昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学含答案.pdf

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1、秘密启用前【考试时间：1月15日15001700】昆明市 2024 届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡交回。一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1设全集1,2,3,4,5,6U，集合1,2,3,5A，2,6B，则()UAB A1,2,3B2,3,5C1,3,5D3,4,52复数i2i在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知F是抛物线2:4C xy的焦点，点M在C上，且M的纵坐标为3，则|MF A2 2B2 3C3D44在ABC中，点D满足4ADDB，则A1344CDCACB B3144CDCACB C1455CDCACB D4155CDCACB 5某学校运动会男子 100m 决赛中，八名选手的成绩（单位：s）分别为：13.09，13.15，12.90，13.16，12.96，13.11，x，13.2

3、4，则下列说法错误的是A若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则13.15x B若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则13.15x C若该八名选手成绩的极差为0.34，则12.9013.24xD若该八名选手成绩的平均数为13.095，则13.15x 6已知函数()sincosf xxx，若存在0,2x，使得方程()f xm有三个不等的实根1x，2x，3x且123xxx，则321xxxA2B32CD27若将函数()yf x的图象平移后能与函数()yg x的图象重合，则称函数()f x和()g x互为“平行函数”已知1()221xf x，2(2)2xxmg x互为“平行函数”，则m

4、A2B1C1D28第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的如图所示，作RtAOB，1OA，30AOB，再依次作相似三角形BOC，COD，DOE，直至最后一个三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止则所作的所有三角形的面积和为A1132 3()123B1134()123C1232 3()123D1234()123二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分。9在正四棱柱1111ABCDABC D中，已知1BD与平面11BCC B所成的角为6，则A12AAA

5、BB1BD与平面1111ABC D所成的角为4C11BDDAD1AB 平面1BCD10已知圆22:1O xy，直线:40l xy，点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当APB最大时，则A直线AB的斜率为 1B四边形PAOB的面积为72C14|2AB DsinAPB7811古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表托勒密用圆的半径的160作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（0360）所对的弦长记为crd 例如60圆心角所对弦长等于 60 个度量单位，即crd6060则Acrd30

6、30B若crd120，则180Ccrd60 2(1 cos)Dcrdcrdcrd()（0360）12已知函数1|21|,0,()e,0,1xxxf xx()()()g xf f xf xa，则A当0a 时，()g x有 2 个零点B当32a 时，()g x有 2 个零点C存在aR，使得()g x有 3 个零点D存在aR，使得()g x有 5 个零点三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知角的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点(1,)Aa（aZ）在角终边上，且3OA，则tan的值可以是.（写一个即可）14春节前夕，某社区安排小王、小李等 5 名志愿者到三个

7、敬老院做义工，每个敬老院至少安排 1 人，至多安排 2 人.若小王、小李安排在同一个敬老院，且这 5 名志愿者全部安排完，则所有不同的安排方式种数为.（用数字作答）15已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，以2F为圆心作与C的渐近线相切的圆，该圆与C的一个交点为P，若12FPF为等腰三角形，则C的离心率为16已知球O的表面积为36，正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，则该正四棱锥PABCD体积的最大值为四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在ABC中，10cos10BAC，5sin5ACB，2AB.（1

8、）求ABC的面积；（2）如图，/CDAB，CBBD，求AD.18（12 分）记nS为数列na的前n项和，124nnaS.（1）求数列na的通项公式；（2）在na与1na之间插入n个数，使这2n 个数组成一个公差为nd的等差数列，求数列1nd的前2024项和.19（12 分）如图，在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，E是线段PC的中点，F是线段BC上一点，112PAACBC，6PB（1）证明：平面AEF 平面PBC；（2）是否存在点F，使平面AEF与平面ABC的夹角为3？若存在，求CF；若不存在，说明理由20（12 分）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序

9、当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为 80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为 30%假设每次输入的问题出现语法错误的概率为 10%（1）求一个问题的应答被采纳的概率；（2）在某次测试中，输入了 8 个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X，事件Xk（0,1,8k）的概率为()P Xk，求当()P Xk最大时k的值.21（12 分）已知F是椭圆2222:1 (0)xyCabab的右焦点，点3(0,)3在不过原点O的直线l上，l交C于A，B两点.当AOF与

10、BOF互补时，4 3|3AB，|2 2AFBF.（1）求C的方程；（2）证明：tanAOBSAOB为定值.22（12 分）已知函数221()(2)ln22f xxaxxxax，aR.（1）讨论()f x的单调性；（2）当0a 时，若21()(1ln)2f xaa恒成立，求a的取值范围.昆明市 2024 届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学参考答案及评分标准一、单选题；二、多选题题号123456789101112答案CADCABBDABACBCDBCD三.填空题13.1（0,1,2均可）14.1815.5316.64317解：（1）因为10cos10BAC，所以3 10sin10BAC，因为5si

11、n5ACB，所以2 5cos5ACB，在ABC中，由正弦定理可得23 105105BC，解得3BC.又因为3 102 51052sinsin()1051052ABCBACACB，所以12323222ABCS.5 分（2）由（1）可知，4ABC，因为/CDAB，所以4BCD，又因为CBBD，即2CBD，故4CDB，所以34ABDABCCBD，3BDBC，在ABD中，由余弦定理可得2223(2)3223cos4AD ，解得17AD.10分18解：（1）当1n 时，11124aa，所以112a，当2n 时，1111()2424nnnnnaaaSS，所以11nnaa，所以数列na是以12为首项，1为公

12、比的等比数列，即1(1)2nna.6 分（2）由题意，11(1)(1)(1)22111nnnnnnaadnnn，则11(1)nnnd，记数列1nd的前n项和为nT，所以20242024234520242025110122T .12 分19解：（1）证明：因为PAAC，E是PC的中点，所以AEPC，在RtPAB中，1PA，6PB，所以5AB，在ABC中，1AC，2BC，所以222ACBCAB，得ACBC，又PA 平面ABC，BC 平面ABC，所以PABC，又ACBC，PAACA，所以BC 平面PAC，由AE 平面PAC得AEBC，又PCBCC，所以AE 平面PBC，由AE 平面AEF得，平面AE

13、F 平面PBC6 分（2）存在点F满足条件，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz如图，设(02)CFtt，则(0,1,0)A，11(0,)22E，(,0,0)F t，1 1(0,)2 2AE ，=(,1,0)AFt，设平面AEF的法向量为(,)x y zn，则110,220,yztxy令1x 得yzt，所以平面AEF的一个法向量为(1,)t tn，易知平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m，由已知得1cos32m nm n，即21212tt，解得22t，即22CF，所以存在点F使平面AEF与平面ABC的夹角为3，此时22CF 12 分20解：（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“一

14、次应答被采纳”为事件B，由题意()0.1P A，()0.8P B A，()0.3P B A，则()1()0.9P AP A，()()()()()()()0.9 0.80.1 0.30.75P BP ABP ABP A P B AP A P B A.6 分（2）依题意，3(8,)4XB，8831()()()44kkkP XkC，当()P Xk最大时，有()(1),()(1),P XkP XkP XkP Xk即8117888119883131()()()(),44443131()()()(),4444kkkkkkkkkkkkCCCC解得：232744k，Nk，故当()P Xk最大时，6k.12 分

15、21解：（1）因为AOF与BOF互补，所以OA与OB关于y轴对称，所以ABy轴，又因为直线l过3(0,)3，故l的方程为33y.设A在第一象限，因为4 3|3AB，则2 33(,)33A，设F为C的左焦点，则|BFAF，故|2AFBFAFAFa，即2a,因为A在C上，2222 33()()331 2b，解得1b，所以C的方程为221 2xy.6 分（2）设11(,)A x y，22(,)B xy，直线3:3l ykx，联立223312ykxxy得223(21)4 340kxkx，1224 33(21)kxxk，12243(21)x xk，所以2121223361()()333(21)ky yk

16、xkxk，9 分故12121|sin1112|cossintan2222cosAOBOA OBAOBSx xy yOA OBAOBOA OBAOBAOBAOB ，所以tanAOBSAOB为定值12.12 分22解：（1）函数()f x的定义域为(0,)x，21()(22)ln(2)22()lnfxxaxxaxxaxaxx.当0a 时，令()0fx，得1x，则当01x时，()0fx；当1x 时，()0fx，所以()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.当0a 时，令()0fx，得1x 或xa.）当01a时，则当0 xa或1x 时，()0fx；当1ax时，()0fx，所以()f x在

17、(0,)a和(1,)上单调递增，在(,1)a上单调递减.）当1a 时，当0 x 时，()0fx，所以()f x在(0,)上单调递增.）当1a 时，则当01x或xa时，()0fx；当1xa时，()0fx，所以()f x在(0,1)和(,)a 上单调递增，在(1,)a上单调递减.6 分（2）当0 x 时，令1etx，则1lnelneettttxx，0 x 时，t ，则0ett，故ln0 xx，则2ln0 xx，故当0 x 时，221ln2ln2(2)0 xxaxxxxafx.所以当0 x 时，21(1ln)02aa，解得ea，由（1）可知，当1a 时，()f x在(0,)上的极小值为21()(32ln)2f aaa，由题，则有2211(32ln)(1ln)22aaaa，解得21ea.当21()(32ln)02f aaa，解得32ea，当32eea时，21()(32ln)02f aaa，21()0(1ln)2f xaa，符合题意；当322eea时，21()(32ln)02f aaa，2min1()()(1ln)2f xf aaa，符合题意.综上，当2e,e a时，21()(1ln)2f xaa恒成立.12 分