题型06 5类函数选填压轴题解题技巧（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建含答案.pdf

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1、更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 06 5 类函数选填压轴题解题技巧类函数选填压轴题解题技巧（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）技法技法 01 函数对称性的应用及解题技巧函数对称性的应用及解题技巧例 1（全国高考真题）设函数()yf x的图像与2x ay的图像关于直线yx对称，且(2)(4)1ff，则aA1B1C2D4反解()f x的解析式，可得2y ax ，即2logyax，因为(2)(4)1ff，所以22log 2log 41aa，解得解得2a，故选 C技法 01 函数对称性的应用及解题技

2、巧技法 02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧技法 03 整数解的应用及解题技巧技法 04 零点的应用及解题技巧技法 05 切线与公切线的应用及解题技巧本题型通常由对称性考查参数值及解析式的求解，灵活运用对称性反解函数是解题的关键，常以小题形式考查.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型06 5类函数选填压轴题解题技巧（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君1（2023河南校联考模拟预测）已知函数 yf x的图象与2logyxa的图象关于直线yx对称，且满足 122ff，则

3、a（）A4B2C1D12（2023全国高三专题练习）若函数(1)yf x的图象与函数ln1yx的图象关于直线yx对称，则()f x（）A22exB2exC21exD22ex3（2023 上黑龙江哈尔滨高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数exy 和lnyx的图象与直线2yx交点的横坐标分别a，b，则ab（）A1B2C3D44（2023全国高三专题练习）若1x满足25xx，2x满足2log5xx，则12xx等于（）A2B3C4D5技法技法 02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧例 2（全国高考真题）设函数 211ln 1f xxx=,则使 21f xfx

4、成立的x的取值范围是A1,13 B1,1,3 C1 1,3 3 D11,33【特值法】当1x时，11ff不成立，排除 D，当0 x时，则判断 10 ff是否成立，计算 10f，19.0212ln1f，不成立，故排除 B、C,在已知函数解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小题要学会特值法的使用来快速求解更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【答案】A1（全国高考真题）设函数 2010 xxf xx，则满足12f xfx的 x 的取值范围是A1，B0，C1 0，D0，2（2023重庆沙坪坝重庆南开中学校考模拟预测）已知函数 13,0,2

5、2332,22xxf xfxx，则 2logf xx的解集是（）A1,12 B1,2 C1,22 D1,11,223（2024山东淄博山东省淄博实验中学校联考模拟预测）已知函数 131log332xf xx，若121f afa成立，则实数 a 的取值范围为（）A,2 B,20,C42,3 D4,2,3 技法技法 03 整数解的应用及解题技巧整数解的应用及解题技巧例 3（2024全国模拟预测）已知关于 x 的不等式430ln xkxkx恰有一个整数解，则实数 k 的取值范围为（）在整数解问题中，通常我们用猜根法比较快，先找到临界条件得到端点值，再利用整数解区间为一开一闭，能做到快速求解.更多全科

6、试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君Aln3 1,54 8Bln3 1,27 8Cln2,8Dln3 ln2,548【猜根法，寻找临界条件】由题知整数解不可能为 1，若整数解为 2，则整数解 3 不可取，代入有82ln08162lnkkk，543ln027813lnkkk，根据整数解问题区间为一开一闭，则选 D.1（2023四川内江统考三模）若关于 x 的不等式31ln0axax有且只有一个整数解，则正实数 a 的取值范围是（）A1,2ln2 12B1,3ln3 12C2ln2 1,3ln3 1D1ln2,3ln3 1)22（2023全国模拟预测）已知

7、函数 32ln xf xa xx，若不等式 0f x 有 3 个整数解，则实数 a 的取值范围为（）Aln5 ln2,10024Bln5 ln2,12532Cln3 ln2,184Dln3 ln2,2783（2023全国高三专题练习）已知函数21()ln12f xxx，若()0f xkx恰有 3 个正整数解，则k的取值范围为（）Aln27 ln37,2436Bln27 ln37,2436Cln27 ln37,2436Dln27 ln37,24364（2022黑龙江哈尔滨哈九中校考二模）偶函数 f x满足44fxfx，当0,4x时，ln xf xx，不等式 20fxaf x在200,200上有且

8、只有 100 个整数解，则实数 a 的取值范围是（）更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君A11ln3,ln232B11ln3,ln232C11ln3,ln232D11ln3,ln232技法技法 04 零点的应用及解题技巧零点的应用及解题技巧例 4-1（全国高考真题）已知函数211()2()xxf xxxa ee 有唯一零点，则aA12B13C12D1通过观察发现22xx关于1x 对称，11xxee 也关于1x 对称，则唯一零点为 1，解得解得12a.故选：C.例 4-2（2023山东济南统考三模）已知函数 2(1),0,lg,0,xxf xxx

9、若函数 g xf xb有四个不同的零点，则实数b的取值范围为（）A0,1B0,1C0,1D1,零点问题是高考中常考内容，解决唯一零点问题在于观察发现零点的具体值，多个零点数形结合能做到快速求解.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【详解】依题意，函数 g xf xb有四个不同的零点，即 f xb有四个解，转化为函数 yf x与yb图象由四个交点，由函数函数 yf x可知，当,1x 时，函数为单调递减函数，0,y；当1,0 x 时，函数为单调递增函数，0,1y；当0,1x时，函数为单调递减函数，0,y；当1,x时，函数为单调递增函数，0,y；结合

10、图象，可知实数b的取值范围为0,1.故选：A1（2023贵州毕节校考模拟预测）若函数 2244 24eexxfxxxa有唯一零点，则实数a（）A2B12C4D12（2023安徽蚌埠统考模拟预测）已知函数 2ln 1lnf xxxax有唯一零点，则a（）A0B12C1D23（2022 上云南曲靖高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数 1122222xxf xmxx 有唯一零点，则m的值为（）A12B13C12D184（2023湖南岳阳统考二模）若函数 22ln2e2 lnxxf xa xax有两个不同的零点，则实数a的取值范围更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号

11、：高中试卷君是（）A,e B,e Ce,0De,05（全国高考真题）已知函数e0()ln0 xxf xxx，()()g xf xxa若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）6（2023贵州贵阳校联考三模）已知函数 22cos,24,xaxaf xxaxaxa，其中Ra，若 f x在区间0,内恰好有 4 个零点，则 a 的取值范围是（）A3 5,2 2B3 5,2 2C5 7,2 2D5 7,2 2技法技法 05 切线与公切线的应用及解题技巧切线与公切线的应用及解题技巧例 5-1（2021全国统考高考真题）若过点,a b可以作曲线exy 的两条切

12、线，则（）AebaBeabC0ebaD0eab画出函数曲线xye的图象如图所示，根据直观即可判定点,a b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.对于切线及公切线问题，熟练掌握导数的几何意义及其应用，能做到基本题型求解，熟练解方程也有助于快速解题.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 故选：D.例 5-2（全国高考真题）若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b 对函数ln2yx求导得1yx，对ln(1)yx求导得11yx，设直线ykxb与曲线ln2yx相切于点111(,)P x y，与曲线ln

13、(1)yx相切于点222(,)P xy，则1122ln2,ln(1)yxyx，由点111(,)P x y在切线上得1111ln2()yxxxx，由点222(,)P xy在切线上得2221ln(1)()1yxxxx，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln2 11 ln22xkbxx .1（2023全国高三专题练习）若两曲线21yx与ln1yax存在公切线，则正实数a的取值范围是 2（2024全国高三专题练习）若曲线2()32f xx与曲线()2ln(0)g xmx m 存在公切线，则实数m的最小值为（）A6eB3eC2 eD6e3（2024 上河北保定高三河北阜平中学校联考期末

14、）若曲线ln1yx与曲线23yxxa有公切线，则实数 a 的取值范围（）更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君题型题型 06 5 类函数选填压轴题解题技巧类函数选填压轴题解题技巧（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）技法技法 01 函数对称性的应用及解题技巧函数对称性的应用及解题技巧例 1（全国高考真题）设函数()yf x的图像与2x ay的图像关于直线yx对称，且(2)(4)1ff，则aA1B1C2D4反解()f x的解析式，可得2y ax ，即2logyax

15、，因为(2)(4)1ff，所以22log 2log 41aa，解得解得2a，故选 C技法 01 函数对称性的应用及解题技巧技法 02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧技法 03 整数解的应用及解题技巧技法 04 零点的应用及解题技巧技法 05 切线与公切线的应用及解题技巧本题型通常由对称性考查参数值及解析式的求解，灵活运用对称性反解函数是解题的关键，常以小题形式考查.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君1（2023河南校联考模拟预测）已知函数 yf x的图象与2logyxa的图象关于直线yx对称，且满足 122ff，则a（）A4B2C1D

16、1【答案】B【分析】根据图象的对称性得点 1,1f，2,2f在函数2logyxa的图象上，列方程组求解即可得解.【详解】函数 yf x的图象与2logyxa的图象关于直线yx对称，所以点 1,1f，2,2f在函数2logyxa的图象上，所以22log(1)1log(2)2fafa，所以(1)2(2)4fafa，所以(1)(2)26ffa，又 122ff，所以226a，所以2a.故选：B2（2023全国高三专题练习）若函数(1)yf x的图象与函数ln1yx的图象关于直线yx对称，则()f x（）A22exB2exC21exD22ex【答案】B【详解】函数()yf x的图象与函数ln1yx的图象

17、关于直线yx对称，由ln1yx得1eyx，22eyx，把,x y互换得：22exy，即(1)f x22ex，因为(1)f x222(1)eexx，所以()f x 2ex故选：B3（2023 上黑龙江哈尔滨高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数exy 和lnyx的图象与直线2yx交点的横坐标分别a，b，则ab（）A1B2C3D4【答案】B更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君【分析】作出函数exy 和lnyx的图象以及直线2yx的图象，利用反函数的性质即可判断【详解】作出函数exy 和lnyx的图象以及直线2yx的图象，如图，由函数exy 和lnyx

18、的图象与直线2yx交点,A B的横坐标分别为a，b，由题意知,e,(,ln)aA aB bb，也即(,2),(,2)A aa B bb,由于函数exy 和lnyx互为反函数，二者图像关于直线yx对称，而,A B为exy 和lnyx的图象与直线2yx的交点,故,A B关于yx对称，故2,2abab.故选：B.4（2023全国高三专题练习）若1x满足25xx，2x满足2log5xx，则12xx等于（）A2B3C4D5【答案】D【分析】将所给式化简可得1152xx，2225logxx，进而1x和2x是直线5yx和曲线2xy、曲线2logyx交点的横坐标.再根据反函数的性质求解即可【详解】由题意115

19、2xx，故有2225logxx故1x和2x是直线5yx和曲线2xy、曲线2logyx交点的横坐标.根据函数2xy 和函数2logyx互为反函数，它们的图象关于直线yx对称，故曲线2xy 和曲线2logyx的图象交点关于直线yx对称.即点（x1，5x1）和点（x2，5x2）构成的线段的中点在直线 y=x 上，即12125522xxxx，求得 x1+x2=5，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君故选：D.技法技法 02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧例 2（全国高考真题）设函数 211ln 1f xxx

20、=,则使 21f xfx成立的x的取值范围是A1,13B1,1,3C1 1,3 3D11,33【特值法】当1x时，11ff不成立，排除 D，当0 x时，则判断 10 ff是否成立，计算 10f，19.0212ln1f，不成立，故排除 B、C,【答案】A1（全国高考真题）设函数 2010 xxf xx，则满足12f xfx的 x 的取值范围是A1，B0，C1 0，D0，【答案】D【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有12f xfx在已知函数解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小题要学会特值法的使用来快速求解更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众

21、号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君成立，一定会有2021xxx，从而求得结果.详解：将函数 f x的图像画出来，观察图像可知会有2021xxx，解得0 x，所以满足12f xfx的x 的取值范围是0，故选 D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.【详解】2（2023重庆沙坪坝重庆南开中学校考模拟预测）已知函数 13,0,22

22、332,22xxf xfxx，则 2logf xx的解集是（）A1,12B1,2C1,22D1,11,22【答案】C【分析】根据函数 13,0,22332,22xxf xfxx解析式，作出函数图象，继而作出2logyx的图象，数形结合，求得不等式的解集.【详解】根据题意当3,32x时,31)22(32f xxx，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君当93,2x时,23)(32)52(f xfxxf x,作出函数 13,0,22332,22xxf xfxx的图象如图，在同一坐标系中作出函数2logyx的图象，由图象可得不等式 2logf xx解集

23、为1,22，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.3（2024山东淄博山东省淄博实验中学校联考模拟预测）已知函数 131log332xf xx，若121f afa成立，则实数 a 的取值范围为（）A,2 B,20,C42,3D4,2,3【答案】C【分析】构造函数 31log312xg xx，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在0,单调递增，进而 f x关于直线2x 对称，且在2,单调递增，结合条件可得1 221 2aa ，解不等式即得.【详解】因为 22331log31log332xxxg xx的定义域为 R，又 223l

24、og33xxgxg x，故函数 g x为偶函数，又0,x时，231x，23xy 单调递增，故由复合函数单调性可得函数2233xxy在0,单调递增，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君函数3logyx在定义域上单调递增，所以 g x在0,单调递增，所以 123311log331 log3122xxf xxx 231log31222xxg x，所以 f x关于直线2x 对称，且在2,单调递增所以1211 221 2f afaaa ，两边平方，化简得2340aa，解得423a 故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数 31log312xg x

25、x，然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而即得.技法技法 03 整数解的应用及解题技巧整数解的应用及解题技巧例 3（2024全国模拟预测）已知关于 x 的不等式430ln xkxkx恰有一个整数解，则实数 k 的取值范围为（）Aln3 1,54 8Bln3 1,27 8Cln2,8Dln3 ln2,548【猜根法，寻找临界条件】由题知整数解不可能为 1，在整数解问题中，通常我们用猜根法比较快，先找到临界条件得到端点值，再利用整数解区间为一开一闭，能做到快速求解.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君若整数解为 2，则整数解 3 不可取，代入有

26、82ln08162lnkkk，543ln027813lnkkk，根据整数解问题区间为一开一闭，则选 D.1（2023四川内江统考三模）若关于 x 的不等式31ln0axax有且只有一个整数解，则正实数 a 的取值范围是（）A1,2ln2 12B1,3ln3 12C2ln2 1,3ln3 1D1ln2,3ln3 1)2【答案】A【分析】原不等式可化简为ln13xxaax，设()ln1f xxx，()3g xaax，作出函数()f x的图象，由图象可知函数()g x的图象应介于直线AC与直线BC之间（可以为直线)BC，进而求得答案【详解】原不等式可化简为ln13xxaax，设()ln1f xxx，

27、()3g xaax，由()ln1f xxx得，()ln1fxx，令()0fx可得1ex，10,xe 时，()0fx，1,ex时，()0fx，易知函数()f x在10,e单调递减，在1,e单调递增，且11()1eef，作出()f x的图象如下图所示，而函数()3g xaax恒过点3,0C，要使关于x的不等式31ln0axax有且只有一个整数解，则函数()g x的图象应介于直线AC与直线BC之间（可以为直线BC），又1,1A，2,2ln2 1B，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君0 113 12ACk，0(2ln2 1)2ln2 132BCk，1

28、2ln2 12a ，12ln2 12a故选：A2（2023全国模拟预测）已知函数 32ln xf xa xx，若不等式 0f x 有 3 个整数解，则实数 a 的取值范围为（）Aln5 ln2,10024Bln5 ln2,12532Cln3 ln2,184Dln3 ln2,278【答案】A【分析】根据题意将不等式等价转化为2ln()1xg xa xx有 3 个整数解 利用导数研究函数的性质并画出草图，结合图形列出关于 a 的不等式组，解之即可.【详解】函数 f x的定义域为0,由 0f x，得2ln1xa xx，则不等式2ln1xa xx有 3 个整数解设 2ln xg xx，则 31 2ln

29、 xgxx，当0,ex时，0gx，g x单调递增，当e,x时，0gx，g x单调递减，又 10g，所以当01x时，0g x，当1x 时，0g x，易知10ya xx的图象恒过点1,0，在同一直角坐标系中，分别作出10ya xx与函数 g x的图象，如图所示由图象可知0a，要使不等式2ln1xa xx有 3 个整数解，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君则 4 145 15agag，解得ln5ln210024a，故选：A3（2023全国高三专题练习）已知函数21()ln12f xxx，若()0f xkx恰有 3 个正整数解，则k的取值范围为（）A

30、ln27 ln37,2436Bln27 ln37,2436Cln27 ln37,2436Dln27 ln37,2436【答案】A【分析】不等式有解问题转化为相应两个函数图象交点问题，根据数形结合思想，通过运算进行求解即可.【详解】解：由题意，()0f xkx恰有 3 个正整数解，转换为lnyx的图象与2112yxkx 的图象交点问题，作出lnyx和2112yxkx 的图象，如图：要使21ln12xxkx 恰有 3 个正整数解，则需满足：9ln31 3k2ln474k，解得：ln27ln372436k，故选：A【点睛】方法点睛：不等式解和方程根的问题往往转化为函数图象交点问题，利用数形结合思想进

31、行求解.4（2022黑龙江哈尔滨哈九中校考二模）偶函数 f x满足44fxfx，当0,4x时，ln xf xx，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君不等式 20fxaf x在200,200上有且只有 100 个整数解，则实数 a 的取值范围是（）A11ln3,ln232B11ln3,ln232C11ln3,ln232D11ln3,ln232【答案】C【分析】由题意得到 f x是周期函数，且周期为8，且 f x关于4x 对称，转化为不等式 20fxaf x在(0,4上有且只有 1 个整数解，根据a，f x为增函数，当,4xe时，0fx，f x为减

32、函数，因为当0 x 时，f x ，且 10f，ln2242ff，ln3ln434034ff，所以当(2,3,4)xk时，可得 0f x，当0a 时，20fxaf x在(0,4上有且只有 3 个整数解，不合题意；所以a，此时函数 f x单调递增，20000minln 1lnf xf xxxax，由于函数 2ln 1lnf xxxax有唯一零点，则 20000minln 1ln0f xf xxxax，由0000112011xaxxx，解得03112x，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君所以，2220000000200002111ln 1lnln

33、1ln2ln0111xxxxxxxaxxxx，令 2212ln11xxxxx，其中3112x，24323222122224824221 22221122111xxxxxxxxxxxxxxxxxx 2222412 22211xxxxxx，3112x，则22210 xx，10 x，220 x，则 0 x，所以，函数 x在311,2上单调递减，且 00，00 x，从而可得11a，解得1a.故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作

34、用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由 0f x 分离变量得出 ag x，将问题等价转化为直线ya与函数 yg x的图象的交点问题.3（2022 上云南曲靖高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数 1122222xxf xmxx 有唯一零点，则m的值为（）A12B13C12D18【答案】D【分析】将函数变形，换元后得到24122tttm，研究得到 21422ttth t为偶函数，由()f x有唯一零点，得到函数()h t的图象与=y m有唯一交点，结合()h t为偶函数，可得此交点的横坐标为 0，代

35、入后求出更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 108mh.【详解】()f x有零点，则211222112224xxmxxx ，令12tx，则上式可化为21224ttmt，因为220tt恒成立，所以24122tttm，令 21422ttth t，则 2211222244tttttthth t，故()h t为偶函数，因为()f x有唯一零点，所以函数()h t的图象与=y m有唯一交点，结合()h t为偶函数，可得此交点的横坐标为 0，故 001102842mh.故选：D4（2023湖南岳阳统考二模）若函数 22ln2e2 lnxxf xa xax

36、有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A,e B,e Ce,0De,0【答案】A【分析】将问题转化为函数ya 与22ln2e2lnxxyxx图象有两个不同的交点，根据换元法将函数22ln2e2lnxxyxx转化为 etg tt，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.【详解】函数()f x的定义域为(0,)，222ln22ln2e2 lne2lnxxxxf xaxaxa xx，设2()2ln(0)h xxx x，则22(1)(1)()2xxh xxxx，令()01h xx，令()001h xx，所以函数()h x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，且(1)

37、1h，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君所以min()(1)1h xh，所以()1h x，函数()f x有两个不同的零点等价于方程()0f x 有两个不同的解，则222ln2ln22ee2ln02lnxxxxa xxaxx ，等价于函数ya 与22ln2e2lnxxyxx图象有两个不同的交点.令22lnxxt，1e,tg ttt，则函数ya 与 1e,tg ttt图象有一个交点，则 22e1ee0tttttg ttt，所以函数()g t在(1,)上单调递增，所以 1eg tg，且t趋向于正无穷时，etg tt趋向于正无穷，所以ea，解得ea

38、.故选：A.【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.5（全国高考真题）已知函数e0()ln0 xxf xxx，()()g xf xxa若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）【答案】C【详解】分析：首先根据 g（x）存在 2 个零点，得到方程

39、()0f xxa有两个解，将其转化为()f xxa 有两个解，即直线yxa 与曲线()yf x有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x的图像（将(0)xex 去掉），再画出直线yx，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a 时，满足yxa 与曲线()yf x有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x的图像，xye在 y 轴右侧的去掉，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君再画出直线yx，之后上下移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程()f

40、 xxa 有两个解，也就是函数()g x有两个零点，此时满足1a，即1a ，故选 C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.6（2023贵州贵阳校联考三模）已知函数 22cos,24,xaxaf xxaxaxa，其中Ra，若 f x在区间0,内恰好有 4 个零点，则 a 的取值范围是（）A3 5,2 2B3 5,2 2C5 7,2 2D5 7,2 2【答案】C【分析】根据参数

41、a的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与性质，结合端点满足的条件，即可求解.【详解】由函数 22cos,24,xaxaf xxaxaxa，其中Ra，当0a 时，对任意0 x，函数2()()4f xxa在(0,)内最多有 1 个零点，不符题意，所以0a，当xa时，2()()4f xxa，由2()40 xa，可得2xa或2xa，则在xa上，2()()4f xxa有一个零点，所以()cos()f xxa在(0,)a内有 3 个零点，即cos()0 xa在(0,)a内有 3 个零点，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君因为0 x

42、a，所以0axa，()0axa，所以2752a-，解得5722a，综上所述，实数a的取值范围为5 7,2 2.故选：C.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.技法技法 05 切线与公切线的应用及解题技巧切线与公切线的应用及解题技巧例 5-1（2021全国统考高考真题）若过点,a b可以作曲线exy 的两条

43、切线，则（）AebaBeabC0ebaD0eab画出函数曲线xye的图象如图所示，根据直观即可判定点,a b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.对于切线及公切线问题，熟练掌握导数的几何意义及其应用，能做到基本题型求解，熟练解方程也有助于快速解题.更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 故选：D.例 5-2（全国高考真题）若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b 对函数ln2yx求导得1yx，对ln(1)yx求导得11yx，设直线ykxb与曲线ln2yx相切于点111(,)P x y，与曲线l

44、n(1)yx相切于点222(,)P xy，则1122ln2,ln(1)yxyx，由点111(,)P x y在切线上得1111ln2()yxxxx，由点222(,)P xy在切线上得2221ln(1)()1yxxxx，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln2 11 ln22xkbxx .1（2023全国高三专题练习）若两曲线21yx与ln1yax存在公切线，则正实数a的取值范围是 【答案】(0,2e【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义推出公共切线斜率为2antmsms，结合切点坐标满足函数解析式，可得2244lnasss，构造函数22()44lnh ssss，利用导数求得

45、其最大值，即可求得答案.【详解】由题可知，()2fxx，(),(0)ag xxx，设与曲线2()1f xx相切的切点为(,)m n，与()ln1g xax相切的切点为(,)(0)s t s，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君则有公共切线斜率为2antmsms，则222ntmms，2ams，又ln1tas，21nm，可得22ln22ntmasmms，即有22lnmmsas，即2222lnln4ammsasaass，可得2244lnasss，0s，设22()44lnh ssss，0s，()84(2 ln)48 ln4(1 2ln)h ssssss

46、ssss，可得0es时，()0h s，()h s在(0,e)上单调递增，当es 时，()0h s，()h s在(e,)上单调递减，(e)0h,可得es 处()h s取得极大值，且为最大值2e，则正实数 a 的取值范围(0,2e，故答案为：(0,2e2（2024全国高三专题练习）若曲线2()32f xx与曲线()2ln(0)g xmx m 存在公切线，则实数m的最小值为（）A6eB3eC2 eD6e【答案】A【分析】求出函数的导函数，设公切线与 f x切于点211,32xx，与曲线 g x切于点22,2lnxmx，20 x，即可得到126mx x，则10 x 或122222lnxxxx，从而得到

47、2222212ln12mxxx，在令 2212ln12h xxxx，0 x，利用导数求出函数的最小值，即可得解；【详解】因为2()32f xx，()2ln(0)g xmx m ，所以()6fxx，()mg xx，设公切线与 f x切于点211,32xx，与曲线 g x切于点22,2lnxmx，20 x，所以2221112211223262lnl3nmxxmxxmxxxxxx ，所以126mx x，所以22112112366ln xxxxxx x，所以10 x 或122222lnxxxx，因为0m，所以10 x，所以122222lnxxxx，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全

48、科试卷，请关注公众号：高中试卷君所以2222222226 22ln12ln12mxxxxxxx，令 2212ln12h xxxx，0 x，则 122ln1h xxx，所以当0ex时 0h x，当ex 时 0h x，所以 h x在0,e上单调递减，在e,上单调递增，所以 mine6eh xh，所以实数m的最小值为6e.故选：A【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.3（2024 上河北保定高三河北阜平中学校联考期末）若曲线ln1yx与曲线23yxxa有公切线，则实数 a 的取值范围（）A2ln23 3ln

49、2,62B14ln2 3ln2,122C2ln23,6D14ln2,12【答案】D【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出 a 关于切点 x 的解析式，根据解析式的值域确定 a 的范围.【详解】设11,xy是曲线ln1yx的切点，设22,xy是曲线23yxxa的切点，对于曲线ln1yx，其导数为1yx，对于曲线23yxxa，其导数为21yx，所以切线方程分别为：1111ln1yxxxx，22222321yxxaxxx，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：21212121ln3xxxxa，解得22212222213lnlnln 2121axxxxxx（212x ），令 2ln

50、21h xxx （12x ），22121242220212121xxxxh xxxxx ，得：12x，当1 1,2 2x 时，0h x ，h x是减函数，当1,2x 时，0h x ，h x是增函数，更多全科试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君更多全科试卷，请关注公众号：高中试卷君 min11ln224hxh且当 x 趋于12 时，h x 趋于；当x 趋于 时，h x 趋于；13ln24a，1 4ln212a；故选：D4（2023全国高三专题练习）若函数 lnf xx与函数2()(0)g xxxa x有公切线，则实数a的取值范围是（）A1ln,2eB1,C1,D2,ln【答案】B【分析】分别