广东深圳南山区2024届高三上学期期末质量监测数学试题含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 绝密绝密启用前启用前 试卷类型：试卷类型：A 南山区南山区 2023-2024 学年度第一学期期末质量监测学年度第一学期期末质量监测 高三数学试题高三数学试题 2024.1 注意事项：注意事项：1.本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.3.作答选择题时，用作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑，铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑，4.

2、非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡考试结束后，考生上交答题卡.一一单项选择题单项选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的.1.设集合20,1,2,3,4,430ABx xx=+，则AB=（）A.0,4 B.0,1,3,4 C.1,2,3 D.2 2.已知i12iz=+（i为虚数单位），则z z=（）A

3、.2 B.5 C.4 D.5 3.若函数()()2ln2f xxmx=+在区间()1,+上单调递增，则实数m的取值范围为（）A.1,2+B.1,2+C.)1,+D.()1,+4.已知,a b为单位向量，且|2|abab+=，则a与b的夹角为（）A.6 B.3 C.23 D.56 5.龙洗作为我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故得其名.龙洗的盆体可近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高10cm，盆口直径20cm,盆底直径10cm,盆内倒满水，若不考虑盆体厚度，则盆内水的体积近似为（）A.3916cm B.31833cm C.33665cm D.37330cm 学科网（北京）股份有限公司 6.已知直线20

4、kxyk+=与圆229xy+=交于,A B两点，则AB的最小值为（）A.2 B.2 3 C.4 D.6 7.已知函数()()sin(0)f xx=+在区间()0,2上单调递减，若()()24ff=，则实数的取值范围为（）A.,4 2 B.,4 3 C.0,2 D.0,3 8.已知实数,m n满足33(1)(1)0mmnn+=+=，则nm=（）A.-1 B.1 C.-2 D.2 二二多项选择题多项选择题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5

5、 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列命题中，为真命题的有（）A.10,2xxx+B.10,2xxx C.210,12xxx+D.210,12xxx 的焦点3,02F，且与C交于,A B两点（其中AFBF），与C的准线交于点D，若8AB=，则下列结论正确的为（）A.32p=B.6AF=C.3BDBF=D.F为AD中点 12.已知数列 na的首项不为零，前n项和为nS，若2nnSat=+，则下列结论正确的为（）A.na不可能为常数列 B.1t C.当1t=时，na为等差数列 学科网（北京）股份有限公司 D.若 na为等比数列，则 na的公比唯一

6、三三填空题填空题：本大题共：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.若双曲线22131xykk+=的焦点在y轴上，则实数k的取值范围为_.14.已知2sin43+=，则sin2=_.15.著名数学家欧几里得的几何原本中曾谈到：任何一个大于 1 的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如602 2 3 5=.已知12315naaa=，且123,na a aa均为质数，若从123,na a aa中任选 2 个构成两位数(ija a ij，且1,)i jn，则ija a的十位数字ia与个位数字ja不相等的概率为_.16.已知菱形ABCD的边长为 2，且60

7、BAD=，将ABD沿直线BD翻折为A BD，记A C的中点为M，当A CD的面积最大时，三棱锥MBCD的外接球表面积为_.四四解答题解答题：本大题共：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知ABC的内角,A B C的对边分别为52 3,sinsin63a b cAB+=，且6C=.（1）求sinB的值；（2）若4b=，且2B，求ABC的面积.18.（12 分）已知数列 na的前n项和为()*,22nnnSSan=N.（1）求 na的通项公式；（2）设21nbn=，求数列nna b的前n项和n

8、T.19.（12 分）如图，在三棱台111ABCABC中，平面11A ACC 平面ABC，且143ABAC=，130,60CACCAB=.学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：111ABBC；（2）求直线11AC与平面1ABC所成角的正弦值.20.（12 分）已知定义在()0,+上的函数()exmf xx=.（1）若()f x为单调递增函数，求实数m的取值范围；（2）当0m=时，证明：()112xf xx+.21.（12 分）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若

9、试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（2）若规定试验者乙至多可进行()*n nN轮试验（若第n轮不成功，也停止试验），记乙在第()*,k kknN轮使得试验成功的概率为kP，则乙能试验成功的概率为1()nkkP nP=，证明：()13P n，由（1）可知25cos1 sin3BB=，在ABC中，由正弦定理，得sin3sinbCcB=，()sinsinsin co

10、scos sinABCBCBC=+=+，2 35sin6A=，ABC的面积1sin2 352SbcA=.（方法二）2B，由（1）可知25cos1 sin3BB=，在ABC中，由正弦定理，得sin3sinbCcB=，在ABC中，由余弦定理，得222cos2abcCab+=，2116928aa+=，解得2 35a=，2B，,2 35baa=，ABC的面积1sin2 352SbcA=.18.（12 分）学科网（北京）股份有限公司 解：（1）当1n=时，111122,2aSaa=，1122,22nnnnSaSa+=，两式相减，得11122,2nnnnnaaaaa+=，na是以 2 为首项，2 为公比的

11、等比数列，12 2,nnnaa=的通项公式为2nna=.（2）()()2311 23 25 2232212nnnTnn=+()()234121 23 25 2232212nnnTnn+=+将上述两式相减，得()()23122222212nnnTn+=+，()()23122222212nnnTn+=+，又123211 22222241 2nnn+=，()()()11122242122326nnnnTnn+=+=+.19.（12 分）解：（1）证明：过点1C作AC的垂线，垂足为H，连接,BH 平面11A ACC 平面ABC，平面11A ACC 平面1,ABCAC C HAC=，1C H 平面11A

12、 ACC，1C H平面ABC，AB 平面ABC，1ABC H，不妨设14AC=，143,3ABACAB=，在直角三角形1AC H中，1130,2,2 3CACC HAH=，60,2,CABAHABABBH=，11,ABC H ABBH C HBHH=，学科网（北京）股份有限公司 AB平面1BC H，1BC 平面1BC H，1ABBC，在三棱台111ABCABC中，AB11AB，111ABBC.（2）（方法一：向量法）以H为原点，1,HC HC 分别为y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，由（1）得()()()114,0,0,0,0,2 3,0,0,0,2ACHAC=，过点B作AC的垂线

13、，垂足为D，连接BD，3,60ABCAB=，33,22BDAD=，3 32HD=，33 3,022B，()133,0,0,2 3,222ABAC=，设平面1ABC的法向量(),nx y z=，学科网（北京）股份有限公司 1330,222 320,n ABxyn ACyz=+=+=令1x=，得()1,3,3n=，11AC平行于y轴，取11AC的方向向量()0,1,0m=，设直线11AC与平面1ABC所成角为，则39sin13m nm n=，直线11AC与平面1ABC所成角的正弦值为3913.（方法二：几何法）11ACAH 直线11AC与平面1ABC所成角等于 直线AH与平面1ABC所成角，设为，

14、由（1）得AB 平面1BC H，AB 平面1ABC，平面1ABC 平面1BC H，过点H作1BC的垂线，垂足为E，连接AE，则EH 平面1ABC，EAH=，在ABH中，,60,3,3ABBHCABABBH=，由（1）得1C H 平面ABC，学科网（北京）股份有限公司 BH 平面ABC，1C HBH，在1BC H中，221113BCC HBH=+=，由11BH C HBCEH=，得61313EH=，39sinsin13EHEAHAH=，直线11AC与平面1ABC所成角的正弦值为3913.20.（12 分）解：（1）()()21 exxmfxx+=，()f x为单调递增函数，当0 x 时，()0f

15、x恒成立，即()1exmx恒成立，令()()1exg xx=，则()e0 xgxx=，()g x在()0,+上单调递减，()()01g xg时，e112xxxx+恒成立，即证当0 x 时，2e12xxx+恒成立，令()2e1,02xxh xxx=+，则()e1xh xx=，令()e1,0 xxxx=，则()e1xx=，当0 x 时，()0 x，()x为单调递增函数，学科网（北京）股份有限公司 当0 x 时，()()00 x=，即当0 x 时，()0h x，()h x为单调递增函数，当0 x 时，()()00h xh=，即当0 x 时，2e102xxx+，当0 x 时，2e12xxx+，当0 x

16、 时，e112xxxx+，即当0 x 时，()112xf xx+.21.（12 分）解：（1）由题意得，X的可能取值为1,2,3，在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为13，()211139P X=，依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为14，()2111219418P X=，易知()()()531126P XP XP X=+=，X的分布列为：X 1 2 3 P 19 118 56 X的数学期望()11549123918618E X=+=.（2）当2k 时，不难知道2222111111134(1)(2)kPkk=+，学科网（北京）股份有限公司 222211

17、1111134(1)(2)kk+()()()222222 4 3 512134(1)(2)312kkkkkk+=+，()()()212112312312kPkkkkk=+，由（1）可知119P=，又1121193 1 112P=+，()()()*21211312312kPkkkkk=+N，12 111111()3 233412nkkP nPnn=+12133(2)3n=+.即()13P n.22.（12 分）解：（1）设(),E x y，则2242(2)xxy=+，整理得222(4)2(2)xxy=+，化简得22184xy+=，C的方程为22184xy+=.（2）（i）易知()()120,2,

18、0,2AA，不妨设()00,P xy，且直线12,PA PA的斜率分别为12,k k，则200012122000224,yyykkk kxxx+=，又()00,P xy在C上，222200001,8284xyxy+=，学科网（北京）股份有限公司 20122041822yk ky=，即直线12,PA PA的斜率之积为12.（ii）不妨设直线1PA的方程为12yk x=+，令4y=，解得1122,4xMkk=，同理，设直线2PA的方程为22yk x=，即1122yxk=，令4y=，解得()126,12,4xNkk=，由()212,4,0,2MAk，可求得直线2MA的方程为132yk x=，与椭圆联

19、立12232,280,yk xxy=+=可得()2211181240kxk x+=，解得211221124362,181 181kkQkk+，（方法一）根据对称性，直线QN所过的定点在y轴上，不妨设该定点为()0,Tt，212111213621814,241200181QTTNktktkkkkk+=+，整理得21213662,183ktk+=+直线QN过定点()0,2.（方法二）()2111221124362,12,4181 181kkQNkkk+，且1212k k=，显然有10k，且直线QN的斜率为21221131111121362418161124366612181kkkkkkkkk+=+，直线QN的方程为()1114126yxkk=+，学科网（北京）股份有限公司 整理得116120 xk yk+=，即()1620 xky+=，0,20,xy=即0,2,xy=直线QN过定点()0,2.