2024版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率学案含解析新人教A版2023051913.doc

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1、2024版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率学案含解析新人教A版2023051913第三节随机事件的概率一、教材概念结论性质重现1样本点和样本空间随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点2概率与频率一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)我们称频率的这个性质为频率的稳定性因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)随机事件A发生的频率与概率的区别与联系随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客

2、观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近3事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系事件A发生，事件B一定发生事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系BA且AB事件A与事件B相等AB并事件(或和事件)事件A与事件B至少有一个发生事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(或积事件)事件A与事件B同时发生事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件事件A与事件B不能同时发生事件A与事件B互斥(或互不相容)AB互为对立事件A与事件B有且仅有一个发生事件A与事件B互为对立AB，AB4.概率的几个基本性质(1)概率

3、的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率P()1.(3)不可能事件的概率P()0.(4)如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)1P(A)，P(A)1P(B)如果AB，那么P(A)P(B)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AB)P(A)P(B)P(AB)5事件的相关概念1随机事件A，B互斥与对立的区别与联系当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥2从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，

4、是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)随机事件和随机试验是一回事()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生()(5)若A，B为互斥事件，则P(A)P(B)1.()(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()2一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶D解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”3将一枚硬币向上抛掷10次

5、，其中“正面向上恰有5次”是()A必然事件 B随机事件 C不可能事件 D无法确定B解析：抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生，所以正面向上5次是随机事件4把语文、数学、英语三本书随机分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，记事件A为“甲分得语文书”，事件B为“乙分得数学书”，事件C为“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()AA与B是不可能事件 BABC是必然事件CA与B不是互斥事件 DB与C既是互斥事件也是对立事件C解析：事件A，事件B，事件C都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B两项错误；事件A，事件B可能同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，C项正确；事件B与事件C既

6、不互斥，也不对立，D项错误故选C5容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)频数234542则样本数据落在区间10,40)的频率为0.45.6一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是_解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此所求概率为.考点1随机事件的关系基础性(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A是对立事件 B是不

7、可能事件C是互斥但不对立事件 D不是互斥事件C解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件(2)设条件甲：事件A与事件B是对立事件，结论乙：概率满足P(A)P(B)1，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A解析：若事件A与事件B是对立事件，则AB为必然事件再由概率的加法公式得P(A)P(B)1.投掷一枚硬币3次，满足P(A)P(B)1，但A，B不一定是对立事件如事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)，P(B)，满足P(A)P(B)1，但A，B不是对

8、立事件判断互斥事件、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集1(2020菏泽一中高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是()A“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”B“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”D“至少有1枚反面朝上”与“

9、2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件故选C

10、2口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个从中取出两个球，事件A“取出的两个球同色”，B“取出的两个球中至少有一个黄球”，C“取出的两个球中至少有一个白球”，D“取出的两个球不同色”，E“取出的两个球中至多有一个白球”下列判断中正确的序号为_A与D为对立事件；B与C是互斥事件；C与E是对立事件；P(CE)1；P(B)P(C)解析：显然A与D是对立事件，正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，不正确；CE为必然事件，P(CE)1，正确；P(B)，P(C)，不正确考点2随机事件的频率与概率基础性如图，A地到火车

11、站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分)10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)，所以用频率估计相应的概率p0.44.(2)选择L1的有

12、60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分)10202030304040505060选择L1的频率0.10.20.30.20.2选择L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5.因为P(A1)P(A2)，所以甲应选择L1.同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9.因为P(B1)P(B2)，所以乙应选择L2.1概率与频率的关系频率反映了一个随机

13、事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法1在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为()A49 B0.5 C0.51 D0.49C解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为0.51.2(2020潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调

14、查，其结果如下表：本科研究生合计35岁以下4030703550岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是()A该校教职工具有本科学历的概率低于60%B该校教职工具有研究生学历的概率超过50%C该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%D解析：对于选项A，该校教职工具有本科学历的概率p62.5%60%，故A错误；对于选项B，该校教职工具有研究生学历的概率p37.5%50%，故B错误；对于选项C，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p8.3%10%，故D正确故选D考点3互斥事件与对立事件的概率综合性经

15、统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)

16、P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)1P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后出各事件发生的概率，再求和(或差)间接法体现了“正难则反”的思想方法1抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表

17、示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A发生的概率为()A B C DC解析：抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果依题意P(A)，P(B)，所以P()1P(B)1.因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A)P(A)P().2(2020重庆八中高三模拟)某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为()A B C DC解析：4人到3个车站的方法总数为CA36，其中小李和小明在同一车站的方法数为A6.因此小李和小明在同一车站的概率是p，小李和小明不在同一车站

18、的概率为p1p.故选C第四节古典概型一、教材概念结论性质重现1古典概型具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性2一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A).其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数3古典概型的概率公式P(A).频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同名称不同点相同点频率计算公式频率计算中

19、的k，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值都计算了一个比值古典概型的概率计算公式是一个定值，对同一个随机事件而言，k，n都不会变化二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件()(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同()(4)从3，2，1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同()2

20、抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是()A B C DB解析：抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)，共6个样本点，而抛掷两枚质地均匀的骰子包含的样本点有36个，所以所求概率p.故选B3一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()A B C DD解析：一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)，(反，反)，(正，反)，(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故概率p.故选D4盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不

21、同的概率为_解析：设3个红色球为A1，A2，A3,2个黄色球为B1，B2，从5个球中，随机取出2个球的样本点有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个其中2个球的颜色不同的样本点有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个，所以所求概率为.5在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为_10解析：设原来口袋中白球、黑球的个数均为n.依题意，解得n5.所以原来口袋中小球的个数为2n10.6设m，n分别是先后

22、抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2mxn0有实根的概率为_解析：先后两次出现的点数中有5的情况有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x2mxn0有实根的情况有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种故所求事件的概率p.考点1古典概型的判断基础性1下列关于古典概型的说法中正确的是()试验中样本空间的样本点只有有限个；每个事件出现的可能性相等；每个样本点发生的可能性相等；样本点的总数为n，随机事件A

23、若包含k个样本点，则P(A).A B C DD解析：由古典概型的特征知正确，错误2下列问题中是古典概型的是()A种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C在区间1,4上任取一数，求这个数大于1.5的概率D同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的总数之和是5的概率D解析：A，B两项中的样本点发生不是等可能的；C项中样本点有无限多个；D项中样本点的发生是等可能的，且个数有限一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点才是古典概型考点2简单的古典概型的概率基础性(1)(2019全国卷)生物实验室有5只兔子，其

24、中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A B C DB解析：设5只兔子中测量过某项指标的3只记为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只记为b1，b2，从5只兔子中随机取出3只，样本空间(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个样本点事件“恰有2只测量过该指标”(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，

25、b1)，(a2，a3，b2)，共6个样本点故恰有2只测量过该指标的概率为.故选B(2)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A B C DD解析：(方法一)依题意，记两次取的卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足ab的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)因此所求的概率为.(方法二)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：样本点的总数为25，第一张卡片

26、上的数大于第二张卡片上的数的样本点的个数为10，故所求概率p.故选D(3)(2020全国卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取三点，则取到的三点共线的概率为()A B C DA解析：从O，A，B，C，D中任取3点的情况有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10种不同的情况由图可知取到的三点共线的有(O，A，C)和(O，B，D)两种情况，所以所求概率为.故选A古典概型中样本点个数的探求方法(1)列举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题(

27、2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识1(2020河北区高三二模)袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是()A B C DD解析：(1)由题意可得，从中任取3个球一共有C20(个)等可能的样本点，恰有1种颜色的情况有1种，即3个全是蓝球，恰有3种颜色的样本点有1236(个)，所以恰有2种颜色的样本点共13个，所以其概率为.故选D2(202

28、0太原市高三模拟)根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为()A B C DA解析：派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，样本点总数nCA36.甲、乙两位专家派遣至同一县区包含的样本点个数mCCA6.所以甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为.故选A考点3古典概型的交汇问题综合性考向1古典概型与平面向量的交汇(1)设平面向量a(m,1)，b(2，n)，其中m，n1,2,3,4，记“a(ab)”为事件A，则事件A发生的概率为()A B C DA解析：有序数对(m，n)的所有可能结

29、果数为4416.由a(ab)，得m22m1n0，即n(m1)2.由于m，n1,2,3,4，故事件A包含的样本点为(2,1)和(3,4)，共2个所以所求的概率P(A).故选A(2)(2019宿迁模拟)已知kZ， (k,1)，(2,4)若|4，则ABC是直角三角形的概率是_解析：因为|4，所以k.因为kZ，所以k3，2，1,0,1,2,3，当ABC为直角三角形时，应有ABAC，或ABBC，或ACBC由0，得2k40，所以k2.因为(2k,3)，由0，得k(2k)30，所以k1或3.由0，得2(2k)120，所以k8(舍去)故使ABC为直角三角形的k值为2，1或3，所以所求概率p.考向2古典概型与函

30、数的交汇(1)已知函数f(x)x3ax2b2x1.若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A B C DD解析：(1)f(x)x22axb2.由题意知f(x)0有两个不等实根，即4(a2b2)0，所以ab，有序数对(a，b)所有可能结果有339(种)，其中满足ab的有(1,0)，(2,0)，(3,0)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，共6种故所求概率p.(2)已知a0,1,2，b1,1,3,5，则函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数的概率是()A B C DA解析：因为a0,1,2，b1，1,3,5，所以样本

31、点总数n3412.函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数当a0时，f(x)2bx，符合条件的只有(0，1)，即a0，b1.当a0时，需要满足1，符合条件的有(1，1)，(1,1)，(2，1)，(2,1)，共4种所以函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数的概率是.求解古典概型交汇问题的思路求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：1连掷两次骰子得到的点数分别为m和n.记向量a(m，n)与向量b(1，1)的夹角为，则的概率是()A B C DC解析：cos .因为，所以mn.(m，n)一共有6636(种)不同组合满足mn的有12345621(种)所以所求的概率p.2已知函数f(x)cos，a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f(x)在0,4上零点的个数不小于4的概率为()A B C DB解析：依题意，函数f(x)在0,4上零点的个数不小于4等价于函数f(x)的周期的倍不大于4，即4，解得a，故a4,5,6.而所有a的值共6个，所以函数f(x)在0,4上零点的个数不小于4的概率为.