THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试数学含答案.pdf

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1、第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2024 年年 1 月测试月测试 数学试卷数学试卷 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟。一、一、单项单项选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的 1 已知mR，集合2,1,2,AmBa aA=，若CAB=，且 C 的所有元素和为 12，则m=A3 B0 C1 D2 2 已知数列 na满足1111,2nnnnna

2、aaa a+=，则na=A1221n+B112nC221n+D121n3 复数z满足()2 i1 iz+=（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是A3 B1 CiDi4 在直三棱柱111ABCABC中，所有棱长均为 1，则点1A到平面1ABC的距离为A217B105C216D1045 设()20121 2nnnxaa xa xa x+=+，若56aa=，则n=A6 B7 C8 D9 6 若不等式22458174xxxx+的解集为,a b，则ab+的值是 A5 B4 2 C6 D7 7 已知32ee,ln2,155ln52abc=，则 Aabc Bbca Cacb Dbac 8 已知3311,0

3、,344x yxyxy+=，则13xy+的最大值是A15 B18 C20 D24 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得题目要求全部选对得 5 分，部分选对但不全得分，部分选对但不全得 2 分，有错选的得分，有错选的得 0 分分.9 设,为互不重合的平面，,m n为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是A若,，则 C若,mnmn，则B若,m m=，则,D若,，则10已知点P为双曲线22:14xCy=上的任意一点，过点P作渐近线的垂线，垂足分

4、别为,E F，则 A4 55PEPF+=C1225PE PF=B45PEPF=DPEFS的最大值为82511直线1:0laxbyc+=和2:0lbxcya+=将圆()()22:111Cxy+=分成长度相等的四段弧，则()()()222111abc+的取值可以是 A43 B2 C83 D3 12已 知()sin2sin22sin 22+=+，且kk+Z，则()tan2tan+3tan的值可能为A6 B5 C5 2 D8 三、三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 设函数()f x的定义域为R，()f x为偶函数，()21f x+为奇函数

5、，当2,4x时，()fx=2logaxb+，若()()064ff+=，则2ab+=14已知12,F F是椭圆()2222:10 xyCabab+=的左、右焦点，P是C上一点，线段2PF的中垂线l过点1F，与椭圆C相交于,A B两点，且95ABa=，则椭圆C的离心率为 15 已知函数()g x的图象与函数()exf xx=的图象关于原点对称，动直线()0 xa a=与函数()(),f xg x的图象分别交于点,A B，函数()f x的图象在A处的切线1l与函数()g x的图象在B处的切线2l相交于点C，则ABC面积的最小值是 16对任意的xR，不等式()()()2222714613817xxm

6、xxxx+恒成立，则实数m的取值范围为#QQABDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=#第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 四四、解答题：本题共、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）数列 na的前n项和为1,1nS a=，当2n 时，212nnnSaS=（1）求证：数列1nS是等差数列，并求nS的表达式；（2）设221nnn Sbn=+，数列 nb的前n项和为nT，不等式23nTmmn+对所有的n*N恒成立，求正整数m的

7、最小值 18（12 分）如图所示，在ABC中，1,ABD=是BC上的点，12BADDAC=（1）若2BAC=，求证：213ADAC=；（2）若14BDDC=，求ABC面积的最大值 19（12 分）如图所示，一只蚂蚁从正方体1111ABCDABC D的顶点1A出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为16，沿正方体的侧棱爬行的概率为23（1）若蚂蚁爬行n次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；（2）若蚂蚁爬行 5 次，记它在顶点 C 出现的次数为 X，求 X 的分布列与数学期望 20（12 分）如图所示，已知ABC是以 BC 为斜

8、边的等腰直角三角形，点 M 是边 AB 的中点，点N 在边 BC 上，且3BNNC=以 MN 为折痕将BMN折起，使点 B 到达点 D 的位置，且平面DMC 平面ABC，连接,DA DC（1）若 E 是线段 DM 的中点，求证：NE平面 DAC；（2）求二面角DACB的余弦值 21（12 分）如图所示，已知抛物线()21,0,1yxM=，A，B 是抛物线与 x 轴的交点，过点 M 作斜率不为零的直线 l 与抛物线交于 C，D 两点，与 x 轴交于点 Q，直线 AC 与直线 BD 交于点 P（1）求CMDMCD的取值范围；（2）问在平面内是否存在一定点 T，使得TP TQ为定值？若存在，求出点

9、T 的坐标；若不存在，请说明理由 22（12 分）已知函数()21 ln xf xxax=+有两个零点()1212,x xxx（1）求实数a的取值范围；（2）求证：121x x；（3）求证：22221214xxaxx（第 19 题图）（第 20 题图）（第 21 题图）（第18题图）#QQABDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=#第1页 共9页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2024 年年 1 月测试月测试 数学参考答案数学参考答案 一、一、单项单项选择题：本题共选择题：本题共 8 小小题，每小题题，每小题

10、 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B A C C A C 二、多项选择题：二、多项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对但不全的得分，部分选对但不全的得 2 分，有错选的得分，有错选的得 0 分分 9 10 11 12 AB BCD CD ACD 三三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小

11、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 134 145131521612，四四、解答题：本题共、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10分）（1）当2n时，数列 na的前 n项和为nS，满足212nnnSaS=，即()22111111222nnnnnnnnnSSSSSSS SS=+，整理可得112nnnnS SSS=1 分 11S=，则21122S SSS=，即2221SS=，可得213S=2 分 由23232S SSS=，即332133SS=，可得31,5S=以此类推可知，对任意的,

12、0nnS*N，在等式112nnnnS SSS=两边同时除以1nnS S可得1112nnSS=4 分#QQABDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=#第2页 共9页 所以数列1nS为等差数列，且其首项为111S=，公差为 2 5 分()11 2121nnnS=+=，因此，121nSn=6 分（2）解：()()21111111214212148 2121nnn Sbnnnnn=+=+，1114821nnTn=+8 分 不等式23nTmmn+对所有的n*N恒成立，则22303mm+，即9576m+或9576m 9 分 因此，满足条件的正整数

13、m的最小值为 3 10 分 18（12分）（1）证明：由1,22BACBADDAC=，知,63BADDAC=，111,sinsin26232ABCABDACDSSSAB ADAD ACAB AC=+=，即32ADAD ACAC+=，两边同除以AD AC，得213ADAC=5 分（2）设BAD=，则2DAC=，ABD中，由正弦定理，得sinsinABBDBDA=，ACD中，由正弦定理，得sinsin2ACDCCDA=，结合sinsin,4BDACDA DCBD=，得2cosAC=7 分 321sin33sin4sinsin33tan4tansin2coscosABCSAB AC=#QQABDYK

14、AogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=#第3页 共9页 2322tan3tantan3tan4tan1tan1tan=+9 分 设()tan0,3t=，即求函数()323,0,31ttytt=+的最大值，()()()()()()()2222322222 332 333 313211tttttttytt+=+，()20,2 33t 时，0y，函数单调递增；()22 33,3t 时，0y，函数单调递减，当22 33t=时，函数有最大值，max6 39y=，ABC面积的最大值为6 39 12 分 19（12分）（1）记蚂蚁爬行 n次在底面 ABCD

15、的概率为nP，由题意可得，()11212,1333nnnPPPP+=+3 分 11111,2322nnnPPP+=是等比数列，首项为16，公比为13，11111111,263263nnnnPP=+5 分（2）X=0,1,2，X=2 时，蚂蚁第 3次、第 5 次都在 C处，()1121211212211111222266363663633666618P X=+=7 分 X=1 时，蚂蚁第 3次在 C处或第 5次在 C处，设蚂蚁第 3 次在 C 处的概率为1P，1112121121151521122266363663666663318P=+=8 分 设蚂蚁第 5 次在 C 处的概率为2P，#QQA

16、BDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=#第4页 共9页 设蚂蚁不过点C且第3次在1D的概率为3P，设蚂蚁不过点C且第3次在1B的概率为4P，设蚂蚁不过点 C且第 3 次在 A 的概率为5P，由对称性知，34PP=，3111212134366636354P=+=，512122211663633327P=+=，得23512117222636654PPP=+=11分()125127P XPP=+=，()()()41011254P XP XP X=，X 的分布列为：X 0 1 2 P 4154527118X 的数学期望()()()()8001

17、12227E XP XP XP X=+=+=12 分 20（12分）（1）过点 E作 AM的平行线交 AD于点 F，过点 N作 AB的平行线交 AC于点 G，连接 FG因为点 E 是线段 DM 的中点，3BNNC=，12EFNGAM=，且EFNG，四边形EFGN是平行四边形由,NEFG NE平面 DAC，FG 平面 DAC，NE平面 DAC 5 分（2）解法 1：以点 A为原点，AB，AC 所在的直线为 x轴、y 轴，过点 A 垂直于平面 ABC 的直线为 z轴，建立空间直角坐标系 6 分 设2ABAC=，则()()1 30,0,0,1,0,0,02 2AMN，设(),D x y z，#QQA

18、BDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=#第5页 共9页 因为平面DMC 平面 ABC，所以点 D 在平面 ABC 上的射影落在直线 CM 上，12yx+=，由题意可知，()22231,2,112DMDNxyz=+=，222139222xyz+=，由解得，822 1182 2 11,777777xyzD=8 分 82 2 11816 2 11,777777ADCD=，设平面 ACD的法向量为(),nx y z=，00AD nCD n=，即411048110 xyzxyz+=+=，取11,0,4xyz=11分 取平面 ABC 的法向量()

19、0,0,1m=设二面角DACB的平面角为，则4 3coscos,9m nm nm n=，所以，二面角DACB的余弦值为4 39 12 分 解法 2：如图，过点 B 作直线 MN 的垂线交于点 I，交直线 CM 于点 H由题意知，点 D在底面 ABC 上的射影在直线 BI 上且在直线 MC 上，所以点 H 即点 D 在底面上的射影，即DH 平面 ABC 6 分设2AB=，则31,2,24BMBNMBN=，由余弦定理，得102MN=，()103 1010cos,sin,cos101010BMNBMNMIBMBMN=，#QQABDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAE

20、sAAAgRNABCA=#第6页 共9页()1053 10 2 57 2coscos10510510IMHIMBHMB=+=，5cos7MIMHIMH=过点 H 作 AC 的垂线交于点 O，连接 DO，由三垂线定理知，DOAC，DOH是二面角DACB的平面角 9 分 由AMCMHOCH=，解得2282 11,77HODHDMMH=，11tan4DHDOHHO=，得4 3cos9DOH=，所以，二面角DACB的余弦值为4 39 12 分 21（12分）（1）设点()()1122,C x yD x y，设直线 l 的方程为()10ykxk=+，代入抛物线21yx=，得220 xkx=（*），222

21、1222212112 1722 1,28218CM DMkxkxkCDkkxxk+=+4 分（2）()()2211221,1,1,0C x xD x xQk，设(),T m n，由（*）式，知1212,2xxk x x+=5 分 直线 AC 的方程为()()111yxx=+，直线 BD 的方程为()()211yxx=+，解得()()121212122121212123,222x xxxxxxxxyxxxxxx+=+，所以点 P 的坐标为()1212212123,22xxxxxxxx+7 分()12122121231,22xxxxTPmnTQmnxxxxk+=+，()()121221212312

22、2xxxxTP TQmmnnxxkxx+=+#QQABDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=#第7页 共9页()()12221212212121231222xxxxxxmmnnxxkk xxxx+=+222121121222knmmnnxxkxx=+2218xxk=+，22221282kmnmTP TQmnnkk+=+10 分 当10,2mnTP TQ=为定值54，所以存在定点 T 的坐标为10,2 12 分 22（12分）（1）()()32221ln2ln2xxxfxxxx+=+=1 分 又因为函数()()321lng xxx=+递增

23、，且()10g=，()01fxx，()f x在()0,1递减，在)1,+递增 2 分 当()120fa=，即2a 时，2211111 lnln0faaaaaaaa=+=+，()()()()222211111 ln10aaaaaf aaaaaaaaaaa+=+=，()f x在()1,1,1,aa上各有一个零点 3 分 当2a 时，()f x的最小值为()1f，且()120fa=，()f x在()0,+内至多只有一个零点，综上，实数a的取值范围是2a 4 分（2）设()()1,1F xf xfxx=，第8页 共9页 则()()()()22322111121lnxxFxfxfxxxxxx=+=+()

24、()332321112ln221 lnxxxxxx xxxxx+=+当1x 时，ln1xx，()()()()33222112120 xx xxxxxxx+=+=+，()()()322111 lnxx xxx xx+，()F x在()1,+上递增，当1x 时，()()10F xF=，即当1x 时，()1f xfx 6 分 又因为函数()f x有两个零点()1212,x xxx，由（1）知，122101,01xxx，()()1221f xf xfx=，又()f x在()0,1递减，121xx，即121x x 8 分（3）设()()211ln xG xf xxaxxxx=+=，()()()23212

25、22121ln1 ln21 ln21xxxxxxxxGxxxxx+=，()110G=，当1x 时，()()()2121ln211xxGxxxxx=+，显然()2ln2101xxxx+第9页 共9页()1G x在()0,1递减，()1,+递增，()()1110G xG=，即()()11f xxah xx+=，设()1h x的零点为()2343443,4x xxxxxa=，由图象可知3124xxxx，2214xxa 10 分 设()22211 ln1111 lnxf xxaxxxxxx+=，设()211 lnGxxx=，易得()20Gx 恒成立，即()()2221f xxahxx+=，设()2hx的零点为()222565665,4x xxxxxa=，由图象可知，1562xxxx，22221562xxxx，222214xxa，22221214xxaxx 12 分