2024年新高中考试数学解答题模拟训练——概率统计（答案版）.docx

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1、【基础训练】专题03 概率统计1（2023陕西宝鸡校考模拟预测）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目(1)若，求的数学期望；(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）【答案】(1)20(2)6666【分析】（1）首先求出标鱼占总体的比例，再分析其符合超几何分布，根据超几何分布期望的计算公式即可得到答案.（2）首先计算出当时，当时，记，计算，从而得到的单调性，最后得到其最大值.【详解】（1）依题意X服从超几何分布，且

2、，故（2）当时，当时，记，则由，当且仅当，则可知当时，；当时，故时，最大，所以N的估计值为66662（2023春湖南岳阳高二统考期末）为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）(1)求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(2)求甲乙两队比赛3局，甲队

3、获得最终胜利的概率；(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；（2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率；（3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率.【详解】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，其中相互独立.又甲队明星队员前四局不出场，故，所以.（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，由全概率公式知，因为每名队员上场顺序随机，故，所以.（3）由（2），

4、.3（2023春江苏连云港高二校考期中）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：若，求i的最小值.【答案】(1)；(2)，且；5.【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件

5、是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答.（2）求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答.【详解】（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.（2）甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，则，显然，甲第次答题所得分数的数学期望为，因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，所以与满足的等量关系式是：，且；由知，当时，而，因此数

6、列以为首项，为公比的等比数列，于是，由得：，显然数列是递增数列，而，则有正整数，所以i的最小值是5.4（2023全国高二专题练习）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，.(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；(2)已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预

7、报值最大？（注：年利润=年销售额一年投入成本）参考公式：对于一组数据、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.【答案】(1)(2)当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.【详解】（1）解：令，则关于的线性回归方程为，由题意可得，则，所以，关于的回归方程为.（2）解：由可得，年利润，当时，年利润取得最大值，此时，所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.5（2023湖南娄

8、底娄底市第三中学校联考三模）冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，(1)求甲、乙两人所得分数相同

9、的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3分计算概率并相加即可；（2）由题意X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率的分布列，由期望公式计算期望【详解】（1）由题意知甲得0分的概率为，乙得0分的概率为，所以甲、乙两人所得分数相同的概率为（2）X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，则，所以，随机变量X的分布列为：X0123456P所以6（2023春湖南长沙高二长郡中学校考期末）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最

10、重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的

11、概率（先验概率）进行调整.求选到的袋子为甲袋的概率，将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.【答案】(1)(2)；方案二中取到红球的概率更大.【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论.【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，（1）.所以试验一次结果为红球的概率为.（2）因为，是对立事件，所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为.由得，所以方

12、案一中取到红球的概率为：，方案二中取到红球的概率为：，因为，所以方案二中取到红球的概率更大.7（2023全国高三专题练习）2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：心理价位（元/件）90100110120人数10205020假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费

13、者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.(1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？【答案】(1)分布列见解析，期望为3.6；(2)当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期

14、望达到最大值【分析】（1）由调查表得出每个人购买纪念品的概念为，而，由二项分布计算概率的分布列，由二项分布的期望公式得期望；（2）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值【详解】（1）时，消费者购买该纪念品的概率，由题意，同理，的分布列为：01234；（2）由（1）知时，（时等号成立），时，（时等号成立），时，（时等号成立），因此最大，此时所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值8（2023春安徽安庆高二安庆一中校考阶段练习）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.(

15、1)记总的抽取次数为X，求E（X）；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.【答案】(1)(2)6，答案见解析【分析】（1）确定X可能取值为4，5，6，7，分别求出概率后，由期望公式计算出期望；（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和，利用独立事件概率公式求得

16、的概率，再由期望公式计算出期望，根据白球对取到黑球的影响说明期望的大小关系【详解】（1）X可能取值为4，5，6，7， ；（2）Y可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为和， ，. 在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰作用已经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.9（2023全国高三专题练习）我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据：分钟性别（0，40（40，60（60，90（90，120女生10404010男生5254030

17、根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120内认定为“良好”.(1)完成下列22列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联；不合格合格合计女生男生合计(2)从女生平均每天体育运动时间在的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求的分布列及数学期望；(3)从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为，记“平均每天体育运动时间为良好的人数为”的概率为，视频率为概率

18、，用样本估计总体，求的表达式，并求取最大值时对应的值.附：，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于；(2)分布列见解析，数学期望为；(3)，【分析】（1）通过题意可得列联表，计算的值，可得结论；（2）根据分层抽样的比例可得抽取的女生平均每天体育运动时间在的人数，确定的取值，根据超几何分布可求得每个值对应的概率，即得分布列，从而计算数学期望；（3）通过题意可得满足二项分布，能得到，然后通过作商法可得到当时，当时，即可得到答案【详解】（1）由题意可知，22列联表如下表不合格合格合

19、计女生5050100男生3070100合计80120200零假设为：性别与学生体育运动时间无关联.根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立即认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于；（2）抽取的20人中，女生平均每天运动时间在的人数分别为2人，8人，8人，2人，易知的所有可能取值为，所以的分布列为012所以数学期望为；（3）平均每天运动时间在的频率为，由题意可知，所以，由，得，所以，当时，即，当时，即，所以，即取最大值时，.10（2023全国高三专题练习）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭

20、幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.(1)若此次知识问答的得分，用样本来估计总体，设，分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求的值；(2)学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为.从这32

21、0名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.参考数据：，.【答案】(1)(2)分布列见解析，元【分析】（1）先根据频率分布折线图求平均值及方差，再根据正态分布公式计算概率即可；（2）先分析获奖金额的情况，再列出相关分布列计算即可.【详解】（1）由折线图可知：，所以，所以.（2）由题意可知的可能取值为10，20，30，40，则，所以的分布列为10203040P，故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为元.11（2023春福建南平高二福建省南平市高级中学校考期中）某学校为了迎接党的二十大召开，增进

22、全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲

23、箱中取出的是2个选择题的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则彼此互斥，求出相关的概率，再根据条件概率求解即可.【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，2，由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：；（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取

24、出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则彼此互斥，且，所求概率即是发生的条件下发生的概率：.12（2023全国高三专题练习）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：样本号i12345678910人工测雨量xi5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量yi 5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49| xi- yi|0.050.080.20.570.42

25、0.030.090.110.020.26并计算得(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；(2)规定：数组（xi ，yi）满足| xi- yi| 0.1为“类误差”；满足0.1| xi- yi| 0.3为“类误差”；满足| xi- yi|0.3为“类误差”为进一步研究，该地区水文研究人员从“类误差”、“类误差”中随机抽取3组数据与“类误差”数据进行对比，记抽到“类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望附：相关系数【答案】(1)0.98，汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系(2)分布列见解析，【分析】（1）根

26、据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱； （2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.【详解】（1）因为，代入已知数据，得所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数的所有可能取值为.则，.所以的概率分布为0123P所以X的数学期望.另解：因为，所以.13（2023全国高三专题练习）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次

27、专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数711411(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求；(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望【答案】(1)；(2)90.【分析】（1）由题意根据古典概率公式可求得答案；（2）由题得Y可以取0，100，

28、200，300，分别求得Y取每一个随机变量的概率得出Y的分布列，由期望公式可求得答案【详解】（1）解：由题意得；（2）解：能完成活动的概率为，不能完成活动的概率为，由题得Y可以取0，100，200，300，则，所以Y的分布列为：Y0100200300P则Y的数学期望为14（2023高二课时练习）第24届冬季奥林匹克运动会（TheXXIVOlympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办

29、除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列【答案】(1)甲进入决赛可能性最大(2)(3)分布列见解析【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别

30、求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，列方程求解；（3）先确定进入决赛的人数为的取值，依次求出每一个值所对应的概率，列表即可.【详解】（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：， 甲进入决赛可能性最大（2） 整理得，解得或，又，；（3）由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，进入决赛的人数为可能取值为， ，的分布列为0123P15（2023春江苏徐州高二徐州市第七中学校考阶段练习）某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复

31、赛，败者淘汰.比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果.在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立.(1)求甲恰好经过三局进入复赛的概率；(2)记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）前两局和棋最后一局甲胜，按照乘法公式计算概率即可；（2）的所有可能取值为，依次计算出概率，列出分布列，再计算期望即可.【详解】（1）前两局和棋最后一局甲胜，.（2）的所有可能取值为，乙慢棋比赛胜概

32、率，乙快棋比赛胜概率，乙超快棋比赛胜概率.，的分布列为1234.16（2023江苏高一专题练习）中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；(2)若甲抛掷次，乙抛掷n次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率【答案】(1)(2)【分析】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面

33、朝上次数的概率，根据对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等可得答案；（2）分出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数；出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数；出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，由对称性可得答案【详解】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率，由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等，故；（2）可以先考虑甲乙各抛赛n次的情形，如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，则第次甲必须再抛掷出证明朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数；如果出

34、现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为；如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，由对称性可知，故，而由，可得17（2023春山西朔州高二统考期末）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，试估计

35、初试成绩不低于88分的人数；(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值附：若随机变量X服从正态分布，则：，【答案】(1)(2)人(3)分布列见解析，均值为【分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；(2)由可知即可求解；(3)根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，进而求得均值.【详解】（1）样本平均数的

36、估计值为（2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，则，所以，所以估计初试成绩不低于88分的人数为人（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，则， 故Y的分布列为：Y0510152025P所以数学期望为18（2023陕西西安西北工业大学附属中学校考模拟预测）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞

37、赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和期望附参考数据，若随机变量X服从正态分布，则，【答案】(1)；(2)（i）1587；（ii）分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学

38、生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可；（2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正泰分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可.【详解】（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的

39、可能性都相等，所以，即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值，则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布（）因为，所以故参赛学生中成绩超过79分的学生数为（）由，得，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为所以随机变量服从二项分布，所以，所以随机变量的分布列为：0123P均值19（2023春江西景德镇高二景德镇一中校考期中）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热咳嗽乏力等症状，中药起效非常快，对肺

40、部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，.(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲乙两种中药哪种药性更好？【答案】(1)(2)甲种中药药性更好【分析】（1）分别计算出示A组中恰好有1人康复， B组中恰好有1人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求

41、得答案;（2）根据二项分布的期望公式求得A组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出B组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案.【详解】（1）依题意有，.又事件C与D相互独立，则，所以.（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，所以.设A组的积分为，则，所以.设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0,1,2,3,，故的分布列为0123所以,设B组的积分为，则，所以,因为，所以甲种中药药性更好.20（2023春天津宁河高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，

42、采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方.(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为.在一局比赛中，若现在甲乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；(2)假设甲选手每局获胜的概率为，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)X1234p数学期望为.【分析】（1）分析出两种情况，甲乙再打3个球，这三个均为甲赢和甲乙再打4个球，其中前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，分别求出概率，相加即为结果；（2）求出X的可能取值为1，2，3，4，及对应的概率，写

43、出分布列，求出期望值.【详解】（1）设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A，则事件A中包含事件B和事件C，事件B：甲乙再打3个球，甲先得11分获胜，事件C：甲乙再打4个球，甲先得11分获胜.事件B：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则，事件C：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则；则（2）X的可能取值为1，2，3，4.，所以X的分布列为：X1234p其中.即数学期望为.21（2023春江苏高二南京市人民中学校联考阶段练习）春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：2010：40这一时间段

44、内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：209：40记作区间，9：4010：00记作，10：0010：20记作，10：2010：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.(1)估计这600辆车在9：2010：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：2010：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：2010：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差