2024重庆市普通高等学校招生高三第一次联合诊断检测（康德卷）数学试题含答案.pdf

《2024重庆市普通高等学校招生高三第一次联合诊断检测（康德卷）数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024重庆市普通高等学校招生高三第一次联合诊断检测（康德卷）数学试题含答案.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一次联合诊断检测（数学）第 1 页 共 9 页2024 年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测 数学 数学测试卷共 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知集合1 2 3 4 5A，2|211120Bxxx，则AB A1 2，B2 3，C3 4，D4 5，2 已知复数izab，若izz，则 A0ab B0ab C0ab D1ab 3 对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则 a b，可以分别大致反映这组数据的 A平

2、均数，中位数 B平均数，众数 C中位数，平均数 D中位数，众数 4 若24cossin(2)2，则tan2A2 B12 C1 D25 在经济学中，常用 Logistic 回归模型来分析还款信度评价问题某银行统计得到如下 Logistic 模型：0.97 0.1270.97 0.127e()1 exxP x，其中x是客户年收入（单位：万元），()P x是按时还款概率的预测值如果某人年 收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（参考数据：ln1.350.3）A0.35 B0.46 C0.57 D0.68 6 已知()ln(1)ln()f xxabx是奇函数，则()f x在点(0(0)f，处

3、的切线方程为A2yx Byx C0yD2yx 7 将一副三角板拼接成平面四边形ABCD（如图），1BC，将其沿BD折起，使得面ABD 面BCD，若三棱锥ABCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 A2 B73C83D38 已知函数()f x满足()()()2f xyf xf y，(1)4f且当0 x时，()2f x，若存在1 2x，使得2(4)(2)1f axxfx，则a的取值范围是B C D A 6045ab#QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=#重庆市 第一次联合诊断检测（数学）第 2 页 共 9 页 A1(0 2，

4、B15 28，C52 83，D12 23，二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9下列函数中，其图象关于点(0)6，对称的是 Asin(2)3yx Bsin(2)3yx Ccos(2)6yx Dtan(2)6yx 10已知椭圆22214Exya：(0)a 和222244Eyxa：(0)a，则 A1E与2E的长轴长相等 B1E的长轴长与2E的短轴长相等 C1E与2E的离心率相等 D1E与2E有4个公共点 11已知三棱柱111ABCABC，DEF，分别是棱ABBCCA，的

5、中点，记三棱柱111ABCABC的体积为V，则 A棱锥1ADEF的体积为124V B棱锥1AADEF的体积为16V C多面体11AB ABEF的体积为512V D多面体111ABC DEF的体积为23V 12若不相等的两个正数ab，满足22ababab，则 A1ab B43ab C13ab D12ab 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1 2，的黑球和编号为1 2 3，的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为 14若向量a，b满足|1a，|2b，若b与a的夹角为锐角，则()aab

6、的取值范围是 15记数列 na的前n项和为nS，若2nnSa，且6252S，则#QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=#第一次联合诊断检测（数学）第 3 页 共 9 页 16已知12 FF，分别是双曲线C：222xya(0)a 的左、右焦点，过2F作一直线交C于MN，两点，若21120MF F，且1MNF的周长为1，则C的焦距为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知数列na是等差数列，且51a，8102aa （1）求na的通项公式；（2）x表示不超过x的最大整数

7、，如1.7 1 1，1.5 22 若2nanb，nT是数列 nb的前n项和，求11T 18（12 分）2024 年 1 月 18 日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方 为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群（1）在100名受调人群中，得到如下数据：根据小概率值0.1的2独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；（2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机

8、抽取3个进行问答某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案求该受调者答对题目数量的期望 参考公式：22()=()()()()n adbcab cdac bd 独立性检验常用小概率值和相应临界值：年龄 了解程度 不了解 了解 30 岁以下 16 24 50 岁以上 16 44 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828#QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=#第一次联合诊断检测（数学）第 4 页 共 9 页 随机

9、变量XY，的期望满足：()()()E XYE XE Y 19（12 分）在ABC中，内角ABC，的对边分别为 a b c，已知ABC的面积2sinsincosaBCSA（1）求tan A；（2）若5coscos5BC ，1a，求22bc 20（12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，2AB，2BC，45BAD，PAPD（1）证明：PBBC；（2）若3PA，13PC，求二面角APBC的余弦值 21（12 分）已知(2 2)A，BC，是抛物线E：22xpy上的三点，且直线AB与直线AC的斜率之和为0（1）求直线BC的斜率；（2）若直线AB，AC均与圆M：222(2)(03)x

10、yrr相切，且直线BC被圆M截得的线段长为2 305，求r的值 22（12 分）已知函数()e(1)lnxf xa xax（e为自然对数的底数）（1）当1a 时，证明()f x存在唯一的极小值点0 x，且0()2f x；（2）若函数()f x存在两个零点，记较小的零点为1x，s是关于x的方程1ln(1)cos2xxax的根，证明：1sx A B C D P#QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=#第一次联合诊断检测（数学）第 5 页 共 9 页 2024 年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测 数学参考答案 一、

11、单选题 18 BAADCACD 8 题解析：易证()f x是增函数，22(4)(2)(4)2 2f axxfxfaxxx2(2)21f axx，所以2(2)1f axx 令0 xy，得(0)2f；令11xy，得(1)0f；令11xy ，得(2)2f ；令21xy ，得(3)4f ；令32xy，得3()12f ，所以2322axx 原问题即2432xax在1 2，有解令1tx，则2234att 在1 12t，时有解，从而421 3a，12 23a，二、多选题 9BCD 10BC 11BC 12ABD 12 题解析：由22ababab，得2()()ababab因为ab，是正数，所以0ab，从而 2

12、()()0abab，解得1ab因为ab，所以2()4abab，从而22()()()4ababab，解得43ab因为413ab，所以24()()(0)9ababab，从而12ab 故选 ABD 三、填空题 1312 14(1 3)，154 1626 16 题解析：设双曲线的焦距为2c，点11()M xy，22()N xy，则2212|()2cMNMFNFxxaa 122()2xxa 由 题 意，直 线MN的 方 程 为3()yxc，代 入222xya得2226 270 xaxa，所 以123 2xxa，从 而|4MNa1MNF的 周 长 为11|42|12MFNFMNaMNa，由题意，112a

13、所以焦距222 26ca#QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=#第一次联合诊断检测（数学）第 6 页 共 9 页 四、解答题 17（10 分）解：（1）设 na的公差为d，由题意，得141ad，12162ad 所以13a，12d ，故173(1)22nnan 5 分（2）由题意，13a，232aa，451aa，10112aa 11123451011Tbbbbbbb32222(222)1232 所以1123T 10 分 18（12 分）解：（1）零假设0H：对“腊八节”民俗的了解程度与年龄相互独立 由题意，得22100(16 4

14、4 1624)1002.70640 60 32 6851 根据小概率值0.1的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，即认为对“腊八节”民俗的了解程度没有年龄差异 5 分（2）设选择题部分和填空题部分答对题目分别为X和Y 因为X服从(5 0.8)B，所以5 0.84EX 由题意，Y的可能取值为1，2，3 1232353(1)10C CP YC，2132353(2)5C CP YC，33351(3)10CP YC 所以331231.810510EY 该受调者答对题目数量的期望为()4 1.85.8E XYEXEY个 12 分 19（12 分）解：（1）由题意，2sinsin1sincos2aBC

15、SabCA，因为0a，sin0C，所以1sincos2aBbA 由正弦定理，得1sinsinsincos2ABBA，因为sin0B，所以1sincos2AA，故1tan2A 5 分（2）由（1）得5sin5A，2 5cos5A，所以2 5cos()cos5BCA ，由cos()coscossinsinBCBCBC，及5coscos5BC ，得5sinsin5BC#QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=#第一次联合诊断检测（数学）第 7 页 共 9 页 由正弦定理，得22sinsinsinbcaBCA，所以5bc 由余弦定理，得2

16、222cosbcabcA5 12 分 20（12 分）解：取AD中点O，连接OB，OP（1）PAD中，因为PAPD，所以OPAD AOB中，因为2AB，112AOBC，45BAD，由余弦定理，得1OB，所以222OBAOAB，OBAD 因为OP，OB是平面BOP上的两条相交直线，所以AD 平面BOP 因为PB 平面BOP，所以ADPB 因为/ADBC，所以PBBC 5 分（2）由（1）知，PBBC，所以222PBPCBC，则3PB，又2 2PO，2229POOBPB，所以POOB，则POABCD面，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则(10 0)A，(010)B，(210)C ，(10 0)D

17、 ，(0 0 2 2)P，则(110)AB ，(012 2)PB ，(2 0 0)BC ，设平面PAB的法向量为()x y z，m，则 00.ABPB ，mm即02 20.xyyz，取(2 2 2 21)，m 设平面PBC的法向量为()x y z，n，则 00.BCPB ，mm即202 20.xyz，取(02 21)，n 93 17cos17173，m nm n|m|n|所以，二面角APBC的余弦值为3 1717 12 分 21（12 分）A B C D P O x y z A B C D P O#QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNA

18、BCA=#第一次联合诊断检测（数学）第 8 页 共 9 页解：因为点(2 2)A，在抛物线E：22xpy上，所以1p E的方程为：22xy（1）设211()2xB x，222()2xC x，12x，22x且12xx由题意，2212122222022xxxx，化简得124xx 所以，直线BC的斜率为221212122222xxxxxx 5 分（2）由（1），设直线BC的方程为2yxm，代入22xy，消去y得：2420 xxm则1680m，124xx，122x xm 因为直线BC被圆M截得的线段长为2 305，所以222(2)30()55mr，化简得：22(2)56mr 由03r，则15m 直线A

19、B的方程为122(2)2xyx，即11(2)220 xxyx因为直线AB与圆M相切，所以121|42|(2)4xrx，化简得22124(2)4rxr 同理，22224(2)4rxr 12x x，是方程22244404rxxr的两根，所以2122444rx xr，故224244rmr由 解得0m（26m 舍），则2r 12 分 22（12 分）解：（1）当1a时，()elnxf xx，0 x因为1()exfxx在(0)，上单调递增，且1()02f，(1)0f，#QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=#第一次联合诊断检测（数学）第

20、9 页 共 9 页 所以，存在0 x 1(1)2，使得当0(0)xx，时，()0fx；当0()xx，时，()0fx 且0()0fx，即001exx 故()f x在0(0)x，上单调递减，在0()x，上单调递增，()f x存在唯一的极小值点0 x 因为02000000(1)1()2eln220 xxf xxxxx，所以0()2f x 5 分（2）令e(1)ln0 xa xax，得elnxxaxax，设()exg xx，因为()e10 xg x，所以()g x在定义域上单调递增，而lnlnlnaxaxaxeax，则有()(ln()g xgax，由题意，1x为lnxax的两个根中较小的根，即11ex

21、ax，10 x 又由题意，有1ln(1)cos2axss，从而1eln(1)cos2xss，则有ln(1)cos10ss 设()ln(1)cos1sss，1s ，当0s 时，ln(1)0s，1cos1s ，所以()0s符合题意，当10s 时，1()sin01sss，所以()s在(1,0上单调递增，()(0)0s，不合题意，所以0s 设()eln(1)cos2xm xxx，则1()esin1xm xxx，因为0 x，令()e1xp xx，()sinq xxx，则()e10 xp x，()1 cos0q xx，所以()p x，()q x在(0)，上单调递增，从而()0p x，()0q x，即e1xx，sinxx 故1()1011xm xxx，即()m x在(0)，单调递增，所以()0m x，所以eln(1)cos2xxx，从而1eln(1)cos2exsss，即1sx 12 分#QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=#