1,单调递减，故函数 f x的极大值点为1x.令 210agxx，由题意可得 110ga，解得1a，经验证符合题意，故实数a的值为 1.【小问 2 详解】由（1）知，函数 f x在1,1e单调递增，在1,3单调递减，又 111,11,3ln33eefff ，

38、且1ln3311e ，所以当1,3ex时，maxmin()11,()3ln33f xff xf，若不等式 12f xf xk恒成立，则maxmin()()1ln332ln3 kf xf x，所以k的取值范围为2ln3,.【小问 3 详解】所证不等式即为lnecos1xx xx.先证：21cos1(0)2xxx ，即证21cos102xx 在0,上恒成立，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 18 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司设 21cos1,sin2h xxxh xxx，设 d xh x，因为 cos10 dxx在0,上恒成立，所以 h x在0,单调递增，则 00h

39、xh，所以 h x在0,单调递增，则 00h xh，所以21cos1(0)2xxx.再证：21lne2xx xx，即证2lne12xxxx.设 2ln1 ln,xxm xm xxx，当0,ex时，0,m xm x单调递增，当e,x时，0,m xm x单调递减，所以 1eem xm.设 232 ee1,2xxxxxxx，当0,2x时，0,xx单调递减，当2,x时，0,xx单调递增，所以 2e1242x.所以22ln1e1e1e422xxxx，即2lne12xxxx.综上，lnecos1xx xx，得证.【点睛】关键点睛：第（3）问的关键点是：将证明lnecos1xxxx转化为证明更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君第 19 页/共 19 页学科网（北京）股份有限公司21cos1(0)2xxx 和21lne2xx xx.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君