【高中数学】任意角与弧度制课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

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1、5.1.1 任意角地球自转地球自转地球地球公公转转弹簧振子做简谐运动弹簧振子做简谐运动圆周运动是一种常见的周期性变化现象。圆上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转如何刻画点P的位置变化呢？问题问题？旋转的角度旋转的角度定义：有公共顶点的两条射线组成的图形。范围：范围：03600360现实生活中随处可见超出03600360范围的角体操中有体操中有“前空翻转体前空翻转体540540度度”“”“后空翻转体后空翻转体720720度度”不仅有超出不仅有超出03600360范围的角，而范围的角，而 且旋转的方向也不相同且旋转的方向也不相同初中学习的角：定义：有公共顶点的两条射线组成的图形。范围：范围：036

2、00360现实生活中随处可见超出03600360范围的角初中学习的角：任意角的概念任意角的概念1角的概念：角可以看成平面内 绕着它的 旋转所成的图形2角的表示：如图所示：(1)始边：射线的 位置OA.(2)终边：射线的 位置OB.一条射线端点起始终止(3)顶点：射线的端点O.(4)记法：图中的角可记为“角”或“”或“”“角”或“”可简记为“”AOB概念学习3.角的分类：名称定义图示正角一条射线绕其端点按_方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按_方向旋转形成的角零角一条射线_做任何旋转形成的角逆时针顺时针没有正角正角 零角零角 负角负角正角大小：旋转量大的角大正角大小：旋转量大的角大负角大小：旋

3、转量大的角小负角大小：旋转量大的角小两个角相等两个角相等：如果一个角的：如果一个角的旋转方向旋转方向和和旋转量旋转量与另与另一个角一个角的的旋转方向旋转方向和和旋转量旋转量都一样，就称这两个角相等（都一样，就称这两个角相等（）。）。角能实数那样进行加减运算吗角能实数那样进行加减运算吗？一、任意角一、任意角角的大小关系角的大小关系第一象限角第三象限角锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角二、象限角二、象限角象限角的定义象限角的定义：为了方便，使角的顶点顶点与原点原点重合，角的始边始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限终边在

4、第几象限，就说这个角是第几象限角第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于不属于任何一个象限锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？问题问题钝角是第几象限角？该象限角一定是钝角吗钝角是第几象限角？该象限角一定是钝角吗？直角呢？直角呢？讨论讨论第一象限角第三象限角锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角二、象限角二、象限角象限角的定义象限角的定义：为了方便，使角的顶点顶点与原点原点重合，角的始边始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限终边在第几象限，就说这个角是第几象

5、限角第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于不属于任何一个象限锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？问题问题钝角是第几象限角？该象限角一定是钝角吗钝角是第几象限角？该象限角一定是钝角吗？直角呢？直角呢？讨论讨论将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应反之，对于直角坐标系内任意 一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果 不唯一，那么终边相同的角有什么关系？那么那么328328，392392，角的终边都是角的终边都是OBOB，并且与，并且与3232角角终边相同的这些角都可以表示成终边相同的这些角都可

6、以表示成3232的角与的角与k k个（个（k kZ Z）周）周角的和，如角的和，如3283283232360360（这里（这里k k1 1），），3923923232360360（这里（这里k k-1-1）.二、象限角二、象限角终边相同的角终边相同的角一般地，我们有：所有与角角 终边相同终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合Sk360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角和一、象限角一、象限角终边相同的角终边相同的角 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为A.120 B.120C.60 D.60由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，例1 (多选)在160；480

7、；960；1 530下列四个角中，属于第二象限角的是A.160 B.480 C.960 D.1 530例2A中，160很显然是第二象限角；B中，480120360是第二象限角；C中，9603360120是第二象限角；D中，1 530436090不是第二象限角.(多选)下列叙述不正确的是A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.钝角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180的角是钝角、直角或锐角跟踪训练2 已知1 845，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；例3因为1 84545(5)360，即1 845角与45角的终边相同，所以与角终边相同的角的集合是|45

8、k360，kZ，最小的正角为315.(2)最大的负角；最大的负角为45.(3)360720之间的角.360720之间的角分别是45，315，675.已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围.例4终边在30角的终边所在直线上的角的集合为S1|30k180，kZ，终边在18075105角的终边所在直线上的角的集合为S2|105k180，kZ，因 此，终 边 在 图 中 阴 影 部 分 内 的 角 的 取 值 范 围 为|30k180105k180，kZ.5.1.2 弧度制探究新知探究新知问：身高为180cm？问：30=12两边进制一样吗问：弧长公式是什么探究新知探究新知1.弧度制（2）1

9、1弧度的角弧度的角：_；（3）记法记法：弧度的单位符号是弧度的单位符号是radrad，读作弧度，读作弧度长度等于半径长的圆弧所对的圆心角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角（1）定义定义：以：以弧度为单位来度量角的单位制；为单位来度量角的单位制；注：注：弧度单位可省略，角度单位不能省略弧度单位可省略，角度单位不能省略.（4）单位圆：单位圆：_；AOB 即为即为1弧度的角弧度的角半径为1的圆探究新知探究新知问：为什么要加绝对值？问：为什么要加绝对值？1 1、弧长半径永远是正的，、弧长半径永远是正的，也是正的也是正的2 2、角度有正负号，正负由旋转方向决定。、角度有正负号，正负由旋转方向决定。（4）弧

10、度的计算弧度的计算：在半径为在半径为r的圆中，弧长为的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为的弧所对的圆心角为 rad，那么，那么角的弧度数的绝对值是角的弧度数的绝对值是：_；式子进行变形式子进行变形方程思想方程思想探究新知探究新知（5）一般地，正角的弧度数是一个一般地，正角的弧度数是一个_，负角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个_，零角的弧度数是零角的弧度数是_._.正数负数0角的集合与实数集之间建立了一一对应关系角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.18世纪，瑞士数学家欧拉，在他的名著无穷小分析引论中首先倡导使用弧度制，统一了角与长度的单位，使得对三角函数的研究大为简化.下列各命题中，真命题是

11、A.1弧度就是1的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1的弧与1的角之和D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.例1 下列说法正确的是A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角跟踪训练1探究新知探究新知2.角度制与弧度制的换算（1）换算公式：换算公式：探究新知探究新知1.1.一般地，一般地，“弧度弧度”与与“rad“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.2.

12、2.角度制与弧度制互化时要抓住角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键弧度这个关键3.3.在同一个代数式中，角度制与弧度制不能混用在同一个代数式中，角度制与弧度制不能混用.注意例1把下列角度化成弧度把下列角度化成弧度.例2把下列弧度化成角度把下列弧度化成角度.有有“分分”“”“秒秒”，都，都先转换成先转换成“度度”表示表示探究新知探究新知（2）特殊角的弧度数与角度数对应表：特殊角的弧度数与角度数对应表：探究新知探究新知（1）用角度表示）用角度表示（2）用弧度表示）用弧度表示与与 终边相同的角可以表示为：终边相同的角可以表示为：它们构成一个集合：它们构成一个集合：与与 终边相同的角可以表示为：终

13、边相同的角可以表示为：它们构成一个集合：它们构成一个集合：例3 终边相同的角的角度表示与弧度表示终边相同的角的角度表示与弧度表示 将1 125写成2k(kZ)的形式，其中02，并判断它是第几象限角？例2所以1 125是第四象限角.课堂练习课堂练习4.若角若角 的终边经过点的终边经过点P(-1,-1)P(-1,-1)，则用弧度表示角，则用弧度表示角 的集合是的集合是 .注意注意：角度制、弧度制二者不可混用角度制、弧度制二者不可混用第一象限角第一象限角的集合：的集合：第二象限角第二象限角的集合：的集合：第三象限角第三象限角的集合：的集合：第四象限角第四象限角的集合：的集合：5.使用弧度制，写出各象限角的集合：使用弧度制，写出各象限角的集合：课堂练习课堂练习1.1.角的度量有角度制和弧度制角的度量有角度制和弧度制2.2.角度和弧度的转换角度和弧度的转换3.3.弧度制下的弧长公式，面积公式弧度制下的弧长公式，面积公式