江苏省扬州中学2023-2024学年高三上学期1月阶段性检测数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司1 江苏省扬州中学 2024 届高三年级阶段性检测 江苏省扬州中学 2024 届高三年级阶段性检测 数学 数学 2024.1.152024.1.15一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合52Axx，33Bx x，则AB（）A.5,0B.6,2C.6,0D.5,22.(23i)(2 3i)A.5 B.1 C.1 D.73.已知向量1,2,3,1ab，则a在ab上的投影向量为

2、（）A.2 5 4 5,55 B.8 5 6 5,55 C.2 4,5 5 D.8 6,5 54.已知函数 1,0sgn0,01,0 xxxx，则“sgn lnsgn11xx”是“1x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知6221xxax展开式中各项系数之和为3，则展开式中x的系数为（）A.10B.11C.13D.156.刍薨是九章算术中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD为矩形，顶棱PQ和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即126VABPQ BC h（其中h是刍薨的高，即顶

3、棱PQ到底面ABCD的距离），已知24,ABBCPAD和QBC均为等边三角形，若二面角PADB和QBCA的大小均为150，则该刍薨的体积为（）A.5 32B.3 3C.7 32D.4 37已知抛物线24yx的焦点为F，(1,0)A，点P是抛物线上的动点，则当PFPA的值最小时，PF=（）A.1B.2C.2 2D.48.已知函数 sin(0)3f xx在区间,2内不存在最值，且在区间,4 3上，满足 32f x 恒成立，则的取值范围是（）更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司2A.12 50,33 6 B.120,133 C.11 50,63 6 D.110,

4、163二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（）A.数据 1，2，3，4，5，6，8，9，11第 75 百分位数是 7B.若事件M，N的概率满足0,1P M，0,1P N 且M，N相互独立，则 1P N MP NC.由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到28.

5、612，依据0.001的独立性检验0.00110.828x，可判断X，Y独立D.若一组样本数据,1,2,iix yin的对应样本点都在直线47yx 上，则这组样本数据的相关系数为110.已知圆O：224xy，过直线l：60 xy上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（）A.若点P的坐标为(1,5)，则22PA B.PAO面积的最小值为2 3C.直线AB过定点2 2,3 3 D.4 7,43AB11.已知 2log,2xfxxx g xx，若 2f ag b，则（）A.2ba B.2ab C.1ab D.32 224ab12.如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点P

6、在侧面11AAD D内运动（包括边界），Q为棱DC中点，则下列说法正确的有（）A.存在点P满足平面/PBD平面11B DCB.当P为线段1DA中点时，三棱锥111PAB D的外接球体积为23C.若101DPDA ，则PQPB最小值为32D.若QPDBPA，则点P的轨迹长为29三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知1sincos5，0,，则tan_.14.数 列 na满 足11a，且22*113202,nnnnaa aannN，则 该 数 列 前 5 项 和 可 能 是的更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众

7、号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司3_(填一个值即可）15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：f x _.2f xfxx；函数 f xyx在0,上单调递增.16已知双曲线C：2213yx 的左、右焦点分别为1F，2F，右顶点为E，过2F的直线交双曲线C的右支于A，B两点（其中点A 在第一象限内），设M，N分别为12AFF，12BFF的内心，则当1F AAB时，1AF=_；1ABF内切圆的半径为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列 na前n项和为

8、nS，且满足_.*n N，均有0na 且214nnaS，首项11a，*,m nN均有22m nnSSmnm；从条件和中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列2nana 前n项和nT的表达式.18.如图，在四棱锥PABCD中，,22ABCD ABBCABBCCDPDPC，设,E F M分列为棱,AB PC CD的中点（1）证明：/EF平面PAM；（2）若PAPM，求EF与平面PCD所成角的正弦值19.如图，在ABC中，23BAC，点P在边BC上，且,2APAB AP更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（

9、北京）股份有限公司4（1）若13PC，求PB（2）求ABC面积的最小值20已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，斜率为 2 的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点当M与原点O重合时，ABD面积为169（1）求C的方程；（2）当M异于O点时，记直线BD与y轴交于点N，求OMN周长的最小值21.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒 19 元，盲盒

10、外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的。方式二：直接购买吉祥物，每个 30 元。（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开。当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过 3 个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？22.定义函数 23*1123nnnxxxfxxnn N（1）求曲线 nyfx在2x 处的切线斜率；（2）若 22exfxk对任意xR恒成立，求k的取值范围；（3）

11、讨论函数 nfx的零点个数，并判断 nfx是否有最小值若 nfx有最小值m证明：1 ln2m ；若 nfx没有最小值，说明理由（注：2.71828e 是自然对数的底数）更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司5江苏省扬州中学 2024 届高三年级阶段性检测江苏省扬州中学 2024 届高三年级阶段性检测 数学 数学 2024.1.142024.1.14注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.

12、本试卷主要考试内容：高考全部内容.满分 150 分，考试用时 120 分钟.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合52Axx，33Bx x，则AB（）A.5,0B.6,2C.6,0D.5,2【答案】B2.(23i)(2 3i)A.5 B.1 C.1 D.7【答案】D3.已知向量1,2,3,1ab，则a在ab上的投影向量为（）A 2 5 4 5,55B.8 5 6 5,55C.2 4,5 5D.8

13、6,5 5【答案】D4.已知函数 1,0sgn0,01,0 xxxx，则“sgn lnsgn11xx”是“1x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司6C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C5.已知6221xxax展开式中各项系数之和为3，则展开式中x的系数为（）A.10B.11C.13D.15【答案】B6.刍薨是九章算术中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD为矩形，顶棱PQ和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即126VABPQ BC h

14、（其 中h是 刍 薨 的 高，即 顶 棱PQ到 底 面ABCD的 距 离），已 知24,ABBCPAD和QBC均为等边三角形，若二面角PADB和QBCA的大小均为150，则该刍薨的体积为（）A.5 32B.3 3C.7 32D.4 3【答案】A【分析】根据给定条件，求出线段PQ长及点P到平面ABCD的距离h，再代入公式计算即得.【详解】令点,P Q在平面ABCD的投影分别为,P Q，取,AD BC的中点,M N，连接,PM QN，由PP 平面ABCD，AD 平面ABCD，得PPAD，由正PAD，得ADPM，,PPPMP PP PM平面PMP，则AD 平面PMP，同理BC平面QNQ，由四边形AB

15、CD为矩形，得/ADBC，于是AD 平面QNQ，而MP面PMP，NQ平面QNQ，则,ADMP ADNQ，显然/MNAB，有MNAD，且,P M N Q都在平面ABCD，因此点,P M N Q共线，显然/PPQQ，而/PQ平面ABCD，平面PQQ P 平面ABCDP Q，PQ 平面 PQQ P，则/PQP Q，四边形 PQQ P为平行四边形，,PQP Q hQQPP，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司7由ADPM，ADMN，得PMN是二面角PADB的平面角，即150PMN，则30PMP，又sin603PMPA，因此33sin30,cos3022hPMP M

16、PM，同理32NQ，而4MNAB，则27PQMNP M，所以该刍薨的体积为1135 32(2 47)26622VABPQ BC h .故选：A7已知抛物线24yx的焦点为F，(1,0)A，点P是抛物线上的动点，则当PFPA的值最小时，PF=（）A.1B.2C.2 2D.4【答案】B【解析】由题知，抛物线的准线方程为=1x，(1,0)A，过P作PQ垂直于准线于Q，连接PA，由抛物线定义知PQPF.sinPFPQPAQPAPA由正弦函数知，要使PFPA最小值，即PAQ最小，即PAF最大，即直线PA斜率最大，即直线PA与抛物线相切.设PA所在的直线方程为：(1)yk x，联立抛物线方程：24(1)y

17、xyk x，整理得：2222(24)0k xkxk则2242440kk，解得1.k 更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司8即221 0 xx，解得1x，代入24yx得2.y (1,2)P或(1,2)P，再利用焦半径公式得2PF 故选：B.8.已知函数 sin(0)3f xx在区间,2内不存在最值，且在区间,4 3上，满足 32f x 恒成立，则的取值范围是（）A.12 50,33 6B.120,133C.11 50,63 6D.110,163【答案】D【分析】由正弦型函数的区间最值情况得17236kk，Zk，进而有106或1736，讨论结合已知恒成立确定最

18、终的取值范围.【详解】由,2x，则(,)3233x内不存在最值，即232332kk，则17236kk，Zk，则106或1736，由,4 3x，则,343 33x中2si33nx恒成立，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司9只需433且201333，106或113；所以的取值范围是110,163.故选：D二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合

19、题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（）A.数据 1，2，3，4，5，6，8，9，11第 75 百分位数是 7B.若事件M，N的概率满足0,1P M，0,1P N 且M，N相互独立，则 1P N MP NC.由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到28.612，依据0.001的独立性检验0.00110.828x，可判断X，Y独立D.若一组样本数据,1,2,iix yin的对应样本点都在直线47yx 上，则这组样本数据的相关系数为1【答案】BCD【解析】【分析】根据百分位数的定义求出第 75 百分位数，从而判定 A

20、；由独立性得到P N MP N，进而利用对立事件的概率关系判定 B；根据20.0018.61210.828x，可判定 C；根据直线方程斜率为负值，可知相关系数为负值，根据所有点都在直线上，可知相关系数绝对值为 1，进而可知相关系数，从而判定 D.【详解】对于选项 A，9 个数据从小到大排列，由于90.756.75，所以第 75 百分位数应该是第 7 个数8，故 A 错误；对于选项 B，由M，N相互独立得：()()()P MNP M P N，所以P MNP N MP NP M，1P N MP NP NP N，故 B 正确：的更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公

21、司10对于选项 C，由20.0018.61210.828x，可以认为X和Y独立，故 C 正确：对于选项 D，样本点都在直线47yx，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为1，故 D正确，故选：BCD.10.已知圆O：224xy，过直线l：60 xy上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（）A.若点P的坐标为(1,5)，则22PA B.PAO面积的最小值为2 3C.直线AB过定点2 2,3 3 D.4 7,43AB【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，利用圆的切线长公式求解判断；B 选项，利用OPl时，PA取最小值求解判断；C选项，设(,6)P aa，求得以OP为直径的圆，与22

22、4xy联立，求得直线AB的方程判断；D 选项，利用圆的弦长公式求解判断.【详解】A 选项，如图，由圆的切线性质及勾股定理可得：2226422PAPOOA，所以 A 选项正确：B 选项，O到直线:60l xy的距离为0063 22，而22223 2PAOPOA414，所以PA的最小值为14，所以三角形PAO面积的最小值为1142142，所以 B 选项错误：C 选项，设(,6)P aa，222(6)21236222OPaaaa，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司11线段OP的中点坐标为6,22aa，所以以OP为直径的圆的方程为222621236224aaaa

23、xy，即22(6)0 xyaxa y，由224xy，两式相减得直线AB的方程为：(6)4axa y，即()640a xyy，由0,640,xyy解得23xy，所以直线AB过定点2 2,3 3，C 选项正确；D 选项，由 C 选项知，圆心O到直线AB的距离242 20,321236daa，所以2224 722 4,43ABrdd，D 选项正确，故选：ACD.11.已知 2log,2xfxxx g xx，若 2f ag b，则（）A.2ba B.2abC.1abD.32 224ab【答案】ABD【解析】【分析】利用同构法判断 A；利用 A 中结论判断 B；利用零点存在定理判断a的范围，从而利用一次

24、函数与二次函数的性质判断 CD.【详解】因为22log2log 22bbbaab，所以 2bf af，又2log,yx yx其定义域内单调递增，所以 f x其定义域内单调递增，故2ha，故 A 正确；由 A 可知2ba，所以22bbab，故 B 正确；因为()f x单调递增，且22333131log2,(2)log2222222222ff，根据零点存在定理，有32,(2)2212aabaaa，故 C 错误；在更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司12因为22(2)211abaaaaa ，又二次函数211ya 的对称轴为 1，且在区间32,2上单调递减，所以3

25、2 224ab，故 D 正确，故选：ABD.12.如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点P在侧面11AAD D内运动（包括边界），Q为棱DC中点，则下列说法正确的有（）A.存在点P满足平面/PBD平面11B DCB.当P为线段1DA中点时，三棱锥111PAB D的外接球体积为23C.若101DPDA ，则PQPB最小值为32D.若QPDBPA，则点P的轨迹长为29【答案】ABD【解析】【分析】当点P位于1A点时，平面/PBD平面11B DC，可判断 A 选项；确定三棱锥111PAB D的外接球的球心，进而求半径，可判断 B 选项；当点P位于D点时，可判断 C 选项；利用P

26、ABPDQ，建立适当的平面直角坐标系可得到P点的轨迹，进而求轨迹的长，可判断 D 选项.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司13【详解】对于 A，面1/ABD面11B DC，所以当点P位于1A点时，平面/PBD平面11B DC，故 A 正确；对于 B，当P为线段1DA中点时，11APD与111B AD均为直角三角形，且面11APD 面111B AD，三棱锥111PAB D的外接球的球心为11B D的中点，外接球的半径22R，三棱锥111PAB D的外接球体积为34233VR，故 B 正确；对于 C，101DPDA ，点P在线段1DA上，当点P位于D点时，1

27、3222PQPBDQDB，故 C 错误；对于 D，若QPDBPA，PAB与PDQ均为直角三角形，PABPDQ，2PAABPDDQ，如图，在正方形11AD DA中，以1A为原点，11AD、1A A分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司14则0,1A，1,1D，设,P x y，则22221211xyPAPDxy，整理得：2244139xy，点P在面11AAD D内的轨迹为以4,13F为圆心，以23为半径的MN，13DF，23FN，在FDN中，1cos2DFDFNFN，60MFNDFN，223 39MN，故 D 正确.故选：AB

28、D.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知1sincos5，0,，则tan_.【答案】34【解析】【分析】根据同角平方和关系可得12sincos25，进而根据齐次式即可求解.【详解】由1sincos5 可得112sincos25，故12sincos25，又222sincostan12sincossincostan125，解得3tan4 或4tan3，由于12sincos025，0,，故sin0,cos0，又1sincos05，故sincos，因此tan1，故3tan4，故答案为：34更多全科试卷尽在网盘

29、群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司1514.数 列 na满 足11a，且22*113202,nnnnaa aannN，则 该 数 列 前 5 项 和 可 能 是_(填一个值即可）5 或者 31【分析】由条件可得1120nnnnaaaa，然后分1nnaa或12nnaa讨论，结合等比数列的定义以及其前n项和公式，即可得到结果.【详解】因为22*113202,nnnnaa aannN，即1120nnnnaaaa，所以1nnaa或12nnaa，若1nnaa，则数列 na为常数数列，且11a，则其前 5 项和5155Sa；若12nnaa，即12nnaa，且11a，则数列 na是以1为

30、首项，2为公比的等比数列，则5511 2311 2S；所以该数列前 5 项和可能是 5 或者 31.15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：f x _.2f xfxx；函数 f xyx在0,上单调递增.【答案】exx（答案不唯一，形如1xxaa 均可）【解析】【分析】根据 2f xfxx，可设 xf xxa，再根据性质确定a的可能取值.【详解】因为1xxaa，2f xfxx，所以可设 xf xxa，则 xf xyax.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司16因为函数 f xyx在0,上单调递增，所以1a，所以 exf xx满足这两个条件，故答案为：ex

31、x（答案不唯一）.16已知双曲线C：2213yx 的左、右焦点分别为1F，2F，右顶点为E，过2F的直线交双曲线C的右支于A，B两点（其中点A 在第一象限内），设M，N分别为12AFF，12BFF的内心，则当1F AAB时,_117AF ；1ABF内切圆的半径为_17【解析】由双曲线方程知：1,3,2abc，由1F AAB，则2221212|16AFAFFF，故21212(|)2|16AFAFAFAF，而12|2AFAF，所以12|6AFAF，故222|2|60AFAF，得2|71AF，所以1|71AF，若G为1ABF内切圆圆心且1F AAB知：以直角边切点和,G A为顶点的四边形为正方形，结

32、合双曲线定义：内切圆半径11122111(|)(|)22rAFABBFAFAFBFBF2111(2 7|)(2 72)7122rBFBF，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司17四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列 na前n项和为nS，且满足_.*n N，均有0na 且214nnaS，首项11a，*,m nN均有22m nnSSmnm；从条件和中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1

33、）求数列 na的通项公式；（2）求数列2nana 前n项和nT的表达式.【答案】（1）21nan （2）2110252939nnnT【解析】【分析】（1）根据1nnnaSS求解即可；（2）利用错位相减法求和.【小问 1 详解】若选条件，则令1m，可得：121nnSSn，故当2n 时有：21213211 3521nnnSSSSSSSSnn ，221(1)21nnnaSSnnn，又当11a 也符合上式，所以21nan，数列 na的通项公式为21nan；若选条件，则由214nnaS可得，当1a 时，2111144aSa，解得11a，当2n 时有：21114nnaS，则2211111144nnnnna

34、SSaa,化简得:1120nnnnaaaa，因为0na，故有120nnaa，即12nnaa，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司18所以 na是首项为1，公差为2的等差数列，从而有21nan.数列 na的通项公式为21nan；【小问 2 详解】由（1）可知：21221 2nannan，则135211 23 25 221 2nnTn ，3572141 23 25 221 2nnTn ，两式相减得：135212131 2222221 2nnnTn ，121218 1 410532221 2221 433nnnnTnn ，2110532233nnTn，所以211

35、0252939nnnT.数列2nana 前n项和为2110252939nnnT.18.如图，在四棱锥PABCD中，,22ABCD ABBCABBCCDPDPC，设,E F M分列为棱,AB PC CD的中点（1）证明：/EF平面PAM；（2）若PAPM，求EF与平面PCD所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）16515.【解析】更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司19【分析】（1）取PM的中点N，利用线面平行的判定推理即得.（2）取AM的中点H，证明PH 平面ABCD，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值即得.【小问 1

36、 详解】取PM的中点N，连接,AN NF，则/NFCM，且2NFCM，又/AECM，且2AECM，于是/,NFAE NFAE，四边形AEFN为平行四边形，则/EFAN，又AN 平面,PAM EF 平面PAM，所以/EF平面PAM.【小问 2 详解】取AM的中点H，连接PH，由PAPM，得PHAM，又,CDPDPC M是CD的中点，则CDPM，又22,/,ABBCCD ABCD ABBC M是CD的中点，则CDAM，而,AMPMM AM PM平面PAM，于是CD 平面PAM，PH 平面PAM，CDPH，又,PHCD PHAM AMCDM AM CD平面ABCD，因此PH 平面ABCD，不妨设22

37、4ABBCCD，以点H为坐标原点，直线HA、过点H平行于CD的直线、直线PD分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,0,11),(1,0,0),(1,2,0)APMC，则(1,0,11),(0,2,0)PMMC ，由N为PM的中点，得111311(,0,),(,0,)2222NAN，由（1）知，/EFAN，直线EF与平面PCD所成角即为直线AN与平面PCD所成角，设(,)nx y z为平面PCD的一个法向量，则1100n PMxzn MCy ，令1z，得(11,0,1)n ，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司20设AN与平面PCD

38、所成角为，则|2 11165sin|cos,|15|2 35n ANn ANnAN ，所以EF与平面PCD所成角的正弦值为16515.19.如图，在ABC中，23BAC，点P在边BC上，且,2APAB AP（1）若13PC，求PB（2）求ABC面积的最小值【答案】（1）4 135 （2）8 33【解析】【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理求解即可；（2）设ABP，则3ACB，求出2sinBP，1=sin3PC，所以三角形ABC面积的可表示为只含的函数，利用二次函数的性质可得最大值.【小问 1 详解】因为22,13,326APPCCAP，所以在ACP中由余弦定理可得2222cosPCAPACAP

39、 ACCAP，所以2313442ACAC，解得AC3 3，由正弦定理得sinsinPAPCCCAP，即22in1s13C，解得13sin13C，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司21所以22 39cos1 sin13CC，5 13sinsinsincoscossin26BBACCBACCBACC，在三角形ABC中由正弦定理得：sinsinBCACBACB，则3 335 13226BC，解得9 135BC，所以4 135PBBCPC；【小问 2 详解】设ABP，则3ACB，由于2AP，则2sinsinAPBP，在ACP中由正弦定理得：sin30sin3AP

40、PC，解得1=sin3PC，过A点做BC的垂线，交BC于M点，设三角形的面积为S，则2PAMBAMABMBAM，所以PAMABM，所以cos2cosAMAP，所以1213coscoscos2sinsinsinsin33SAMBC2223cos338 3cos33131133sincossintantantan2222228即三角形ABC面积的最大值为8 33.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司2220已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，斜率为 2 的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点当M与原点O重合时，

41、ABD面积为169（1）求C的方程；（2）当M异于O点时，记直线BD与y轴交于点N，求OMN周长的最小值【答案】（1）22142xy （2）22【解析】（1）当M与原点O重合时，可设00,A xy，则有00,Bxy、00,Dxy，且002yx，即有ADBD,则00001116229ABDSADBDxxyyV，即201649x，又00 x，故023x，则043y，即有22416199ab，由离心率为22，即22ca，则22222acbc，故222ab，即有224161189bb，解得22b，故24a，即C的方程为22142xy；（2）设直线l方程为2yxt，令0y，有2tx ，即2Mtx，设点1

42、1,A x y、22,B xy，则11,Dx y，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司23联立直线与椭圆方程：222142yxtxy，消去y有2298240 xtxt，2226436 2414480ttt，即3 23 2t，有1289txx，212249tx x，BDl为122212yyyxxyxx，令0 x，故21222122122221122121212Nx yx yx yx yx yx yx yx yyyxxxxxx，由2yxt，故2112211212121212224xxtxxtx yx yx xtxxxxxx，其中2121224198429tx

43、xttxxt，即12442Ntyttt，则22222424OMNNMNMttCyxyxtt2224222242tttt，当且仅当2t 时等号成立，故OMN周长的最小值为22.22.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。甲同更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司24学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒 19 元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物

44、的款式，买到每款吉祥物是等可能的。方式二：直接购买吉祥物，每个 30 元。（3）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开。当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；（4）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过 3 个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司2522.定义函数 23*1123nnnxxxfxxnn N（1）求曲线 nyfx在2x 处的切线斜率；（2）若 22exfxk对任意xR恒成立，求k的取值范围；（3）讨论

45、函数 nfx的零点个数，并判断 nfx是否有最小值若 nfx有最小值m证明：1 ln2m ；若 nfx没有最小值，说明理由（注：2.71828e 是自然对数的底数）【答案】（1）12n （2）,1 （3）答案见详解【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果；（3）分成n为奇数，n为偶数两种情况，并借助导数不等式分别讨论函数 nfx的零点个数及最值.【小问 1 详解】由 2111nnnfxxxx ，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司26可得211 221 2221 21 2nnnnf ,所以曲线 nyfx

46、在2x 处的切线斜率12n.【小问 2 详解】若 22exfxk对任意xR恒成立，所以 22122eexxxxfxk 对任意xR恒成立，令212()exxxg x，则4()exxxg x，由()0g x解得0 x，或4x；由()0g x解得04x，故()g x在,0上单调递减，在0,4上单调递增，在4,上单调递减，又(0)1g，且当4x时，()0g x，故()g x的最小值为(0)1g，故1k ，即k的取值范围是,1.【小问 3 详解】11 11nfn ，当1x 时，21111111nnnnnxxfxxxxxx ，因此当n为奇数时，2311231nnnxxxxfxxnn，此时 1,1,1,1.

47、nnxxfxxn x 则 0nfx，所以 nfx单调递减.此时 010nf，11fxx 显然有唯一零点，无最小值.当2n 时，231222221 2231nnnfnn 更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司27212321 2220321nnnn且当2x 时，2311231nnnxxxxfxxnn21311321nxxnxxxxnn，由此可知此时 nfx不存在最小值.从而当n为奇数时，nfx有唯一零点，无最小值，当2nk*k N时，即当n为偶数时，2311231nnnxxxxfxxnn，此时 1,1,1,1.nnxxfxxn x，由 0nfx，解得1x；由

48、0nfx，解得1x 则 nfx在,1上单调递减，在1,上单调递增，故 nfx的最小值为 1111111 102321nfnnn，即 10nnfxf，所以当n为偶数时，nfx没有零点.设 ln 101xh xxxx，22110111xh xxxx，所以 h x在0,上单调递增，00h xh，即ln 101xxxx.令1xn可得11ln1nnn，当2nk*k N时 211111111234212kfkk 11111112232242kk更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君学科网（北京）股份有限公司2811111112322kk111122kkk1222lnlnlnlnln2121kkkkkkkk，即 211 ln2kmf.从而当n为偶数时，nfx没有零点，存在最小值1 ln2m .综上所述，当n为奇数时，nfx有唯一零点，无最小值；当n为偶数时，nfx没有零点，存在最小值1 ln2m .更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君