2024届广东省佛山市高三上学期普通高中教学质量检测（一）数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司20232024 学年佛山市普通高中教学质量检测（一）学年佛山市普通高中教学质量检测（一）高三数学高三数学2024.1本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题小题.满分满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，

2、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回考试结束后，将答题卷交回.一选择题：本题共一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2,1Ax xBx x，则AB

3、RR（）A.B.12xxC.12xxD.R2.复数313i3i（）A.iB.iC.3i2D.3i23.已知双曲线E实轴长为 8，且与椭圆2214924yx有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（）A.340 xyB.430 xyC.450 xyD.540 xy4.已知 1f xxxaxb为奇函数，则 yf x在0 x 处的切线方程为（）A.0 xyB.0 xyC.30 xyD.30 xy5.设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，准线为,l M是C上一点，N是l与x轴的交点，若的第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司4 2,4MNMF，则p（）A.2B.2C.2 2D.46.若古

4、典概型的样本空间1,2,3,4，事件1,2A，甲：事件B，乙：事件,A B相互独立，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.对于任意非零向量,a b c ，若,a b 在c上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（）A./abcB./abcC.abcD.abc8.2023 年中央金融工作会议于 10 月 30 日至 31 日在北京举行，会议强调坚持把金融服务实体经济作为根本宗旨.现有某高新企业向金融机构申请到一笔 800 万元专项扶持贷款资金，该贷款资金分 12 期发放完毕，考虑到企业盈利状况将逐步改善，前 11 期放款金额逐期等额递

5、减发放，每期递减 10 万元，第 12 期资金不超过 10 万元一次性发放.假设每期放款金额均为以万元为单位的正整数，则第 1 期和第 12 期放款金额之和为（）A.128B.130C.132D.134二多选题：本题共二多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分.9.已知角的终边过点3,4P，则（）A 7cos225 B.24tan27 C.2 5cos25D.1tan221

6、0.在正方体1111ABCDABC D中，点E F分别是BD和1BC的中点，则（）A.EFBDB.EF与1AD所成角为60C.EF平面11BCDD.EF与平面ABCD所成角为45.第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司11.有一组样本数据0,1,2,3,4，添加一个数X形成一组新的数据，且5C0,1,2,3,4,532kP Xkk，则新的样本数据（）A.极差不变的概率是3132B.第 25 百分位数不变的概率是316C.平均值变大的概率是12D.方差变大的概率是73212.已知 lnaf xxaxx有两个不同极值点12,x x，则（）A.122xxB.1202xxfC.120f xf

7、 xD.12121 2f xf xaxx 三填空题：本题共三填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.在(1)nax（其中*N,0na）的展开式中，x的系数为10，各项系数之和为1，则n _.14.在正三棱台111ABCABC-中，112 3,3ABAB，其外接球半径为5，则该棱台的高可以为_.15.若,A B分别是曲线exy 与圆22(1)1xy上的点，则AB的最小值为_.16.已知ABC中，22ABBC，AB边上的高与AC边上的中线相等，则tanB _.四解答题：本题共四解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算

8、步骤分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，直三棱柱111ABCABC-中，12,3,4,30AAABACACB.过点11,A B C的平面和平面ABC的交线记作l.（1）证明：lBC；的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（2）求顶点1C到直线l的距离.18.高中进行体育与健康学业水平测试，有利于提升学生身体素质和健康水平，培养学生创新精神和实践能力.某学校对高三年级学生报名参加体育与健康学业水平测试项目的情况进行了普查，全年级 1070 名学生中有 280 名报名参加羽毛球项目，其中 530 名女生中有 64 名报名参加羽毛球项目.（1）从该校高三年级中任选一名学

9、生，设事件A 表示“选到的学生是女生”，事件B表示“选到的学生报名参加羽毛球项目”，比较P B A和P B A的大小，并说明其意义；（2）某同学在该校的运动场上随机调查了 50 名高三学生的报名情况，整理得到如下列联表：羽毛球性别报名没报名合计女12820男131730合计252550根据小概率值0.05的独立性检验，能否认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联？得到的结论与第（1）问结论一致吗？如果不一致，你认为原因可能是什么？附：22()n adbcabcdacbd0.0500.0100.001x3.8416.63510.82819.记nS为数列 na的前n项和，且满足1232n

10、nnSSa.（1）试问数列nnSa是否为等比数列，并说明理由；（2）若12a，求 na的通项公式.20.已知椭圆2222:10 xyabab离心率为32，直线:1l yk x与交于,A B两点，与x轴交于点C，O为坐标原点.的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（1）证明：22214kbk；（2）若2ACCB，求AOB面积取得最大值时椭圆的方程.21.记T为函数 sinf xx最小正周期，其中0,0，且 302f，直线112xT为曲线 yf x的对称轴.（1）求；（2）若 f x在区间,2上的值域为31,2，求 f x的解析式.22.已知 2e1,e1xxf xaxg xax，其中

11、aR.（1）求 f x的单调区间；（2）若2a，证明：当36xa时，f xg x.的第 1 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司20232024 学年佛山市普通高中教学质量检测（一）学年佛山市普通高中教学质量检测（一）高三数学高三数学2024.1本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题小题.满分满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非

12、选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回考试结束后，将答题卷交回.一选择题：本题共一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题

13、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2,1Ax xBx x，则ABRR（）A.B.12xxC.12xxD.R【答案】C【解析】【分析】求出集合,A B的补集，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】由于2,1Ax xBx x，故|2,|1Ax xBx xRR,所以ABRR12xx，故选：C2.复数313i3i（）A.iB.iC.3i2D.3i2【答案】B【解析】第 2 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【分析】根据复数运算法则直接计算.【详解】由题意得，313i3i13i13i4ii43i3i3i3i.故选：B3.已知双曲线E的实轴长为 8，且与椭圆2214924y

14、x有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（）A.340 xyB.430 xyC.450 xyD.540 xy【答案】B【解析】公众号：高中试卷君【分析】根据条件分别求双曲线的,a b c，再代入渐近线方程.【详解】椭圆2214924yx的焦点在y轴上，其中249a，224b，225c，所以焦点坐标为0,5和0,5，双曲线的焦点为0,5和0,5，即5c，实轴长28a，则4a，那么223bca所以双曲线E的渐近线方程为43ayxxb ，即430 xy.故选：B4.已知 1f xxxaxb为奇函数，则 yf x在0 x 处的切线方程为（）A.0 xyB.0 xyC.30 xyD.30 xy【答案】A【

15、解析】【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.【详解】因为 211f xxxaxbxxab xab321xabxabab xab，第 3 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司所以321fxxabxabab xab，因为 f x为奇函数，所以 22120fxf xabxab对xR恒成立，所以100abab，代入函数表达式得 3f xxx，所以 231fxx，则 00,01ff ，所以 yf x在0 x 处的切线方程为yx，即0 xy.故选：A5.设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，准线为,l M是C上一点，N是l与x轴的交点，若4 2,4M

16、NMF，则p（）A.2B.2C.2 2D.4【答案】D【解析】【分析】根据抛物线定义和图形中的几何关系直接计算求解即可.【详解】如图所示，作MHl，由抛物线定义可知，4MHMF，在Rt MHN中，224HNMNMH，则4,42pM在抛物线2:2(0)C ypx p上，所以24162pp，即28160pp，则4p.故选：D第 4 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司6.若古典概型的样本空间1,2,3,4，事件1,2A，甲：事件B，乙：事件,A B相互独立，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合独立事件的定义，

17、结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】若B，1,2AB，则2142P AB，而 2142P A，1P B，所以 P A P BP AB，所以事件,A B相互独立，反过来，当1,3B，1AB，此时14P AB，12P AP B，满足 P A P BP AB，事件,A B相互独立，所以不一定B ，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A7.对于任意非零向量,a b c ，若,a b 在c上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（）A./abcB./abcC.abcD.abc【答案】D【解析】【分析】根据投影向量和投影的关系以及投影的计算方法直接求解即可.【详解】由题意得，a在c上的投影

18、为cos,a ca caa caacc ，同理，b在c上的投影为b cc，因为任意非零向量,a b 在c上的投影向量互为相反向量，所以,a b 在c上的投影互为相反数，第 5 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司所以0a cb ccc ，则0abc rrr，即abc.故选：D8.2023 年中央金融工作会议于 10 月 30 日至 31 日在北京举行，会议强调坚持把金融服务实体经济作为根本宗旨.现有某高新企业向金融机构申请到一笔 800 万元专项扶持贷款资金，该贷款资金分 12 期发放完毕，考虑到企业盈利状况将逐步改善，前 11 期放款金额逐期等额递减发放，每期递减 10 万元，第 12

19、 期资金不超过 10 万元一次性发放.假设每期放款金额均为以万元为单位的正整数，则第 1 期和第 12 期放款金额之和为（）A.128B.130C.132D.134【答案】B【解析】分析】首先设第一期发放x万元，再根据等差数列求前 11 项和，由题意得到不等式，即可求解.【详解】设第一期发放x万元，第二期发放10 x万元，第三期发放20 x 万元，依次类推，第 11 期发放100 x万元，前 11 期共发放1110011 2100115022xxxx万元，则0800 115010 x，解得：134013501111x，*Nx，所以122x，则第 12 期发放数为800 11 122508万元，

20、所以第 1 期和第 12 期共发放1228130万元.故选：B二多选题：本题共二多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分.9.已知角的终边过点3,4P，则（）A 7cos225 B.24tan27 C.2 5cos25D.1tan22【答案】ABD【解析】公众号：高中试卷君【.第 6 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【分析】根据三角函数定义求出cos、sin和ta

21、n，结合二倍角公式直接计算判断 A 和 B，通过角的范围可以判断角2的终边位于第一象限或第三象限，进而得到cos02或cos02进而判断 C，通过tan02并结合正切二倍角公式判断 D.【详解】因为角的终边过点3,4P，所以2233cos534，2244sin534，4tan3，所以297cos22cos1212525 ，2422tan243tan2161tan719，故 A 和 B 正确，因为2 2 Z2kkk，所以Z24kkk，即角2的终边位于第一象限或第三象限，所以tan02，但cos02或cos02均满足题意，故 C 错误，由224tan31tan2tan2，得2tan3tan2022

22、2，解得tan22（舍去）或1tan22，故 D 正确.故选：ABD10.在正方体1111ABCDABC D中，点E F分别是BD和1BC的中点，则（）A.EFBDB.EF与1AD所成角为60C.EF平面11BCDD.EF与平面ABCD所成角为45【答案】BD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间向量的数量积可判断空间位置关系，即可判断A；利用空间角的向量求法可判断 B；结合 A 的分析，采用反证法，可判断 C；确定平面ABCD的法向量，第 7 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司利用空间角的向量求法可判断 D.【详解】如图，以 D 为坐标原点，以1,DA DC D

23、D所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，则1(0,0,0),(2,2,0),(1,1,0),(1,2,1),(2,0,0),(0,0,2)DBEFAD，1(2,2,2,),(0 2,0BC故(0,1,1,),(2,2,0)EFDB ，则(0,1,1,)(2,2,0)20EF DB ，故,EF DB 不垂直，即,EF BD不垂直，A 错误；又1(2,0,2)AD ，故11121cos,2|2 22AD EFAD EFADEF ，由于异面直线所成角的范围为大于0小于等于90，故EF与1AD所成角为60，B 正确；由 A 的分析可知,EF BD不垂直，又1111,DDBB

24、DDBB,即四边形11DBB D为平行四边形，则11BDB D，故11,EF B D不垂直，若EF平面11BCD，11B D 平面11BCD，则11EFB D，这与11,EF B D不垂直矛盾，故EF和平面11BCD不垂直，C 错误；平面ABCD的法向量可取为(0,0,1)n，则12cos,2|12n EFn EFnEF ，而线面角范围为大于等于0小于等于90，第 8 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司故EF与平面ABCD所成角的正弦值为22，则EF与平面ABCD所成角为45，D 正确，故选：BD11.有一组样本数据0,1,2,3,4，添加一个数X形成一组新的数据，且5C0,1,2,3

25、,4,532kP Xkk，则新的样本数据（）A.极差不变的概率是3132B.第 25 百分位数不变的概率是316C.平均值变大的概率是12D.方差变大的概率是732【答案】ACD【解析】【分析】根据题意得到X取各个值的概率，结合极差、百分位数、平均数以及方差的概念与计算公式逐一判断即可.【详解】由题意得，05C103232P X，15C513232P X，25C1023232P X，35C1033232P X，45C543232P X，55C153232P X，对于 A，若极差不变，则0,1,2,3,4X，概率为311532P X，故 A 正确；对于 B，由于5 25%1.25,6 25%1.

26、5，所以原数据和新数据的第 25 百分位数均为第二个数，所以1,2,3,4,5X，第 25 百分位数不变的概率是311032P X，故 B 错误；对于 C，原样本平均值为0 123425 ，平均值变大，则3,4,5X，概率为105113232322，故 C 正确；对于 D，原样本的方差为2222212101225，显然，当2X 时，新数据方差变小，当0,4,5X 时，新数据方差变大，当1X 时，新数据的平均数为0 1 12341166 ，第 9 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司方差为222111111139001426666216，同理，当3X 时，新数据的方差为3902216，所以

27、方差变大的概率为704532P XP XP X，故 D 正确.故选：ACD12.已知 lnaf xxaxx有两个不同的极值点12,x x，则（）A.122xxB.1202xxfC.120f xf xD.12121 2f xf xaxx【答案】BCD【解析】【分析】求出函数的导数，由题意可知20axxa有 2 个正数根12,x x，从而可得根与系数的关系，结合判别式求得 a 的范围，即可判断 A；求出122xxf的表达式，构造函数，结合函数的单调性，即可判断 B；求出 12f xf x的表达式，结合根与系数的关系式，即可判断 C；将1212f xf xxx化简为1212lln2naxxxx，再结

28、合导数的几何意义判断1212lnln1xxxx，即可判断 D.【详解】由题意 ln,(0)af xxaxxx得 2221aaxxafxaxxx，由于 lnaf xxaxx有两个不同的极值点12,x x，即20axxa有 2 个正数根12,x x，则121xxa，121x x，故需满足21 401020aaa，解得102a，对于 A，1212xxa，A 错误；第 10 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司对于 B，12122xxa，故21211()222ln22xxffaaa，令221()22ln102,gaaaa，214140,)0(12aaagaaa，即21()22ln2g aaa 在

29、1(0,)2上单调递减，故1()0(2)gga，即1202xxf，B 正确；对于 C，12112212lnlnfxaaaxf xxxxaxx12121212()1ln(ln110)xxx xxxx xaaaa ，C 正确；对于 D，112212121212lnlnxxxxfxaaaxaxfxxxxx2112211212)(lnln(xxxxxxx xaxax12121212lnlnlln2naaaxxxxxxxx，1212lnlnxxxx可看作曲线lnyx上两点1122(,ln),(,ln)xxxx连线的斜率，由于1212xxa，121x x，故不妨设121,1xx，由于lnyx，1yx，则曲

30、线lnyx在1x 处的切线斜率为 1，由于121,1xx，故1122(,ln),(,ln)xxxx连线的斜率小于 1，即1212lnln1xxxx，所以1212lln1 22naaxxxx，即12121 2f xf xaxx，D 正确，第 11 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司故选：BCD【点睛】难点点睛：解答本题的难点时选项 D 的判断，解答时结合根与系数的关系将1212f xf xxx转化为1212lln2naxxxx，再结合导数的几何意义判断1212lnln1xxxx，即可判断该选项.三填空题：本题共三填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.

31、13.在(1)nax（其中*N,0na）的展开式中，x的系数为10，各项系数之和为1，则n _.【答案】5【解析】【分析】由题意可根据二项式展开式中 x 的系数以及各项系数之和，列出关于,a n的方程，即可求得答案.【详解】由题意得(1)nax的展开式中x的系数为1C10na，即10an ，令1x，得各项系数之和为1(1)na，则 n 为奇数，且11a，即得2,5an，故答案为：514.在正三棱台111ABCABC-中，112 3,3ABAB，其外接球半径为5，则该棱台的高可以为_.【答案】1（或填 3）【解析】【分析】求出正棱台上下底面的中心到顶点的距离，即可求得外接球球心到上下底面中心的距

32、离，考虑外接球球心在棱台内还是棱台外，即可求得答案.【详解】设1O为正三棱台111ABCABC-的上底面的中心，O 为下底面的中心，连接1OO，即为棱台的高，连接AO并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点，连接11AO并延长交11BC于1D，则1D为11BC的中点，11112232232 32,31332332AOADAOAD,设外接球球心为 E，则 E 点位于直线1OO上，第 12 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司则在RtAOE中，22541EOAEAO，在11RtAO E中，221115 12EOAEAO，故当外接球球心在正棱台内时，其高为113OOEOEO；当外接球球

33、心在正棱台外时，其高为111OOEOEO；故该棱台的高可以为 3 或 1，故答案为：1（或填 3）15.若,A B分别是曲线exy 与圆22(1)1xy上的点，则AB的最小值为_.【答案】21【解析】【分析】根据题意转化为求曲线上一点到圆心距离的最小值，找出取得最小值时候满足的条件，结合导数计算法则列式求解答案即可.【详解】设圆22(1)1xy圆心为M，如下图所示，由题意可知，AB取得最小值时，1AMrAM取得最小值，当AM垂直于曲线exy 在点A 处的切线时，AM最小，第 13 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司设11,exA x，则对exy 求导得exy，所以111e0e11xxx

34、，即121e10 xx，由于10 x 时满足上式，且2e1xyx在,单调递增，所以121e10 xx 有唯一解10 x，所以0,1A，此时min2AM，所以miminn121AMAB故答案：2116.已知ABC中，22ABBC，AB边上的高与AC边上的中线相等，则tanB _.【答案】3【解析】【分析】通过已知条件得到sinBFABC，通过平方关系对12BFBABC 进行转化解得1cos2ABC 即可得到答案.【详解】如下图所示，设AB边上的高为CE，AC边上的中线为BF，在Rt BCE中，sinsinCEBCABCABC，所以sinBFCEABC，由12BFBABC ，平方得22212cos

35、4BFBABA BCABCBC ，代入得，24 1 cos42 2 1 cos1ABCABC ，化简得，24cos4cos10ABCABC，解得1cos2ABC，又因为0ABC，所以23ABC，所以3tanABC .故答案为：3【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过平方将12BFBABC 转化为数量关系，结合图形关系得到sinBFABC代入求解即可.为第 14 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司四解答题：本题共四解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，直三棱柱111ABCABC-中，12,3

36、,4,30AAABACACB.过点11,A B C的平面和平面ABC的交线记作l.（1）证明：lBC；（2）求顶点1C到直线l的距离.【答案】17.答案见解析 18.2 2【解析】【分析】（1）由已知，可根据11/BCBC，利用线面平行的判定定理证明11/BC平面ABC，在使用线面平行的性质定理可证明11/BCl；（2）由已知，可作CEl交平面11ABC和平面ABC的交线l于E，利用线面垂直的判定和性质证明1C El，从而1C E即为点1C到直线l的距离，然后在利用勾股定理求解边长，即可求解.【小问 1 详解】证明：由题知11/BCBC，BC 平面ABC，11BC 平面ABC，所以11/BC平

37、面ABC，又因为平面11ABC 平面ABCl，11BC 平面11ABC，所以11/BCl.【小问 2 详解】第 15 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司作CEl交直线l于点E，连接1C E，因为111ABCABC是直三棱柱，所以1AA 平面ABC，l 平面ABC，所以1AAl，又因为CEl，且1CCCEE，1,CC CE 平面1C CE，所以l 平面1C CE，因为1C E 平面1C CE，所以1C El，所以1C E就是点1C到直线l的距离，作ADBC交BC于点D，因为/BCl，CEl，所以/CEAD，又因为/CDAE，所以四边形AECD是矩形，所以CEAD，在Rt ACD，30AC

38、B，4AC，所以2ADCE，在1Rt EC C，222211222 2C EC CCE，所以点1C到直线l的距离为2 2.18.高中进行体育与健康学业水平测试，有利于提升学生身体素质和健康水平，培养学生创新精神和实践能力.某学校对高三年级学生报名参加体育与健康学业水平测试项目的情况进行了普查，全年级 1070 名学生中有 280 名报名参加羽毛球项目，其中 530 名女生中有 64 名报名参加羽毛球项目.（1）从该校高三年级中任选一名学生，设事件A 表示“选到的学生是女生”，事件B表示“选到的学生报名参加羽毛球项目”，比较P B A和P B A的大小，并说明其意义；（2）某同学在该校的运动场上

39、随机调查了 50 名高三学生的报名情况，整理得到如下列联表：羽毛球性别报名没报名合计女12820男131730合计252550根据小概率值0.05的独立性检验，能否认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联？得到的结论与第（1）问结论一致吗？如果不一致，你认为原因可能是什么？附：22()n adbcabcdacbd0.0500.0100.001第 16 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司x3.8416.63510.828【答案】（1）32265P B A，25P B A，P B AP B A，意义见解析 （2）不能认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联，结论不一致，

40、原因见解析【解析】【分析】（1）运用条件概率公式，结合题意直接计算求解；（2）根据题意进行小概率值0.05的独立性检验，结合题意说明原因即可.【小问 1 详解】由题意得，5305406428064216,10701070107010701070P AP AP ABP AB，所以 6432530265P ABP B AP A，21625405P ABP B AP A，则P B AP B A，意义为女生想要报名参加羽毛球项目的人数比男生想要报名参加羽毛球项目的人数少【小问 2 详解】提出假设0:H该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况无关，则225017 12 13 841.3333.84120

41、 25 25 303，所以根据小概率值0.05的独立性检验，不能认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联，得到的结论与第（1）问结论不一致，可能原因是调查的 50 名高三学生样本容量小，结论具有随机性19.记nS为数列 na的前n项和，且满足1232nnnSSa.（1）试问数列nnSa是否为等比数列，并说明理由；（2）若12a，求 na的通项公式.【答案】（1）见解析 （2）12123 2nnna【解析】【分析】（1）首先将等式变形为112nnnnSaSa，再讨论0na 和0na 两种情况，判断数列否为等比数列；是第 17 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）的结

42、果可知，12nnnSa，再利用2n，1nnnSSa，得11122nnnaa，再利用构造法，即可求数列 na的通项公式.【小问 1 详解】由已知1232nnnSSa，得1132nnnnnSSaSa，整理为112nnnnSaSa，若0na，则0nS，0nnSa，此时数列nnSa不是等比数列，若0na，若0nnSa，则11120Saa，与0na 矛盾，所以0nnSa，则112nnnnSaSa，数列nnSa是公比为 2 的等比数列；综上可知，当0na，数列nnSa不是等比数列，当0na，数列nnSa是公比为 2 的等比数列；【小问 2 详解】若12a，数列nnSa的首项为11124Saa，所以114

43、22nnnnSa，当2n 时，112nnnSa，-得12nnnnaaa，即11122nnnaa，则111222nnnnaa，得211222nnnnaa，所以21222nnn，得23，所以1122132223nnnnaa，所以数列223nna是首项为14233a，公比为12的等比数列，所以12212332nnna，即12122323nnna，第 18 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司所以12123 2nnna20.已知椭圆2222:10 xyabab的离心率为32，直线:1l yk x与交于,A B两点，与x轴交于点C，O为坐标原点.（1）证明：22214kbk；（2）若2ACCB，求

44、AOB面积取得最大值时椭圆的方程.【答案】（1）证明见解析 （2）221554xy【解析】公众号：高中试卷君分 析】（1）根 据 椭 圆 离 心 率 得 到224ab，联 立 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程，根 据422222226416 411640kkkbk bkb 代入计算即可得证；（2）由题意得到122yy，进而得到2121212yyy y，通过直线方程和韦达定理代入求解得到2222944k bbk，再结合弦长公式和点到直线的距离求得三角形面积的表达式，根据基本不等式即可求解答案.【小问 1 详解】因为椭圆2222:10 xyabab的离心率22312cbaa，所以224ab，所以

45、椭圆2222:14xybb，联立2222141xybbyk x，得2222241840kxk xkb，因为直线:1l yk x与交于,A B两点，所以422222226416 411640kkkbk bkb ，【第 19 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司即22241kbk，则22214kbk得证【小问 2 详解】设1122,A x yB xy，由题意知1,0C 由（1）得，212222122841441kxxkkbx xk，因为2ACCB，所以11221,21,xyxy，所以122yy，所以2121212211122222yyyyy yyy ，所以2121212yyy y，因为312

46、122282224141kkyyk xxkkkk，2222222121222241 48111414141kbkbky ykxxkkkk，代入上式得，2222221 44124141kbkkk，化简得，2241418bk，即2222944k bbk，因为222121212114ABkxxkxxx x 22222222222222216846114141414141kbkk bbkkkkkkkk ，第 20 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司点O到直线0kxyk的距离21kdk，显然，若,A O B三点能构成三角形，则0k，所以AOB面积22211 613331224141142 4kk

47、SAB dkkkkkk，当且仅当14 kk，即214k 时等号成立，AOB面积取得最大值，此时，由2222944k bbk，得221944bb，解得254b ，则2245ab，所以AOB面积取得最大值时椭圆的方程为221554xy【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：（1）结合几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；（2）将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.21.记T为函数 sinf xx的最小正周期，其中0,0，且 302f，直线112xT为曲线 y

48、f x的对称轴.（1）求；（2）若 f x在区间,2上的值域为31,2，求 f x的解析式.【答案】（1）3 （2）sin3f xx【解析】【分析】（1）根据题意由 302f可得3sin2，再结合112xT为曲线 yf x的对称轴即可确定的值；第 21 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司（2）由题意确定区间,2的长度小于一个周期，即可确定02，分类讨论，讨论函数在何时取最值，结合正弦函数的性质，求出，经验证即可确定其值，从而求得答案.【小问 1 详解】由题意知T为函数 sinf xx的最小正周期，故2,2TT；由 302f得3sin2，而0，故3或23；又直线112xT为曲线 yf x

49、的对称轴，即Z1262Tkk，则3kkZ，结合0，可知3；【小问 2 详解】由（1）可知 sin3f xx，f x在区间,2上的值域为31,2，可知区间,2的长度小于一个周期，即2,02T，由,2x，得,2 333x，若()1f，则2 Z32kk，即52,Z6k k，则76，此时3 8,323x，函数最大值为 1，不符合题意；若(21)f，则2 2 Z32kk，即5,Z12k k，则712或1912，当712时，11 3,3122x，函数取不到最大值32，不符合题意，当1912 时，23 7,3122x，函数最大值为1，不符合题意；若3()2f，则2 33k或22,Z33k k，则2,Zk k

50、或12,Z3k k，则13，此时2,33x，函数取不到最小值1，不符合题意；第 22 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司若3(2)2f，则2 2 33k或22 2,Z33k k，则,Zk k或1,Z6k k，则1或76或16，当1时，4 7,333x，能满足题意，此时 sin3f xx；当16时，2,323x，函数最大值为 1，不符合题意，当76时，由上面分析可知不符合题意，综合以上可知 sin3f xx.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于的确定，解答时要根据 f x在区间,2上的值域为31,2，分类讨论，结合三角函数的最值求出参数的值，经验证可确定参数的取值.22.已知 2e1,e