2024版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7节离散型随机变量的分布列及数字特征学案含解析新人教B版202305182131.doc

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1、2024版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7节离散型随机变量的分布列及数字特征学案含解析新人教B版202305182131第7节离散型随机变量的分布列及数字特征一、教材概念结论性质重现1随机变量的有关概念(1)随机变量：一般地，如果随机试验的样本空间为，而且对于中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量(2)离散型随机变量：若随机变量的所有可能的取值都是可以一一列举出来的，那么其是离散型随机变量(1)离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的(2)若X是随机变量，则YaXb(a，b为

2、常数)也是随机变量2离散型随机变量的分布列(1)定义：离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.Xx1x2xkxnPp1p2pkpn(2)性质：pk0，k1,2，n；kp1p2pn1.判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi0，i1,2，n及p1p2pn1检验3离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xkxnPp1p2pkpn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xnpnipi为随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)它刻画了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X)xiE(X)2pi为离散型随机变量X的方差，离散型

3、随机变量X的方差D(X)也可用DX表示一般地称为离散型随机变量X的标准差，它可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态(3)E(X)x1p1x2p2xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加4均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(a，b为常数)(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)5两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，那么E(X)p

4、，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)1若X1，X2相互独立，则E(X1X2)E(X1)E(X2)2均值与方差的关系：D(X)E(X2)E2(X)3超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X).二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( )(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义( )(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布( )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变

5、量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小( )(5)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事( )2设随机变量X的概率分布列为P(Xk)pk(1p)1k(k0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是()A0和1Bp和p2Cp和1pDp和(1p)pD解析：由X的分布列知，P(X0)1p，P(X1)p，故E(X)0(1p)1pp，易知X服从两点分布，所以D(X)p(1p)3已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()AB4 C1D1A解析：E(X)101，E(Y)E(2X3)2E(X)33.4已知离散型随机变量X的分布列为X012P0.

6、512qq2则常数q_.1解析：由分布列的性质得0.512qq21，解得q1或q1(舍去)5(2021延庆区调研)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_乙解析：E(X)00.410.320.230.11，E(Y)00.310.520.20.9，所以E(Y)E(X)，故乙的技术较好6若随机变量X满足P(Xc)1，其中c为常数，则D(X)的值为_0解析：因为P(Xc)1，所以E(X)c1c，所以D(X)(cc)210.考点1离散型随机变量的分布

7、列及性质基础性(2020南京师大附中高三模拟)某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的(1)求恰有2人申请A大学的概率；(2)求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)解：(1)所有可能的方式有34种，恰有2人申请A大学的情况有C22种，从而恰有2人申请A大学的概率为.(2)由题意可知，随机变量的可能取值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3).所以随机变量X的分布列为X123PE(X)123.求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值(2)求X取每个值的概率(3)写出X的分

8、布列求离散型随机变量的分布列的关键，是求随机变量所取值对应的概率在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y2X1的分布列；(2)求随机变量|X1|的分布列；(3)求随机变量X2的分布列解：(1)由分布列的性质可知，020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表为X012342X113579从而Y2X1的分布列为Y13579P0.20.10.10.30.3(2)列表为X01234|X1|10123所以P(0)P(X1)0.1，P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(2)P(X3)0.3，P(3)

9、P(X4)0.3，故|X1|的分布列为0123P0.10.30.30.3(3)首先列表为X01234X2014916从而X2的分布列为014916P0.20.10.10.30.3考点2离散型随机变量的均值与方差综合性考向1离散型随机变量的均值与方差为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所

10、付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位：元)，求的分布列与数学期望E()、方差D()解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0元、40元、80元两人都付0元的概率为p1；两人都付40元的概率为p2；两人都付80元的概率为p3.所以，两人所付费用相同的概率为pp1p2p3.(2)的可能取值为0,40,80,120,160，且P(0)，P(40)，P(80)，P(120)，P(160)，所以的分布列为04080120160PE()0408012016080，D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.求离散型随机变量的均值

11、、方差的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值(2)求X的每个值的概率(3)写出X的分布列(4)由均值定义求出E(X)，D(X)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用考向2二项分布的均值与方差(1)(2020浙江高三模拟)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(nN*)个黑球现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球设摸得白球个数为X，若D(X)1，则E(X)()A1B2 C3D4B解析：由题意，XB(4，p)因为D(X)4p(1p)1，所以p，E(X)4p42.故选B.(2)某市旅游局为了进一步开发旅游资源，需要了解游客的情况，以便制定相应的策略在某

12、月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如图所示若景点甲中的数据的中位数是126，景点乙中的数据的平均数是124.求x，y的值；若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时间内的样本数据(视样本频率为概率)现从这段时间内任取4天，记其中游客数不低于125的天数为，求的期望与方差解：由题意知甲的中间两位数的尾数为7，x.根据中位数为126，即6，所以x5.乙中以124为平均数，则109可表示为15,115可表示为9，可列出等式1596129111710，则12410114，y4，所以x5，y4.由题意知，因为景点甲的每一天的游客数不低于125的概率为，任取4天，即是进行了4次独立重复

13、试验，其中有次发生，故随机变量B，所以E()4，D()4.二项分布的均值与方差(1)如果B(n，p)，则用公式E()np，D()np(1p)求解，可大大减少计算量(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同样还可求出D(ab)1(2021陕西省第三次联考)同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是()A1B2 C DA解析：因为一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为，所以XB，所以E(X)41.故选A.2从甲地到乙地要经过3个十

14、字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.考

15、点3均值与方差在决策问题中的应用应用性某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和.项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为X1300150P所以E(X1)300(150)200(万元)若按“项目二”投资，设获利为X2万元，

16、则X2的分布列为X25003000P所以E(X2)500(300)0200(万元)D(X1)(300200)2(150200)235 000，D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.所以E(X1)E(X2)，D(X1)3.71105，所以建议企业选择方案二第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布数学文化与概率数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，纵观近几年高考，概率统计部分以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开下面通过对典型例题的剖析，让同学们增加对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解

17、，提升数学核心素养以古代文化经典为素材中国古代四大艺术，琴棋书画，源远流长，相传尧舜以棋教子，在春秋、战国时期，围棋已广为流行围棋盒子中有多粒黑子和白子已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为()A. B.C.D.1C解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则CAB，且事件A与B互斥所以P(C)P(A)P(B).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.1(2020潍坊市高三模拟)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于

18、齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为()A. B.C. D.A解析：分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌的马获胜的有Ba，Ca，Cb，共3场比赛，所以田忌的马获胜的概率为.2(2020沈阳市东北育才学校高三模拟)生活中人们常用“通五经，贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”为弘扬中国传统文化，某校在

19、周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为()A. B.C. D.B解析：由题意知样本点总数nA720，“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：“数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼、乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有A6种情况，故有42648(种)“数”排第二位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼、乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有A6(种)情况，则有3263

20、6(种)情况由分类加法计数原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排共有483684(种)情况所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率p.故选B.以数学家为素材我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A. B.C. D.C解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求

21、概率p.故选C.(2020渭南市高三模拟)费马素数是法国大数学家费马命名的，形如22n1(nN)的素数(如：22013)为费马素数在不超过30的正偶数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()A. B.C. D.B解析：在不超过30的正偶数中随机选取一数，样本点总数n15，能表示为两个不同费马素数的和的只有835,20317,22517，共有3个故它能表示为两个不同费马素数的和的概率是.以新时代气息为背景(2020重庆巴蜀中学高二期中)袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第

22、三次停止的概率利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231130133231013320122103233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为()A. B. C. D.B解析：经随机模拟产生的18组随机数中，恰好第三次就停止包含的基本事件有023,123,132，共3个由此可以估计，恰好第三次就停止的概率p.故选B.电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是_解析：由于知识竞赛有5个板块，所以共有C10(种)结果某参赛队从中任选2个主题作答，选中“中华诗词”主题的结果有C4(种)，则“中华诗词”主题被选中的概率为p.