2024版新教材高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节第1课时导数与函数的单调性学案含解析新人教A版20230519127.doc

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1、2024版新教材高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节第1课时导数与函数的单调性学案含解析新人教A版20230519127第二节导数的应用第1课时导数与函数的单调性一、教材概念结论性质重现导数与函数的单调性的关系条件结论函数yf (x)在区间(a，b)上可导f (x)0f (x)在(a，b)内单调递增f (x)0在区间(a，b)上成立”是“f (x)在区间(a，b)上单调递增”的充分不必要条件二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)若函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f (x)0.()(2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f (x)0，则

2、f (x)在此区间内不具有单调性()(3)若在区间(a，b)内f (x)0且f (x)0的根为有限个，则f (x)在区间(a，b)内是减函数()2函数yf (x)的导函数yf (x)的图象如图所示，则函数yf (x)的图象可能是() D解析：由导函数的图象可知函数在(，0)上是先减后增，在(0，)上先增后减再增故选D3函数f (x)x33x1的单调递增区间是()A(1,1) B(，1)C(1，) D(，1)，(1，)D解析：f (x)3x23.由f (x)0得x1.故函数f (x)x33x1的单调递增区间是(，1)，(1，)故选D4已知函数f (x)，则()Af (2)f (e)f (3) B

3、f (3)f (e)f (2)Cf (3)f (2)f (e) Df (e)f (3)f (2)D解析：f (x)的定义域是(0，)因为f (x)，所以x(0，e)时，f (x)0；x(e，)时，f (x)f (3)f (2)5若函数f (x)sin xkx在(0，)上是增函数，则实数k的取值范围为_1，)解析：因为f (x)cos xk0，所以kcos x，x(0，)恒成立当x(0，)时，1cos x0，即8x0，解得x，所以函数y4x2的单调递增区间为.故选B2函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1) B(0,1)C(1，)D(0，)B解析：yx2ln x，yx(x0)令y0，得

4、0x0，则其在区间(，)上的解集为，即f (x)的单调递增区间为，.求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域；(2)求f (x)；(3)在定义域内解不等式f (x)0，得函数f (x)的单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f (x)0，则当x(，0)时，f (x)0；当x时，f (x)0.故f (x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减若a0，则f (x)在(，)上单调递增若a0；当x时，f (x)0，所以f (x)在(0，)上为增函数(2)当a0时，f (x)，则有：当x(0，)时，f (x)0，所以f (x)的单调递增区间为(，)综上所述，当a0时，f (x)的单调递增区间为

5、(0，)，无单调递减区间；当a0时，函数f (x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)解决含参数的函数单调性问题的注意点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点已知f (x)axex2aexx2x，求f (x)的单调区间解：f (x)的导函数为f (x)(x1)(aex1)(1)当a0时，f (x)(x1)若x1，则f (x)0，f (x)单调递减；若x1，则f (x)0，f (x)单调递增(2)当a0时，若x1，则f (x)0，f (x)单调递减；若x1，则f (x)

6、0，f (x)单调递增(3)当a0时，若a，则f (x)(x1)(ex11)0，f (x)在R上单调递增若a，则f (x)0，即为(x1)0，可得x1或xln ；f (x)0，即为(x1)0，可得ln x1.若0a，则f (x)0，即为(x1)0，可得x1或xln ；f (x)0，即为(x1)0，可得1xln .综上，当a0时，f (x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)；当a时，f (x)的单调递增区间为R；当a时，f (x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为；当0a时，f (x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为.考点3导数与函数单调性的简单应用综合性考向1利用导

7、数解不等式若函数f (x)exexsin 2x，则满足f (2x21)f (x)0的x的取值范围是()AB(，1)CD(1，)B解析：函数f (x)exexsin 2x，定义域为R，且满足f (x)exexsin(2x)(exexsin 2x)f (x)，所以f (x)为R上的奇函数又f (x)exex2cos 2x22cos 2x0恒成立，所以f (x)为R上的单调递增函数由f (2x21)f (x)0，得f (2x21)f (x)f (x)，所以2x21x，即2x2x10，解得x1或x.所以x的取值范围是(，1).故选B利用导数解不等式的关键，是用导数判断函数的单调性，或者构造函数后使用导

8、数同时根据奇偶性变换不等式为f (g(x)f (h(x)，利用单调性得出关于g(x)，h(x)的不等式，解此不等式得出范围考向2利用导数比较大小(多选题)(2021滨州期末)已知定义在上的函数f (x)的导函数为f (x)，且f (0)0，f (x)cos xf (x)sin x0，则下列判断中正确的是()Af 0Cf f Df f CD解析：令g(x)，x，则g(x).因为f (x)cos xf (x)sin x0，所以g(x)，所以gg，所以，即f f ，故A错误；又f (0)0，所以g(0)0，所以g(x)0在上恒成立因为ln ，所以f ，所以gg，所以，即f f ，故C正确；因为，所以

9、gg，所以，即f f ，故D正确故选CD利用导数比较大小的方法利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并得到辅助函数的单调性，进而根据单调性比较大小考向3利用导数求参数的取值范围已知函数f (x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f (x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f (x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解：(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因为h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解，即a有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G

10、(x)1，所以G(x)min1，所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1，0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立由(1)知G(x)，所以aG(x)max.而G(x)1.因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.又因为a0，所以a的取值范围是(0，)本例第(2)问中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解：若h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)0在1,4上有解，所以当x1,4时，a有解又当x1,4时，min1，所以a1.又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)根据函数的单调性求

11、参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf (x)在区间(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f (x)单调递增的充要条件是对任意的x(a，b)都有f (x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f (x)不恒为零，要注意等号是否可以取到(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别分离参数后对应不同的最值类型1已知定义域为R的奇函数yf (x)的导函数为yf (x)当x0时，xf (x)f (x)0.若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBbcaCacbDca0时，xf f (x)0，所以g(x)0.所以g(x)在(0，)上

12、是减函数由f (x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(3)g(3)又ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)g(3)，所以g(3)g(e)g(ln 2)，故ca0，且a1，函数f (x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是()A(1,5B2,5C(1，)D(，5B解析：函数f (x)在R上单调递增，则a1.当x1时，f (x)x2aln x，则f (x)2x，则2x3ax40在1，)上恒成立所以a2x2在1，)上恒成立因为y2x2在1，)上单调递减，所以ymax2，则a2.当x1时，a145.综上，实数a的取值范围是2,5故选B3已知函数f (x)x2cos x，x，则满足f (x0)f 的

13、x0的取值范围为_ 解析：f (x)2xsin x当x时，f (x)0，所以f (x)在上单调递增由f (x0)f ，知x0.又因为f (x)f (x)，所以f (x)为偶函数，所以x0，得x1；令f (x)0，得0x1.所以f (x)的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(0,1)(2)由题意g(x)x2aln x，g(x)2x.若函数g(x)为1，)上的单调递增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立设(x)2x2.因为(x)在1，)上单调递减，所以(x)max(1)0，所以a0.若函数g(x)为1，)上的单调递减函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，

14、)上恒成立因为(x)没有最小值，不满足题意所以实数a的取值范围为0，).若函数f (x)x3ax21在区间1,2上单调递减，求实数a的取值范围四字程序读想算思求实数a的取值范围1.利用导数研究函数单调性的方法；2.从什么角度列不等式求取值范围？1.求f (x)；2.解不等式f (x)0转化与化归、数形结合f (x)在1,2上单调递减由函数f (x)在区间a，b上单调递增(减)可知f (x)0(f (x)0)在区间a，b上恒成立，列出不等式f (x)3x22ax x(3x2a)1.函数最值；2.不等式恒成立；3.一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关系思路参考：等价转化为f (x)0对x

15、1,2恒成立，分离变量求最值解：f (x)3x22ax.由f (x)在1,2上单调递减知f (x)0，即3x22ax0在1,2上恒成立，即ax在1,2上恒成立故只需amax，故a3.所以a的取值范围是3，)思路参考：等价转化为f (x)0对x1,2恒成立，数形结合列不等式组求范围解：f (x)3x22ax.由f (x)在1,2上单调递减知f (x)0对x1,2恒成立所以解得a3.所以a的取值范围是3，)思路参考：分类讨论f (x)的单调性，根据区间1,2是单调递减区间的子集求参数范围解：f (x)3x22ax.当a0时，f (x)0，故yf (x)在(，)上单调递增，与yf (x)在区间1,2

16、上单调递减不符，舍去当a0时，由f (x)得0xa，即f (x)的单调递减区间为.由f (x)在1,2上单调递减得a2，得a3.综上可知，a的取值范围是3，)1本题考查函数的单调性与导数的关系，解法较多，基本解题策略是转化为不等式恒成立问题，即“若函数f (x)在区间D上单调递增，则f (x)0对xD恒成立；若函数f (x)在区间D上单调递减，则f (x)0对xD恒成立”或利用集合间的包含关系处理；若yf (x)在区间D上单调，则区间D是相应单调区间的子集2基于课程标准，解答本题一般需要运算求解能力、推理论证能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养3基于高考数学评价体系，本题利用函数的单调性与

17、导函数的关系，将所求问题转化为熟悉的数学模型，解题过程需要知识之间的转化，体现了综合性1已知函数f (x)2cos x(msin x)3x在(，)上单调递减，则实数m的取值范围是()A1,1BCDB解析：f (x)2sin x(msin x)2cos x(cos x)3.因为f (x)在(，)上单调递减，所以f (x)0恒成立，整理得4sin2x2msin x50.设sin xt(1t1)，则不等式g(t)4t22mt50在区间1,1上恒成立于是有即故实数m的取值范围是.故选B2已知函数f (x)x3kx在(3,1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_(0,27)解析：(方法一：间接法)若f

18、 (x)x3kx在(3,1)上是单调递增函数，则f (x)3x2k0在(3,1)上恒成立，即k3x2在(3,1)上恒成立，故k0.若f (x)x3kx在(3,1)上是单调递减函数，则f (x)3x2k0在(3，1)上恒成立，即k3x2在(3,1)上恒成立，故k27.所以当函数f (x)x3kx在(3,1)上是单调函数时，实数k的取值范围是k0或k27，当函数f (x)x3kx在(3,1)上不是单调函数时，实数k的取值范围是0k0时，由f (x)3x2k0，得x0，得x.在，上f (x)是增函数要满足函数f (x)x3kx在(3,1)上不是单调函数，由对称性得，3，所以k0，右侧f (x)0x0

19、附近的左侧f (x)0图象形如山峰形如山谷极值f (x0)为极大值f (x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点(1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定(2)对于可导函数f (x)，“f (x0)0”是“函数f (x)在xx0处有极值”的必要不充分条件2函数的最值与导数(1)函数f (x)在a，b上有最值的条件一般地，如果在区间a，b上函数yf (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf (x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤求函数yf (x)在区间(a，b)上的极值；将函数yf (x)的各极值与端点处的函数值f (a)

20、，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值(2)若函数f (x)在区间a，b内是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值；若函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)函数的极大值不一定比极小值大()(2)对可导函数f (x)，f (x0)0是x0点为极值点的充要条

21、件()(3)函数的极大值一定是函数的最大值()(4)开区间上的单调连续函数无最值()2f (x)的导函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的极小值点的个数为()A1B2C3D4A解析：由题意知在x1处f (1)0，且其两侧导数符号为左负右正，f (x)在x1左减右增故选A3函数f (x)2xxln x的极大值是()A B Ce De2C解析：f (x)2(ln x1)1ln x令f (x)0，得xe.当0x0；当xe时，f (x)0.所以xe时，f (x)取到极大值，f (x)极大值f (e)e.4若函数f (x)x(xc)2在x2处有极小值，则常数c的值为()A4 B2或6 C2 D6C

22、解析：函数f (x)x(xc)2的导数为f (x)3x24cxc2.由题意知，f (x)在x2处的导数值为128cc20，解得c2或6.又函数f (x)x(xc)2在x2处有极小值，故导数在x2处左侧为负，右侧为正当c2时，f (x)x(x2)2的导数在x2处左侧为负，右侧为正，即在x2处有极小值而当c6时，f (x)x(x6)2在x2处有极大值故c2.5函数f (x)2x32x2在区间1,2上的最大值是_8解析：f (x)6x24x2x(3x2)由f (x)0，得x0或x.因为f (1)4，f (0)0，f ，f (2)8，所以最大值为8.考点1利用导数求函数的极值综合性考向1根据函数的图象

23、判断函数的极值(多选题)已知函数f (x)在R上可导，其导函数为f (x)，且函数y(1x)f (x)的图象如图所示，则()A函数f (x)有极大值f (2)B函数f (x)有极大值f (2)C函数f (x)有极小值f (2)D函数f (x)有极小值f (2)BD解析：由题图可知，当x0；当2x1时，f (x)0；当1x2时，f (x)2时，f (x)0.由此可以得到函数f (x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值根据函数的图象判断极值的方法根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型考向2已知函数解析式求极值已知函数f (x)ln xax(aR

24、)(1)当a时，求f (x)的极值；(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数解：(1)当a时，f (x)ln xx，定义域为(0，)，且f (x).令f (x)0，解得x2.于是当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，)f (x)0f (x)ln 21故f (x)在定义域上的极大值为f (2)ln 21，无极小值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f (x)a.当a0时，f (x)0在(0，)上恒成立，即函数f (x)在(0，)上单调递增，此时函数f (x)在定义域上无极值点；当a0，x时，f (x)0，x时，f (x)0时，函数f (x)有一个极大

25、值点，且为x.求函数极值的一般步骤(1)先求函数f (x)的定义域，再求函数f (x)的导函数；(2)求f (x)0的根；(3)判断在f (x)0的根的左、右两侧f (x)的符号，确定极值点；(4)求出函数f (x)的极值考向3已知函数的极值求参数设函数f (x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f (x)在x2处取得极小值，求a的取值范围解：(1)因为f (x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f (x)ax2(2a1)x2ex，f (1)(1a)e.由题设知f (1)0，即(1a)e0，解得a1.所以a的值为1.(2

26、)由(1)得f (x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f (x)0.所以f (x)在x2处取得极小值若a，则当x(0,2)时，x20，ax1x10.所以2不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.已知函数极值点或极值求参数的两个关键(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证该点左右两侧的正负1(多选题)定义在区间上的函数f (x)的导函数f (x)图象如图所示，则下列结论正确的是()A函数f (x)在区间(0,4)单调递增B函

27、数f (x)在区间单调递减C函数f (x)在x1处取得极大值D函数f (x)在x0处取得极小值ABD解析：根据导函数图象可知，f (x)在区间上，f (x)0，f (x)单调递减，在区间(0,4)上，f (x)0，f (x)单调递增所以f (x)在x0处取得极小值，没有极大值所以A，B，D选项正确，C选项错误故选ABD2(2020青岛一模)已知函数f (x)(e2.718为自然对数的底数)若f (x)的零点为，极值点为，则()A1 B0 C1 D2C解析：当x0时，f (x)3x9为增函数，无极值令f (x)0，即3x90，解得x2，即函数f (x)的一个零点为2；当x0时，f (x)xex0

28、，无零点，f (x)exxex(1x)ex，则当1x0.当x1时，f (x)0，所以当x1时，函数f (x)取得极小值综上可知，2(1)1.故选C3函数f (x)的极小值为_解析：f (x).令f (x)0，得x1；令f (x)0，得2x0，解得x1；令f (x)0，解得x0时，f (x)0或f (x)0恒成立的充要条件是(4)243a10，即1612a0，解得a.综上，a的取值范围为.考点2利用导数求函数的最值应用性(2020北京卷)已知函数f (x)12x2.(1)求曲线yf (x)的斜率等于2的切线方程；(2)设曲线yf (x)在点(t，f (t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(

29、t)，求S(t)的最小值解：(1)因为f (x)12x2，所以f (x)2x.设切点为(x0,12x)，则2x02，即x01，所以切点为(1,11)由点斜式可得切线方程为y112(x1)，即2xy130.(2)显然t0，因为yf (x)在点(t,12t2)处的切线方程为y(12t2)2t(xt)，即y2txt212.令x0，得yt212；令y0，得x.所以S(t)(t212)，t0，显然为偶函数只需考察t0即可(t0，得t2；由S(t)0，得0t0，f (x)xeax1(2ax)a.由f (1)ea1(2a)a2，得ea1(2a)(a2)0，即(ea11)(2a)0，解得a1或a2.当a1时，

30、f (1)e012，此时直线y2x恰为切线，舍去所以a2.(2)当b2时，f (x)x2eax12ln xax，x0.设tx2eax1(t0)，则ln t2ln xax1，故函数f (x)可化为g(t)tln t1(t0)由g(t)1，可得g(t)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)，所以g(t)的最小值为g(1)1ln 112.此时，t1，函数f (x)的值域为2，)问题转化为：当t1时，ln t2ln xax1有解，即ln 12ln xax10，得a.设h(x)，x0，则h(x)，故h(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)，所以h(x)的最小值为h()，故a的最

31、小值为.求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，函数的解析式含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值1(2021福建三校联考)若方程8xx26ln xm仅有一个解，则实数m的取值范围为()A(，7)B(156ln 3，)C(1261n 3，)D(，7)(156ln 3，)D解析：方程8xx26ln xm仅有一个解等价于函数m(x)x28x6ln xm(x0)的图象与x轴有且只有一个交点对函数m(x)求导得m(x)2x8.当x(0,1)时，m(x)0，m(x)单调递增