2024届大湾区高三第一次联考数学试题含答案.pdf

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1、#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAA

2、oGABAAsAAAgBFABCA=#大湾区联考数学参考答案第 1 页（共 8 页）2022024 4 届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学参考答案数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 8答案答案A AC CD DA AB BD DB BC C二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.题号题号9 9

3、101011111 12 2答案答案C CD DACDACDA ABDBDA ACDCD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.137142 2156.75163四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10 分）解：（1）由5 7sin,0162BB得29cos1 sin16BB，1 分由余弦定理：2222cosbacacB，2 分解得6a 或32a （舍），3 分所以2221cos28bcaAbc.5 分（2）法 1：由（1）6BCa，由2BDDC 知，4BD.6 分由余弦定理：2222cosADABBDAB BDB7 分22

4、9442 4 416 149 分所以|14AD.10 分法 2：由2BDDC，即13CDCB ，6 分#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#大湾区联考数学参考答案第 2 页（共 8 页）得11123333ADACCDACCBACABACABAC ，7 分所以222144999ADABAB ACAC 164144 525149989 ，9 分所以|14AD.10 分18.（12 分）解：（1）因为nnab，即nnba，所以1110ba，1 分而112nnnnnnnbaababb，5 分所以数列 nb是以1为首项，2 为公比的等

5、比数列6 分（2）由（1）知112nnb，所以112nnnab7 分因为当3n 和4n时，数列 na的前 n 项和nS取得最大值，所以40a，即8 10，解得879 分所以181277nna10 分经检验，当3n时，0na，当5n时，0na，所以nS先增后减，在3n 和4n时取得最大值，符合题意11 分此时1818112811222177771277nnnnSnnnL12 分19（12 分）解：法法 1 1：（1）记摸球结果是一红一白为事件A,假如选择的是第一个盒子，则11322563()105C CP AC，2 分假如选择的是第二个盒子，则1164210248()4515C CP AC，4

6、分#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#大湾区联考数学参考答案第 3 页（共 8 页）385155 分所以，可以认为选择的是第一个盒子。6 分（2）（1）中判断结果：选择的盒子为 1 号盒子.记“任选一个盒子，选到 1 号”为事件B；记“任选一个盒子，从盒中摸球，结果为一红一白为事件C”；记“在摸球结果为一红一白的条件下，选到的盒子为 1 号”为D，则13()925()()1318()17252 15P BCP DP B CP B，8 分9(5,)17XB10 分X的数学期望94551717E X 12 分法法 2 2：（1

7、）记摸球结果是一红一白为事件A，记“任选一个盒子，选到 1 号”为事件B，记“任选一个盒子，选到 2 号”为事件C，则11322511113264225101132()92 5(|)131811()172 52 1522C CCP ABP B AC CC CP ACC，2 分116421011113264225101182()82 15(|)131811()17252 1522C CCP ACP C AC CC CP ACC，4 分(|)(|)P B AP C A，5 分所以，若摸球的结果是一红一白，则选择的是 1 号盒子的可能性更大。6 分#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqC

8、gOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#大湾区联考数学参考答案第 4 页（共 8 页）（2）判断正确的次数为X的可能取值为 0，1，2，3，4，5，且满足9(5,)17XB10 分所以X的数学期望94551717E X .12 分20（12 分）解：（1）在平行六面体1111ABCDABC D中，111ABCABC-是三棱柱，1 11 1 11 1 1121233B ACC AABCA B CABCD A B C DVVV，3 分设点B到平面11ACC A的距离为d，则1 11 1116233B ACC AACC AVSdd，所以1d，即点B到平面11ACC A的距离为 16

9、分（2）在ABCDY中，2,60ABADBAD，所以ABCD是菱形，连接BD交AC于O，则1BO，由（1）知点B到平面11ACC A的距离为 1，所以BO平面11ACC A7 分设点1A在直线AC上射影为点1 111,2 36ACC AH SAC AHAH，则13A H，且2222111,(6)(3)3BOAH AHAAAH，所以O和H重合，即1AOAO8 分以O为坐标原点，1,OA OB OA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则1(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3)BADA，根据11(3,0,3),(3,1,0)AADDABDC ，则1(3,1,3)D，1

10、(3,2,3)BD ，设平面11CC D D的一法向量为(,)nx y z，则133030DD nxzDC nxy ，取1x，则(1,3,1)n，10 分设直线1BD与平面11CC D D所成角为，则#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#大湾区联考数学参考答案第 5 页（共 8 页）11132 336cos,5105|BD nBD nBDn ，11 分16sincos,5BD n，所以直线1BD与平面11CC D D所成角正弦值为6512 分21（12 分）解：（1）由题，1ac，又12ca，2a，1c，2223bac，3

11、分椭圆C的方程为22143xy.4 分（2）设两定点为,0s，,0t，其中st，当直线l的方程为3y 时，易知两定点到直线l的距离之积为 3.5 分 当直线l不垂直于x轴时，直线l：ykxm，联立方程组223412ykxmxy整理为2223484120kxkmxm，其中2248 340km，所以2234km，6 分两定点到直线ykxm的距离分别为21ksmk，21ktmk，22311ksmktmkk，即22231k stkm stmk，或22233k stkm stmk，210kstkm st或2760kstkm st对任意k R恒成立，8 分显然2760kstkm st对任意k R不恒成立.

12、9 分#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#大湾区联考数学参考答案第 6 页（共 8 页）若210kstkm st对任意k R恒成立，则100stst ，所以11st，两定点为1,0，1,0.10 分当直线1lx轴时，l的方程为2x 或2x，11 分也满足两定点为1,0，1,0到l的距离之积为 3，综上所述，存在两定点为1,0，1,0.12 分22.（12 分）解：（1 1）212(1)1()1sxsxxsxexefxe22(1)11sxxxxsexee22(1)(1)1sxxxsx ese 1分令()(1)(1)xxsx

13、es，12s，()(2)xxsx e，当12s时，()(2)0 xxsx e()x在区间(0,)上单调递减，2 分又(0)1(1)0ss ，3 分所以，当0 x 时，()0 x，即()0fx，所以()f x在(0,)上单调递减.4 分（2 2）由（1 1）得：()fx22(1)(1)1sxxxsx ese，令()(1)(1),(2)xxsx ess，()(2)xxsx e 令()0 x，可得：2xs，依题意：20s#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#大湾区联考数学参考答案第 7 页（共 8 页）当02xs 时，()0 x，

14、当2xs时，()0 x，所以()x在(0,2)s上单调递增，在(2,)s上单调递减；5 分又(0)0，所以(2)0s，又因为(1)(1)0ss 所以，存在唯一0(2,1)xss，0()=0 x，6 分当00 xx时，()0fx，当0 xx时，()0fx，所以()f x在0(0,)x上单调递增，在0(,)x 上单调递减；所以，()f x存在唯一极大值点0 x，且0(2,1)xss.7 分结论：()s在(2,)上单调递增.证明：由知：当2s 时，()f x存在唯一极大值点，任意,(2,),s tst且，依题意：1()1sxxf xe的极大值点为()s，记为1x；1()1txxf xe的极大值点为(

15、)t，记为2x；则1x为1()(1)(1)xxsx es 的零点，2x为2()(1)(1)xxtx et 的零点，则12111222()(1)(1)0()(1)(1)=0 xxxsx esxtx et ，9 分由知：12(2,1),(2,1)xssxtt由1111()(1)(1)0 xxsx es 得：1111xsesx 1121111(1)(1)(1)(1)(1)(1)1()(1)(1)11tsx ssttxsxtxtsxsx 11111(1)(1)()11txx sts xsxsx ，10 分#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#大湾区联考数学参考答案第 8 页（共 8 页）由于1(2,1),xssst,所以21()x11()01ts xsx 11 分根据的分析可知，21(,)xx，22()0 x,即12xx，即()s()t所以()s在(2,)上单调递增.12 分#QQABbY6AggCIQBAAARhCEQHqCgOQkBACAAoGABAAsAAAgBFABCA=#