专题07 指数运算与指数函数23种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)含解析.docx





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1、专题07 指数运算与指数函数23种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)专题07 指数运算与指数函数23种常见考法归类考点一 指数幂的运算考点二 条件求值考点三 利用指数函数概念求参考点四 求指数函数的解析式或值考点五 含指数函数的分段函数求值考点六 指数型函数的定义域问题考点七 指数型函数的值域问题考点八 指数型函数的恒过定点问题考点九 根据指数函数的图象判断底数大小考点十 指数型函数图像识别考点十一 根据指数函数图像求参数取值范围考点十二 指数函数图像的应用考点十三 判断指数型函数的单调性考点十四 指数型函数的单调区间
2、考点十五 比较指数幂的大小考点十六 解指数型不等式考点十七 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围考点十八 指数型函数的奇偶性问题考点十九 指数函数的最值问题考点二十 指数函数的恒成立和存在问题考点二十一 指数函数的实际应用考点二十二 指数型函数性质的综合应用考点二十三 指数函数解答题1、次方根概念一般地,如果,那么叫做的次方根,其中性质及表示是奇数正数的次方根是一个正数的次方根用符号表示负数的次方根是一个负数是偶数正数的次方根有两个,这两个数互为相反数正数的次方根用符号表示, 负数的次方根用符号表示。正的次方根与负次方根可以合并写成负数没有偶次方根0的任何次方根都是0,记作2、根式概念式子叫
3、做根式,这里叫做根指数,叫做被开方数性质当为奇数时,;当为奇数时,;3、分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定:(a0,m,nN*,且n1)负分数指数幂规定:(a0,m,nN*,且n1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质:arasars,(ar)sars,(ab)rarbr,其中a0,b0,r,sQ.4、指数函数的概念(1)定义:一般地,函数(且)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是指数函数的底数(2)注意事项:指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由:如果,当如果,如,当时,在实数范围内函数值不存在如果,是一个常量,对它
4、就没有研究的必要为了避免上述各种情况,所以规定且(3)指数函数的解析式必须具有三个特征:底数a为大于0且不等于1的常数;指数位置是自变量x;(3)ax的系数是1.(4)求指数函数的关键是求底数a,并注意a的限制条件.5、指数函数的图象与性质图象性质定义域值域过定点单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数6、指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax,(2)ybx,(3)ycx,(4)ydx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为cd1ab.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数yax(a0,且a1)的图象越高,底数越大7、指数型复合函数的定义域和值域对于ya
5、f(x)(a0,a1)这类函数,(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围;(2)求值域问题,有以下三种方法:由定义域求出uf(x)的值域;利用指数函数yau的单调性求得此函数的值域.求形如yAa2xBaxC类函数的值域一般用换元法,设axt(t0),再转化为二次函数求值域.8、函数图象的变换规律(1)平移变换:将函数yf(x)的图象向右平移m(m0)个单位长度得函数yf(xm)的图象(若m0)个单位长度,得到函数yf(x)n的图象(若n0,a1)的单调性(1)定义法,即“取值作差变形定号”.其中,在定号过程中需要用到指数函数的单调性;(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.10、处理
6、函数图象问题的策略(1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1)(2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)(3)利用函数的性质:奇偶性与单调性11、指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点12、比较指数幂的大小(1)底数同、指数不同:利用指数函数的单调性解决.(2)底数不同、指数同:利用幂函数的单调性解决.(3)底数不同、指数也不同:采用介值法.以其中一个的底为底,以另一个的指数为指数.比如ac与bd,可取ad,前者利用单调性,后者利用图象.13、简单指数不等式的解法(1)形如的不等式,可借助
7、的单调性求解;(2)形如的不等式,可将化为为底数的指数幂的形式,再借助的单调性求解;(3)形如的不等式,可借助两函数,的图象求解。14、指数型函数模型形如ykax(kR,且k0,a0且a1)的函数是一种指数型函数,这是一种非常有用的函数模型设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长,该量增长到y,则yN(1p)x(xN)15、指数函数在实际问题中的应用(1)与实际生活有关的问题,求解时应准确读懂题意,从实际问题中提取出模型转化为数学问题.(2)在实际问题中,经常会遇到指数增长模型:设基数为N,平均增长率为p,则对于经过时间x后的总量y可以用yN(1p)x来表示,这是非常有用的函数模型.16、
8、解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.(3)由于指数函数单调性与底数有关,因此要注意是否需要讨论.考点一 指数幂的运算1(2023上甘肃酒泉高一统考期末)已知,则化为()ABCmD12(2023上重庆沙坪坝高一重庆市凤鸣山中学校考期中)计算: 3(2023上高一课时练习)计算: .考点二 条件求值4(2023上陕西宝鸡高一统考期末)已知,则的值是()A47B45C50D355(2023上吉林延边高一统考期末)已知,求下列各式的值:(1);(2).6【多选】(2023上福
9、建厦门高一厦门双十中学校考期中)已知,则下列结论正确的是()ABCD考点三 利用指数函数概念求参7(2023上吉林长春高一长春外国语学校校考期末)若函数是指数函数,则等于()A或BCD8(2023上河南南阳高一校考期末)已知 且,函数是指数函数,且(1)求和的值;(2)求的解集9(2023上全国高一期末)已知指数函数的图象过点(1)求的值;(2)求关于的不等式的解集考点四 求指数函数的解析式或值10(2023下贵州黔东南高一校考期末)已知指数函数的图像经过点,则 11(2023上宁夏中卫高一中卫中学校考期末)已知函数为常数,且的图像过点(1)求函数的解析式;(2)求不等式的解集12(2023下
10、云南昆明高一统考期末)已知函数,若,(1)求,的解析式;(2)若,试比较m,n的大小考点五 含指数函数的分段函数求值13(2023上上海普陀高一校考期末)设函数,则 14(2023上河北邯郸高一校考期末)已知函数,则的值为 15(2023下四川成都高二四川省成都市新都一中校联考期末)已知函数,则()A4B8C16D3216(2023下浙江台州高二校联考期末)设函数,若,则 .考点六 指数型函数的定义域问题17(2023上浙江杭州高一浙江大学附属中学校考期末)下列函数中,定义域为的是()ABCD18(2023上江苏淮安高一统考期末)函数的定义域为 19(2023上北京高二清华附中校考期末)函数的
11、定义域是 20(2023上北京丰台高三统考期末)函数的定义域是 考点七 指数型函数的值域问题21(2023上上海闵行高一校考期末)下列函数中,值域为的函数是()ABCD22(2023上辽宁丹东高一统考期末)函数的值域为()ABCD23(2023上辽宁高一大连二十四中校联考期末)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为:,表示不超过的最大整数,如,已知,则函数的值域为()ABCD24(2023上全国高一期末)已知,则的最小值为 .25(2023上浙江杭州高一浙江大学附属中学校考期末)已知函数,则函数的
12、值域为 26(2023下重庆高三重庆市长寿中学校校考期末)已知函数若的值域为,则实数的取值范围是()ABCD考点八 指数型函数的恒过定点问题27(2023上安徽宿州高一校联考期末)函数(,且)的图象过定点A,则点A的坐标是 28(2023下江西南昌高二南昌二中校考期末)已知函数(,)恒过定点,则函数的图像不经过第 象限.29(2023上四川眉山高一仁寿一中校考期末)对任意且,函数的图象都过定点,且在角的终边上,则 30(2023上河北石家庄高一石家庄二中校考期末)对任意实数且,函数的图象经过定点P,且点P在角的终边上,则 .31(2023上吉林松原高一松原市实验高级中学校考期末)函数且的图象恒
13、过定点,点又在幂函数的图象上,则的值为 .考点九 根据指数函数的图象判断底数大小32(2023上高一课时练习)指数函数与的图象如图所示,则() ABCD33(2023湖北高二统考学业考试)设,都是不等于1的正数,函数在同一直角坐标系中的图象如图所示,则,的大小关系是()ABCD34(2023高一课时练习)函数;的图象如图所示,a,b,c,d分别是下列四个数:,中的一个,则a,b,c,d的值分别是()A,B,C,D,考点十 指数型函数图像识别35(2023上福建漳州高一福建省漳州第一中学校考期中)函数的图象是()ABCD36(2023下江西赣州高二统考期末)函数的图象大致是()ABCD37(20
14、23下贵州安顺高二统考期末)函数的部分图象可能为()ABCD38(2023上天津滨海新高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末)函数在上的大致图象为()ABCD39(2023上广西南宁高一南宁三中校考期中)函数与的图象大致是()ABCD40(2023上山东济南高一统考阶段练习)在同一直角坐标系中,函数,的部分图象可能是()ABCD考点十一 根据指数函数图像求参数取值范围41(2023上福建泉州高一校考阶段练习)已知函数的图象不过第二象限,则实数的取值范围是 .42(2023上山东淄博高一山东省淄博第六中学校考期末)若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为 .43【多选】(2023上河北邯郸高一
15、校联考期中)若函数且的图象过第一、三、四象限,则()ABCD44(2005福建高考真题)函数的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()ABCD45【多选】(2023上江西高一上饶市第一中学校联考期中)已知函数(且)的大致图象如下所示,则()ABCD考点十二 指数函数图像的应用46(2023上江苏南京高一期末)已知函数,若方程有且仅有个实数根,则实数的取值范围是 .47(2023上全国高三期末)已知函数,若函数有6个零点,则实数的取值范围为 .48(2024上全国高三期末)已知函数,且,则( )A,B,CD49(2023上山东菏泽高一山东省东明县第一中学校考期末)若,分别是方程,的
16、根,则()A2023B2023CD考点十三 判断指数型函数的单调性50(2023上山东菏泽高一山东省郓城第一中学校考期末)下列函数在定义域上是减函数的是()ABCD51(2023上江苏盐城高一校联考期末)下列函数既是偶函数且又在上是单调递减函数的是()ABCD52(2023上内蒙古呼和浩特高一铁路一中校考期末)已知函数,则()A是奇函数,且在R上是增函数B是偶函数,且在上是增函数C是奇函数,且在R上是减函数D是偶函数,且在上是减函数考点十四 指数型函数的单调区间53(2023上福建莆田高一校考期末)已知函数,则单调递增区间为 54(2023下宁夏石嘴山高二平罗中学校考期末)函数的单调递增区间为
17、()ABCD55(2023上广东高一统考期末)函数的单调递增区间为 .56(2023上浙江高一期末)函数的单调减区间是 考点十五 比较指数幂的大小57(2023上北京高一北京市十一学校校考期末)设,则大小关系是 .58(2023下北京高二北京八中校考期末)已知,则a,b,c按从小到大排列为 59(2023下山东日照高二校联考期末)是圆周率,是自然对数的底数,在,八个数中,最小的数是 ,最大的数是 .60(2023上云南临沧高一校考期末)已知定义在上的函数,记,则a,b,c的大小关系是()ABCD61(2023上山东菏泽高一校联考期末)已知定义在上的函数为奇函数,且对任意正实数都有,若实数满足,
18、则的大小关系为 .考点十六 解指数型不等式62(2024上河北保定高三河北省唐县第一中学校考期末)已知集合,则()ABCD63(2023上新疆昌吉高一校考期末)若,则的取值范围是()ABCD64(2023上河南高一校联考期末)已知,则关于的不等式的解集为()ABCD65(2023上吉林辽源高三校联考期末)已知函数,若,则实数a的取值范围是()ABCD考点十七 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围66(2023上安徽高一统考期末)若函数在区间上为增函数,则实数的取值范围为 .67(2023上山西吕梁高一统考期末)已知函数在区间(-1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是 68(2023上上海虹
19、口高一统考期末)已知函数 (为常数),若在区间上是增函数,则的取值范围是 69(2023上四川成都高一校联考期末)若函数是定义在上的增函数,则实数的取值范围为()ABCD考点十八 指数型函数的奇偶性问题70(2023全国高一期末)已知定义在R上的奇函数,当时,则 71(2023高一课时练习)已知函数是奇函数,则 72(2023下河北衡水高二河北武强中学校考期末)已知函数是偶函数,则 .73(2023上辽宁大连高一期末)若函数为偶函数,则b的值为()A-1BC0D74(2023上浙江绍兴高一统考期末)若分别为定义在上的奇函数和偶函数,且,则()A1B2CD75(2023上广东茂名高一统考期末)若
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