山东省济南市2023-2024学年高三上学期1月期末学习质量检测数学试题含答案.pdf

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1、绝密启用并使用完毕前绝密启用并使用完毕前2024 年年 1 月济南市高三期末学习质量检测月济南市高三期末学习质量检测数学试题数学试题本试卷共 4 页，22 题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共

2、 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合15Mxx，22Nx xx，则MN A12xx B15xx C12xx D15xx 2若1i2iz，则其共轭复数z A11i33B11i33C31i55D31i553已知曲线lnyx与曲线1ya xx在交点1,0处有相同的切线，则a A1B12C12D14已知直线 l 经过点2,4，则“直线 l 的斜率为1”是“直线 l 与圆 C：22132xy相切”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5平行四边形 ABCD 中，3AB，4AD，3BA

3、D，若BEEC ，2CFFD ，则AE AF A4B6C18D226已知4sin45，则sin2A725B1225C725D12257 已知抛物线 C：28yx的焦点为 F，坐标原点为 O，过点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，且点 O 到直线 AB的距离为2，则OAB 的面积为A4 2B8 2C16 2D32 28数列 na的前 n 项和为nS，若11a，22a，且22cossin22nnnnaa，则2024SA202431011B202431011C101231011D101231011二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20

4、 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9已知实数 a，b 满足ab，则A22abB33abC11baDsinsinaabb10已知函数 f x的定义域为 R，且 1f xyf xfy，10f，则A 01f B f x有最小值C20242023fD 1f x 是奇函数11在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有 10 位选手记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若该组每

5、位选手失分都不超过 7 分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是A甲组中位数为 3，极差为 4B乙组平均数为 2，众数为 2C丙组平均数为 3，方差为 2D丁组平均数为 3，第 65 百分位数为 612 如图，ABC 中，4ABBC，ABBC，M 是 AB 中点，N 是 AC 边上靠近 A 的四等分点，将AMN沿着 MN 翻折，使点 A 到点 P 处，得到四棱锥 P-BCNM，则A记平面 PBC 与平面 PMN 的交线为 l，则 l平面 BCNMB记直线 PM 和 BEC 与平面 PNC 所成的角分别为，则C存在某个点 P，满足平面PBC 平面 PNMD四棱

6、锥 P-BCNM 外接球表面积的最小值为20三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13在正四棱锥 P-ABCD 中，2PAAB，则该棱锥的体积为 14已知函数 sin4f xx（0）的最小正周期不小于，且 4f xf恒成立，则的值为152023 年杭州亚运会的吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有 种（用数字作答）16已知双曲线 C：22221xyab（0a，0b）的左、右焦点

7、分别为1F，2F，过点2F的直线与 C 的右支交于 A，B 两点，且1AFAB，1F AB的内切圆半径212rF B，则 C 的离心率为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且3a，2239bcc（1）求 B，（2）ABC 的平分线交边 AC 于点 D，且2BD，求 b18（12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，BCCD，222 2BCCDAD，平面ABCD 平面 PAC（1）证明：PCAB；

8、（2）若52PAPCAC，M 是 PA 的中点，求平面 MBC 与平面 PAC 夹角的余弦值19（12 分）将数列 na中的所有项按照每一行项数是上一行项数的两倍的规则排成如下数表：1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a记表中的第一列数1a，2a，4a，8a，构成的数列为 nb，nS为数列 nb的前 n 项和，且满足21nnS（1）求数列 nb的通项公式；（2）从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成公差为 2 的等差数列，求上表中第 k（3k）行所有项的和kT20（12 分）以“智联世界，生成未来”主题的 2023 世界人工智能大会在中国上海举行，人工

9、智能的发展为许多领域带来了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患为了调查不同年龄阶段的人对人工智能所持的态度，某机构从所在地区随机调查 100 人，所得结果统计如下：年龄（岁）20,3030,4040,5050,6060,70频数2416152520持支持态度2013121510（1）完成下列 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为所持态度与年龄有关；年龄在 50 岁以上（含 50 岁）年龄在 50 岁以下总计持支持态度不持支持态度总计（2）以频率估计概率，若在该地区所有年龄在 50 岁以上（含 50 岁）的人中随机抽取 3 人，记为 3 人中持支持态度的人数，求的分布列以及数学期

10、望附：22n adbcKabcdacbd2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 M 到点1,0F的距离与到直线4x 的距离之比为12（1）求动点 M 轨迹 W 的方程；（2）过点 F 的两条直线分别交 W 于 A，B 两点和 C，D 两点，线段 AB，CD 的中点分别为 P，Q设直线AB，CD 的斜率分别为1k，2k，且12111kk，试判断直线 PQ 是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由22（12 分）已知函数 31ln222faxxxxx（1）当1a 时，求 f x的单调区间；（2）若1x时

11、，0f x，求 a 的取值范围；（3）对于任意*nN，证明：11111ln2421224nnnnn2024 年年 1 月济南市高三期末学情检测月济南市高三期末学情检测数学试题参考答案数学试题参考答案一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CDBCCABD二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题。每小题小题。每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全

12、部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分题号9101112答案BDACDACBCD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分、共分、共 20 分分134 23；141；156；16173四、解答题：共四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17【解析】（1）由题意得，222acbac，所以2221cos22acbBac，又0B，所以23B（2）法一：因为ABCABDBCDSSS所以11s

13、insin22acABCBDABDac，则3a，得6c 在ABC 中，由余弦定理得22212cos93623 6632bacacB ，则3 7b 18【解折】（1）取 BC 中点 N，连接 AN，则2CNADCD，又ADCN，BCCD，所以四边形 ANCD 为正方形，则90ANBANC，45NAC，又在ANB 中，2ANBN，则4BAN，所以，2BAC，即ABAC又平面ABCD 平面 PAC，平面ABCD 平面PACAC，AB 平面 ABCD，所以AB 平面 PAC，又PC 面 PAC，所以PCAB（2）取 AC 中点 O，BC 中点 N，连 OP，ON，所以ONAB因为 AB平面 PAC，所

14、以 ON平面 PAC，因为PAPC，所以 OPAC，所以 ON，OC，OP 两两垂直，以 O 为原点，ON，OC，OP 所在的直线分别为 x 抽、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，则平面 PAC 的一个法向量是1,0,0m，又0,1,0C，2,1,0B，10,12M，所以，2,2,0CB ，30,12CM，设,nx y z是平面 MBC 的法向量，则22003002xyn CByzn CM 令2x，可得2,2,3n，所以22 17cos,1717m n，所以，平面 MBC 与平面 PAC 夹角的余弦值为2 171719【解析】（1）当2n时，11121212nnnnnnbSS1n 时，11

15、11Sba，也适合上式，因此12nnb（2）设上表中从第三行起，每行的公差都为 2，表中第 k（3k）行有12k项，111122224222kkkkkkT111112222122kkkk（或者111222222kkkk）112112 4222kkkk20【解析】（1）年龄在 50 岁以上（含 50 岁）年龄在 50 岁以下总计持支持态度254570不持支持态度201030总计45551002210025 10204570305545K8.129因为 8.1296.635，所以有 99%的把握认为对人工智能所持态度与年龄有关（2）依题意可知 50 岁以上（含 50 岁）的人中对人工智能持支持态度

16、的频率为255459由题意可得53,9XBX 的所有可能取值为 0，1，2，3又346409729P X，2135424080199729243P XC，22354300100299729243P XC ，333512539729P XC所以的分布列如下：X0123P6472980243100243125729所以 X 的期望是55393E X 21【解析】（1）设点 M 的坐标为,x y，由题意可知，221142xyx，化简整理得，W 的方程为22143xy（2）法一：由题意知，直线 AB 的方程为22143xy，与 W 的方程22143xy联立可得，22221114384120kxk xk

17、，设11,A x y，22,B xy，由韦达定理得，211221843kxxk，则1121121216243kyykxxkk，所以，点 P的坐标为211221143,43 43kkkk同理可得，Q 的坐标为222222243,43 43kkkk所以，直线 PQ 的斜率为1 212434PQk kkkk，所以，直线 PQ 的方程为21 211221111434344343k kkkyxkkkk，即1 21 21212434k kk kyxkkkk，又12111kk，则121 2kkk k，所以直线 PQ 的方程即为1 21 24314k kyxk k，所以，直线 PQ 过定点0,122【解析】（

18、1）f x的定义域为0,当1a 时，31ln222fxxxxx，则 211ln22fxxx令 211ln22g xxx，则 231xgxx故当0,1x时，g x单调递减；当1,x时，g x单调递增于是 10g xg，即 0 fx，故 f x的单调递增区间为0,，无单调递减区间（2）由题意知 213ln22 fxaxax令 213ln22haxaxx，则 23311h xaaxxxx由（1）可知若1a，则当1x时，31ln21022fxxxxfx若1a，则当时，3131ln2ln202222axxxfxxxxxx，符合题意若0a，则当1x 时，0 h x，于是 011fh xhax ，则 10f

19、 xf，矛盾若01a，则当11xa时，0 h x，于是 011fh xhax ，此时 10f xf，矛盾综上所述，a 的取值范围是1,（3）当1a 时，上（2）可知 31ln2022fxxxxx，即2312ln22xxx（1x），取11xk（*kN），可得22221112311ln 11212121kkkkkkk11111112121212kkkkkk，即1l111111122nkkkk令kn，1n，21n，累加可得111111ln2122212121 21nnnnnnnn11112 24422 23nnnn另一方面，考虑函数 1ln22xFxxx，1x，则 22102xFxx，F x在1,上单调递减，则 01F xF，于是1ln22xxx，1x取11xk（*kN），可得11211 11ln 1212121kkkkk kk kkk，整理得111 11ln 1121kkkk令kn，1n，21n，累加可得1111 111ln2122224nnnnnn综上所述，对于任意*nN，11111ln2421224nnnnn成立