(7.1)--超静定结构求解——位移法结构力学.pdf

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1、6-1概述一、位移法的提出麟 -图示结构是六次超静定结构,但只有一个结点位移(受弯杆忽珞其轴向变形)。力法 一有六个耒知量。位移法 一用结点位移作为耒知量,只有一个耒知量。二、单跨超静定染 的内力单跨超静定粱的内力可用力法求出,它是位移法计算的基础,举例讨论如下:1 固岩粱受支座转角作用力法典型方程为:1目+丿 凡+3尾+4。凡l Fl+凡2马+凡凡+z j。呢1目+呢2马+凡凡+鸽。(a l 原结构田000基本系由图乘法:由静定结构支座沉陷求位移公式:z l k=_尸R h c i=氵J l l=,J12=J21=酃|轹0,3(d l j l Z2J13=J引=0,J=Jz=J夕=0_2%邓

2、忱d(c)l12z lz l2t|尸R氵尸R氵四 j _0厶k:t|解方程得:只=竽9,F2=一乌挈L,F:=o6ErJo ,田夕彳F=F1目+F2F,由M=M1目+M2F,求杆 田6Er|2 g)n r端弯矩,并画弯矩图,杆端剪力也可求得,图龟)。令氵=早称 杆躬的 线 刚 度。当夕 z=1珏卜 M妪=s 姐=4氵s 姐称为杆躬 的端抗弯劲度。一夕犭一4氵2 固岩粱受支座线位移作用力法典型方程为:J11Fl+J12马JFl+J22马J31Fl+J32马+J13尾+Jk+J23尾+J2。+J33凡+z l.原结构0 0 0_ _ _ _ _ _PF,基本系由图乘法:Jl l=壹”=J=0,J1

3、3=J引=0,J=Jz=J夕=0直接 由几何关系判断z l k=0z l 2。=_z l(z 方向与F,z l.=0=l 方向相反)12c)i l ZFl 32解方程得:只=0,马=L钅早二z l,尾=0由 M=l l r 1目+l l r 2F,得弯矩图佗),杆端剪力也可求得。一【g,12j 2|令氵=竿,矩 图如 图当J=1得弯(所示。一砀h)3 固岩粱受荷载作用力法典型方程为:a)原结构1目+2尾+:尾+4P况1目+况2尾+况:尾+z l 2P凡1目+凡2尾+凡:尾+z l:P000由图乘法:Jl l=,J12=J21=J引J夕z l 1P=由静定结构的位移计,图乘法得:u|榀d)i 1

4、20 厂c)i 1l(i 13Jz0,J012l y :%de)忱2+Erz l 2Pz l:Po o_ f)i 钅解方程得:g 2F1=,F2=0,F:=o刃万刃i丁24由M=M喁+MP得弯矩 图佗),杆端剪力也可求得,如图佗)所示。|卫2224g)n r4固岩粱受变温作用力法典型方程为:Er,勿仇)0J11FlJ只J引Fl+J12凡+J.凡+J夕凡+J13凡+J23凡+J“凡+z l.=0+z l=0+z l.=0一a)原结构|丁b)基本系h厶由图乘法:犭H=壹,犭=犭=犭=犭=0,犭=犭,=犭,=0由静定结构在变温下的位移计算可得:4r=搠FN1+匹=冯r 饣 EN2+三 苎11讠,J1

5、2i 1屉2r 饣 EN:+望 丝芳J2屉:d)i 12尼=le)i 1:0 c)i 1l12Er 乃 o而 7k,/f)跖将系数项和自由项代入力法典型方程得:Er 勿=0=Er 扌M=M 1得弯矩 图(,剪力为零,轴力为一常数夕a f【压力)。沪Er沪Er目尾尾由(g)n r三、等截 面直杆转角位移方程1 两岩固定粱同时承受荷载 支座移动及温度改变作用时,杆岩弯矩和剪力可将各种外来因素单独作用的结果叠加得到。(z l=芭-4)。l煸n/r.=n/r m=F。.F。m=4氵四+2氵四+6氵丁四 丁四 2氵四 罟z l+n/r f:4氵四 早z l+n/r,;四+￥|z l+F,大一早四+苄z

6、l+F,】大式中崛,i F昆,石姐,石血 分别称 固端弯矩与固端剪力,又称载常数,表示杆上受荷载和温度变化作用时的杆端内力。式中等号右边前三项表示与支座移动有关,其系数称形常数,即单位杆端位移尉起的杆端 内力。2 一岩固定,一岩铰支粱 同时承受荷载 支座移动及温度改变作用时,将各种外来因素单独作用的结果叠加。i r 切i r 血F。.F。血z一D_焰D o一一 +i Fl=一手+社z l+F:.=芊屹一芳z+:血|F。姐F。扭3 一岩固定,一岩滑移支座粱 同时承受荷载 支座移动及温度改变作用,将各种外来因素单独作用叠加。r.r mF。.F。m+F:.F品MLM,刁丬卜一一一 r厅4 一岩固定,

7、一岩平行于杆轴线的连杆约柬的粱 同时承受荷载 支座移动及温度改变作用时,因其在支座移动及温度改变下均不产生弯矩,仅荷载作用产生弯矩。朋引尸Q朋尸Q引L0尸FQ朋尸品/杉i l/r|F。.此种基本杆仵,实质与悬臂粱相同。结论:9J上推导了各种单垮超静定粱在杆岩位移 荷载温度下的杆岩弯矩 剪力表达式。由此可知,对于任一等截面直杆,只要知道杆件两岩位移 荷载 温度,即可求出杆件两岩的弯矩 剪力,作出此杆件的弯矩 图剪力图。6-2位移法的基本原理位移法是与力法对偶的一种超静定结构佯法。位 移赆杆端位移转 角 位移方程杆端弯矩结点位移-矩图一、具有一个结点角位移 的倩况基本耒知量 结点确 位移l基本系

8、在结点附加一个刚臂(仅能控制转动不能控制移动的约束)基本系(b)基本系(c)FP单牡作用彳,FP1P,FP规定顺时针为正比较基本系与原结构在约束处的受力状况FF1=FF1P+FF11FR1=oFF11+FF1P=o典型方程 一表示结点B处的力矩平衡。氏1纰+FF1P=oFP=民1t n(d)田薛 牡作用求系数与 自由项(e)FR1PFP1P钅图e,辜牡作用=一言F尸由 图由图(f)H=4氵+4氵+4氵=12氵=1瓦氏jFP8FP1PPn 犭1图 D|FP/8解方程12氵1一言FP=o(f)田F1单牡作用1=夤=96Fr(弧尸鼍9)代入典型方程得:作弯矩图二丑48Pi F=跖1+蚝痣FP图二直4

9、8Pl焖FP=1丁(f)=1单牡作用e,FP单牡作用二、具有一个独立结点线位移倩况 基本耒知量 结点线位移z 1。基 本 系一在结点1水平方向附加一个连杆。基本系FP1=J+FP1PFF H【b 淫本体系【c)g 单牡作用设J1以向右为正,FP1P FP规定以与J1同向为正比较基本系与原结构在附加连杆处的受力倩况=O FR11+FR1P=o典型方程表示结构上截面的剪力平衡条仵。庀H z l 1+FR1P=o=Hz l 1Kd)z l 漂牡作用系数与 自由项由图(e)FP1P由图(f)庀H3氵 3氵 3氵 9氵=歹+F+F=F=:g FP1P1一8:.z JG)g 单牡作用解 方 程C)4丬单

10、狂 牦 用Jl=缶()9iFJl3_8_将系数代入典型方程得作弯矩图:c J于:.z Jr=r 14+r P:噬1T.I言口:c J【e)g 单牡作用Kd)z i=掸牡作用r 图三、位移法原理总结转化手段:泔加约柬超静定结构 加上结丿等效条件:平衡釜|基本方程 基本系 基本耒知量 6-3位移法的基本假设、基本未知量、基本体系和典型方程、基 本 假 设 和 符 号 规 定基本假设:Cl)不计轴向变形(受弯杆件)弯曲变形是敛小的符号规定:结点的量习惯上采用:结点转角和刚臂反力矩,原时针转向为正;结点水平线位移和泔加连杆反力,向右为正。杆岩的量原时针转向为正(如下图):弯矩、剪力转 角J线位移(或弦

11、转角)二、基本未知量结点角位移结点线位移1 结点角位移基本未知量数=结构刚结点数 目扌主:1 铰结点的转角不作为基本未知量;2 铰支座 泡 括连杆支座)的转角不作基本未知量。2 结点线位移基本未知量数=结构独立结点线位移数 目扌主:支座的线位移不作为基本未知量换铰法掷结构所有刚结点和固定支座都换成铰,结构变成一个铰结体系。为保持该体系的几何不变所必须泔加的最少连杆数,即为原结构的独立结点线位移数 目。三、基 本 体 系在结构刚结点处附加一个刚臂;在选定独立结点线位移处附加一个连杆。G)基本6)铰化体系Ca)原结构(b)铰化体系(c)基本系基本未知星,基本结构确定举例冖冖P豇刂圭纟 平 奎练 习

12、练 习练 习Er=四、典型方程根据基本系上附加约柬 内的约柬力为零的条仵,型方程。典糍 涡建立位乓1=0FF2=0乓:=0厶1c/,l+厶2c/,+厶卩3+FP庀2l c/,l+妩2c/,+妩3鸽+FP2P呢1c/,l+呢2c/,+J3+FP3P0004助甫马原结构仅四 1作用图C)仅印作用图臼)仅J:作用图G)仅荷载作用图)伤l1Cb)基本你系FP11=厶1砑 _ /C/1FP=/t 1q2V(。)仅四 作用乓22=九2犸FF12=厶2仍1 V-一暨FF:2=丸2仍彳!丶 5)仅田2作用FF1:=汽冖1V乓2:=九J厶2V/丨/(C)仅J3作用(f)仅荷载作用图对刀 个基本耒知量的结构,其位

13、移法典型方程为:厶1乙+氏2z 2+氏 乙+FF1P=02函+九2z 2+九 乙+凡2P=0/t z 1+/t 2z 2+/t z+FPP=0其中:庀,劲度系数;凡P自由项;z i 为位移法基本未知量、J。赘 勇 氆 羟 秀 艋甚 竿 骞 氨 繇 泽 羞 曩 鼹孟:处泔 加 约 柬 内 的自由项凡i P表示荷载作用在基本系上引起的z 处泔加约柬内的反力 皈 力矩),由结点平衡条件或截面平衡条件求出。劲度系数特点:=:(反力 互等定理),么:0,=0=0(0(j 丿)五、结点位移将系数项和自由项代入位移法方程,解出结点位移。六、最后 的内力、内力 图r=r 1z 1+r 2z 2+r 3z 3+

14、丕由杆端弯矩绘弯矩图,由杆仵和结点平衡条仵求杆端剪力和轴力,作剪力图和轴力图。6一4对称性的利用对称结构可利用下列挂质取一半结构进行计算:1 结构对称,在对称何载作用下,其变形 位移 内力 反力均对称。2 结构对称,在反对称何载作用下,其变形 位移 内力 反力均反对称。奇数跨对称荷载J吃=J=0J=J09D=9f=0凡丶/Bc/B-H一|、f、偶数跨对称荷载呓=4=0免=免=0l y lz l g=z l J=0l y l-D奇数跨反对称荷载z j J=z j J0 z j J=z j J=09D=9f 0C DFP讠FP偶数跨反对称荷载Zl J=Zl J0 Zl J=Zl J=0FP免 几=

15、免0Cr_2zr_2 艮 瀑 覆 蘖 蠡 蒌 矗 酾翮构,与受荷载作用时的不同之处是典型方程中的自由项,m FF威FP涞代替FP”其它计算与受荷载时的相同。一、温度改变(设温度线膨朕系数为CIl,J犭1CIl,/哲l 漏存H四1+存四1+/t p/t 2、存u z j,+尸R=oA,2z j,+尸R,r=o九1 九 2计算同荷载作用下一样计算。氵F占f _现计算FF.、FF.:尸R1=尸甘1+尸甘1尸R,J=尸甘,J+尸甘,J饣1p 层,f 为中挂轴上温度改变力矩或反力;咄I FP为杆仵内外温度差r矩或反力;=:G+/)弓I起附加约束上的反=J2h 尉起附加约束上的反力_ _ _ _ _ _L

16、LL龉 杆轴 向伸长:茫=3-1茫=4-2勇 恩2-1各杆两端垂直于杆轴线方 向的相对线位移z l 1:=_z l:z l 12=4_z l,=o查表作弯矩图r 汩 r J=z l 2=oF/=F/2r=6h:t r/涩12h:t r/G6Il,JJF.=_l l=凡d 2;图d 2舌c Il:刎涩2根据各杆受内外温度r 雏用,直接查表作出弯矩图叫:求出瞒f、亻2f。硝硝 禹2尻:F。=O F.=图硝 邱邱么3 23z.4r 2乃24 2Fr 1=么:敏加茁2弘加3I.4乙2 讠243药2药:涩3氵,/+.=2勿勿2/z,现计算虽、FF:凡=F=F珥+Fr+Fr 禹2:幽R:吖 胛滋/z 絮苴

17、 生赤1;图6h:37h 2FF=+r=把系数项和 自由项代FF.=.+亻.涩2M。Q N涩 2/z u12h:3 勹,=l r 钅:4=11=11+J 2J2+2J2+l T2J2+r+r/+。I+。;+I+社I入典型方程,解出 1J2二、支座移动厶1俄+妩坞+FP k0 0_ _ _ _/t l o l+/t z l+凡厶1、厶2、九1、九2计算同前。现计算FP1冖FP21k=1k+尸占。+尸爵。尸。=尸r 2。+尸|。+3。钅2t.F占,邱k刂F7i 1,刂F7i 1,:r :.=丬纟Jj 212i:oFr k=F首2。=6氵13,/12订:/l 纨尸亻kF等,.=3h 2?昭J2厶:夕

18、心昭。+犭:汐夕F。F.=oFr I。=FJ%。=2氵13汐6氵13现计算FP1,、FP2FRk=FFR2,=F甘k+3订2DFP1,=珥1,+珥1,+a 甘,FP2,=J;2,+亻2,+亻:,=12i:=6i:号+3i 2+号-6i:2i:汐汐田l z l把系数项和 自由项代入典型方程,解出J 11+l r.J2+J+J f+11+2J2+F。,+F。,Fw 11+2J2+F,+社,_ _ _ _ _ _几风2 0M卩+:;.+黹6彳 位移法计算举例位移法计算步骤:1 确定基本未知量,建立基本系,列出典型方程;2 作单位位移图及荷载弯矩图,计算劲度系数及 自由项;3 求佯典型方程,得基本未知

19、量;4 根据迭加原理作内力图并校核。一、平行柱刚架-n解:1 基本未知量甲1 甲2 z j:,基本系如图典型方程:厶1砑+厶c/,+厶+FP1P=0=0=0丸1砑+丸c/,+丸+FP2Pb 9基本系丸l c/,l+尼2c/,+尼+FP3P2 作单位位移弯矩 图,荷载弯矩 图:系数计算:氏1=4氵+4氵=8氵厶2=2氵.2 3氵+4氵=7氵丸:=九2=o、:12 2氏:=九1=b,自由项计算:FF1P=g 2闸2F;2P=0FF:P=_g 2FF:Pg2 如图)g 作用1 求佯 典 型 方 程田1田2:其中宓=竺。4作最后内力图:=003763g 2=_001075g 2=0 0605 丝 竺

20、o 3Tr y 2o OJ2g g(162g o 129o 032迭加原理作弯矩 图o 371丿 冫f 捏囝(x g 2)由 图作FQ图、夙图飞 求解 典 型 方 程田1=003763田2=_001075:=00605g 2g 2g 2(162g go 0323其中宓=迭加原理作弯矩图o 3Tr y 2凡图(g )由图作Fk 图、R图孔 求解 典 型 方 程田1田2:=003763g 2=_001075=0 0605 丝 竺 gg 2o i 古。916勿其中宓=迭加原理作弯矩图o 3Tr y 2风 臣 彐(g )彐例 计算图示结构内力并绘弯矩 图。解:1 基本系未知量 基本系:50k 丑4=刁

21、60k Bz 凶囫X原结构2 单位弯矩图,荷载弯矩图:系数计算:拓=F。血+F。D兰1飞衄=刃+岽+詈)=蔷汝B一庀凡扭=蛛Yl凡Dc=T恿80叼 J1283J128扌丑.=Ja l _仞一m凡姐=9EJ石2=b=F。Fr+F。Gj,=J128叼 J12864厶=l2庀=F。D+F。GF;昙L+钅|=凡n=9_几 吒叻 卫 龙 J9J64F。c FJ丿缶EJ旦炳2亠=刃129C刃16(e)n/r 2沼图9巴I649J64一一半i120m7EJ凡Fc=129一吖l_自由项计算(MP=0):FF1P=-60妃(F 2P=-50妃(3 解典型方程得:罟J1 等J2-60=o芋J1+2甘忌二J2-50

22、=o1095z l 1=z l 2=f r1400f r4 作最后弯矩 图:迭加原理作弯矩 图J亻=J亻l z l l+J亻2z l 2+J压 l O2l O2 7对无穷大杆仵杆端弯矩 由结点平衡旺奶=一旺鸟 扛=1027n m旺讷=一旺v c _M,=480n m 图(n m)C)例 作 图示结构m a r g。H仍+12z j,+FF1P=0q+,z l 2+F 2P=03:C丿 丿+2228氵+6氵+3氵=17氵拓21=_15氵+3氵=15氵6氵 15氵 15氵 9氵+=4 4 4 4拓拓n拓,=-32一 脚吖2=8+15宓冯-32=o砑=o9+4喻+r 9马=2133氵-48=o例 作

23、 图示结构m a r g。解:(D 对图示结构分为在对称荷载作用下及反对称荷载作用下两种倩况叠加。例 作图示结构在变温下的弯矩图刃=常数,屁=系数,矩形截面。11砜+F=0H=4氵+3氵=7氵斋材 料 线 膨 胀舀基本系变温下变形圈籀 筝:珥c 们o 叫i 5u 口FF分两部分:FF=耳+亻层1珀于结构中牲轴上变温引起各杆伸长缩短雨引起附加刚臂上约束反力矩。喵油于结构各杆内外纤维温差日起各杆弯曲雨日起附加刚臂上约束反力矩。40姒珥40姒i 5u 口FF分两部分:FF=耳+亻J=-30泣+15泣=_15泣 占I=600历-400历=200泣凡=f 飞+J奇=-1&兹+20Q叻=18&兹3750刃

24、珥首f40姒重5泣FF分两部分:FF=耳+亻砑=_FP1f/民1=185m/T氵=18v/Ti l/r=i l/r l 田l+M+M/J9r 励=85刃,l+咖+5缸=7 i l/r 钌=o,)鸫5刃,l+。c】0缸+30缸=卫型丝 竺7 Jf 3750J2220JJ=0氵)85/7)+400沥-30沥=7 Il 9J作图示结构在支座沉陷下m a r g,EJ=常数。TL解:朔+FFP=o厶1=+j+j+=1FF1,=耳1,+亻1,=+00=001&饵=_FF1庀11=001吖11=翎0016夕 l、妓阝o 04io Ol 弧度r=r 叩1+r+r f例 作 图示结构在支座沉陷下m a r g,EJ=常数。o 00727o 00291解:朔+FFP=o厶1=+j+j+=1 l、妓FF1,=耳1,+亻1,=+00=001&饵=_FF1庀11=001吖11=翎0016夕o O1345阝o 04io Ol 弧度r=r 叩1+r+r fD伽犰