2024版新教材高考数学一轮复习第2章函数的概率与基本初等函数Ⅰ第2节函数的单调性与最值学案含解析新人教A版20230519115.doc

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1、2024版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第5节基本不等式学案含解析新人教A版20230519113第二节函数的单调性与最值一、教材概念结论性质重现1单调递增、单调递减一般的，设函数f (x)的定义域为I，区间DI：(1)如果x1，x2D，当x1x2时，都有f (x1)f (x2)，那么就称函数f (x)在区间D上单调递增(2)如果x1，x2D，当x1f (x2)，那么就称函数f (x)在区间D上单调递减2增函数、减函数(1)当函数f (x)在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数；(2)当函数f (x)在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数1单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特

2、征一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可2增、减函数定义的等价形式对于x1，x2D，都有(x1x2)f (x1)f (x2)0(0(0，解得x4或x0”的是()Af (x)2xBf (x)|x1|Cf (x)xDf (x)ln(x1)AD解析：由(x1x2)f (x1)f (x2)0可知，f (x)在(0，)上是增函数，A，D选项中，f (x)为增函数；B中，f (x)|x1|在(0，)上不单调；对于f (x)x，因为y与yx在(0，)上单调递减，因此f (x)在(0，)上是减函数故选AD4试讨论函数f (x)(a0)在(1,1)上的单调性解：(方法一：定义

3、法)设1x1x21，f (x)aa，则f (x1)f (x2)aa.因为1x1x20，x110，x210时，f (x1)f (x2)0，即f (x1)f (x2)，函数f (x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f (x1)f (x2)0，即f (x1)0时，f (x)0，函数f (x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f (x)在(1，1)上单调递增判断函数的单调性和求单调区间的方法定义法一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论图象法若f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降判断函数的单调性导数法先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间性质法对于

4、由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增增增，增减增，减减减，减增减”进行判断复合法对于复合函数，先将函数f (g(x)分解成f (t)和tg(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断考点2函数的最值(值域)综合性(1)函数y|x1|x2|的最小值为_3解析：(方法一)函数y作出函数的图象如图所示根据图象可知，函数y|x1|x2|的最小值为3.(方法二)利用绝对值不等式的性质y|x1|x2|x1|2x|x12x|3.故函数的最小值为3.(2)函数f (x)log2(x2)在区间1,1上的最大值为_3解析：由于y在1,1上单调递

5、减，ylog2(x2)在1,1上单调递增，所以f (x)在1,1上单调递减，故f (x)在1,1上的最大值为f (1)3.(3)函数f (x)的最大值为_4解析：当x0时，f (x)x24x(x2)24，而2(，0，此时f (x)在x2处取得最大值，且f (2)4；当x0时，f (x)sin x，此时f (x)在区间(0，)上的最大值为1.综上所述，函数f (x)的最大值为4.求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法

6、求最值(4)分离常数法：求形如y(ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值1函数y的值域为_1,1)解析：由y，可得x2.由x20，知0，解得1yf (3)f (2)Bf ()f (2)f (3)Cf ()f (3)f (2)Df ()f (2)f (3)f (2)，即f ()f (3)f (2)比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解考向2解不等式已知函数f (x)ln

7、 x2x，若f (x24)2，则实数x的取值范围是_(， 2)(2, )解析：因为函数f (x)ln x2x在(0，)上单调递增，且f (1)ln 122.由f (x24)2得f (x24)f (1)所以0x241，解得x2或2xf (h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)0成立，则实数a的取值范围为_4,8)解析：由题意，函数f (x)在(，1和(1，)上分别单调递增，且f (x)在(，1上的最高点不高于其在(1，)上的最低点，即解得4a8.利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的

8、单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小1定义在R上的偶函数f (x)满足f (x)f (x2)，且在1,0上单调递减设af ()，bf (2)，cf (3)，则a，b，c的大小关系是()Abca Babc Cbac DacbC解析：因为偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，所以函数f (x)的周期为2，则af ()f (2)，bf (2)f (0)，cf (3)f (1)因为120，且函数f (x)在1,0上单调递减，所以ba0，x1x2，且f (a2a)f (2a2)，则实数a的取值范

9、围为_0,1)解析：因为函数f (x)满足(x1x2)f (x1)f (x2)0，x1x2，所以函数f (x)在2,2上单调递增，所以22a2a2a2，解得0a0)(2)若f (xa)，则T2a(a0)(3)若f (xa)，则T2a(a0)4函数图象的对称性(1)若函数yf (xa)是偶函数，即f (ax)f (ax)，则函数yf (x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f (2ax)f (x)或f (x)f (2ax)，则yf (x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf (xb)是奇函数，即f (xb)f (xb)0，则函数yf (x)的图象关于点(b,0)中心对称二、基本

10、技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域关于坐标原点对称()(2)若函数f (x)为奇函数，则一定有f (0)0()(3)若函数yf (xa)是偶函数，则函数yf (x)的图象关于直线xa对称()(4)若函数yf (xb)是奇函数，则函数yf (x)的图象关于点(b,0)中心对称()2下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2xB解析：A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数故选B3已知f (x)满足f (x2)f (x)当x0,1时，f (x)2x，则f 等于()

11、A B C D1B解析：由f (x2)f (x)，知函数f (x)的周期T2，所以f f 2.4已知f (x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B C DB解析：因为f (x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，所以a12a0，所以a. 又f (x)f (x)，所以b0，所以ab.5已知定义在R上的函数f (x)满足f (x2)，当x(0,2时，f (x)2x1，则f (9)_.1解析：因为f (x2)，所以f (x4)f (x2)2f (x)，得T4，f (9)f (1)1.考点1函数奇偶性的判断基础性1(多选题)设函数f (x)，则下列结论正确的是()A|f

12、 (x)|是偶函数 Bf (x)是奇函数Cf (x)|f (x)|是奇函数 Df (|x|)f (x)是偶函数ABC解析：因为f (x)，所以f (x)f (x)所以f (x)是奇函数，所以|f (x)|是偶函数，f (x)是奇函数因为f (|x|)f (|x|)，所以f (|x|)是偶函数，所以f (|x|)f (x)是奇函数故选ABC2已知函数f (x)则该函数的奇偶性是_奇函数解析：当x0时，x0，所以f (x)x2x(x2x)f (x)；当x0，f (x)x2x(x2x)f (x)，所以f (x)是奇函数判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法，即根据奇、偶函数的定义来判断(2)图象法，即

13、利用奇、偶函数的对称性来判断；(3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断考点2函数奇偶性的简单应用基础性1若函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)log2(x2)1，则f (6)()A2 B4 C2 D4C解析：根据题意得f (6)f (6)1log2(62)132.2(2019全国卷)设f (x)为奇函数，且当x0时，f (x)ex1，则当x0时，f (x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex1D解析：当x0.因为当x0时，f (x)ex1，所以 f (x)ex1. 又因为 f (x)为奇函数，所以f (x)f (x)ex1.3若函数f

14、(x)xln(x)为偶函数，则a_.1解析：令g(x)ln(x)，若f (x)xg(x)为偶函数，则必有g(x)为奇函数，所以g(0)ln0，所以a1.经验证，a1满足题意应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f (x)的方程(组)，从而得到f (x)的解析式(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x)f (x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值考点3函数的周期性综合性(1)设f

15、(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x4)f (x)当x0,2时，f (x)2xx2，则f (2 023)_.1解析：因为f (x4)f (x)，所以函数f (x)的周期T4. 又f (1)1，所以f (2 023)f (14506)f (1)f (1)1.(2)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数若对于x0，都有f (x2)，且当x0,2)时，f (x)log2(x1)，则f (2 019)f (2 021)的值为_0解析：当x0时，f (x2)，所以f (x4)f (x)，即4是f (x)(x0)的一个周期所以f (2 019)f (2 019)f (3)1，f (2

16、021)f (1)log221，所以f (2 019)f (2 021)0.1若本例(1)中的条件不变，则f (x)(x2,4)的解析式是_f (x)x26x8解析：当x2,0时，x0,2由已知得f (x)2(x)(x)22xx2.又f (x)是奇函数，所以f (x)f (x)2xx2. 所以f (x)x22x.又当x2,4时，x42,0，所以f (x4)(x4)22(x4)又f (x)是周期为4的周期函数，所以f (x)f (x4)(x4)22(x4)x26x8.故x2,4时，f (x)x26x8.2若将本例(2)中“f (x2)”变为“f (x2)f (x)”，则f (2 019)f (2

17、 021)_.0解析：由f (x2)f (x)可知T4，所以f (2 019)1，f (2 021)1，所以f (2 019)f (2 021)0.函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性1已知函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f (1)2，则f (2 021)()A2 B0 C2 D4C解析：因为函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f (x)为奇函数，

18、所以f (2 021)f (50541)f (1)f (1)2.故选C2设定义在R上的函数f (x)同时满足以下条件：f (x)f (x)0；f (x)f (x2)；当0x1时，f (x)2x1.则f f (1)f f (2)f _.1解析：依题意知函数f (x)为奇函数且周期为2，则f (1)f (1)0，f (1)f (1)，即f (1)0.所以f f (1)f f (2)f f 0f f (0)f f f f (0)f f f (0)212011.考点4函数性质的综合应用应用性考向1函数的奇偶性与单调性综合已知奇函数f (x)在R上是增函数，g(x)xf (x)若ag(log25.1)，

19、bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()AabcBcbaCbacDbclog25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，所以g(3)g(log25.1)g(20.8)，即cab.考向2函数奇偶性与周期性的综合定义在R上的偶函数f (x)满足f (x3)f (x)若f (2)1，f (7)a，则实数a的取值范围为()A(，3)B(3，)C(，1)D(1，)D解析：因为f (x3)f (x)，所以f (x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f (7)f (79)f (2)又因为函数f (x)是偶函数，所以f (2)f (2)，所以f (7)f (2)1，所

20、以a1，即a(1，)故选D考向3函数单调性、奇偶性与周期性的综合定义在R上的偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，且在1,0上单调递减设af (2.8)，bf (1.6)，cf (0.5)，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbcaDacbD解析：因为偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，所以函数f (x)的周期为2.所以af (2.8)f (0.8)，bf (1.6)f (0.4)f (0.4)，c f (0.5)f (0.5)因为0.80.5cb.故选D解决函数的周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解1设f (x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f (x)2x(1x)，则f _.解析：由题意可知，f f f 2.2已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf (x)，则实数x的取值范围是_(3,2)解析：因为g(x)是奇函数，所以当x0时，g(x)g(x)ln(1x)易知f (x)在R上是增函数，由f (6x2)f (x)，可得6x2x，即x2x60，所以3x2.