2024届东莞东华高级中学高三第二次调研数学试卷含答案.pdf

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1、 试卷第 1 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 绝密绝密启用前启用前 东莞东华高级中学东莞东华高级中学 2023-2024 年高三第二次调研年高三第二次调研 数数 学学（新课标（新课标I卷）卷）试卷类型：试卷类型：A 本试卷共本试卷共 6 页，页，22 小题，满分小题，满分 150分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应

2、位置上）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右将条形码横贴在答题卡右上角上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后

3、再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按不按以上要求作答的答案无效以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1（本题 5 分）已知集合2,ZAx xx=，2230Bx xx=的左焦点，A为C的右顶点，过F作C的渐近线的

4、垂线，垂足为M，且与y轴交于点P.若直线AM经过OP的靠近O的三等分点，则C的离心率为（）A2 B32 C3 D43 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9（本题 5 分）下图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）试卷第 3 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 A这 10 年粮食年产量的极差为 15 B这 1

5、0 年粮食年产量的第 65 百分位数为 33 C这 10 年粮食年产量的中位数为 29 D前 5 年的粮食年产量的方差大于后 5 年粮食年产量的方差 10（本题 5 分）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为 1 的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为2rad/s，起点为圆O与x轴正半轴的交点，Q的角速度大小为5rad/s，起点为角3的终边与圆O的交点，则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（）A22cos,sin99 Bcos,sin99 C55cos,sin99 Dcos,sin99 11（本题 5 分）如图，在长方体1111ABCDABC D中，124ABADAA=，点 E

6、为1AA的中点，点 F 为侧面11AAB B（含边界）上的动点，则下列说法正确的是（）A存在点 F，使得1FCFD B满足1FCFD=的点 F的轨迹长度为5 C1FCFD+的最小值为4 22 5+D若1AD 平面EFC，则线段AF长度的最小值为45 12（本题 5 分）已知函数()exf xkx=，()ln=g xkxx，0k，则（）A当ek 时，函数()f x有两个零点 试卷第 4 页，共 6 页 B存在某个()0,k+，使得函数()f x与()g x零点个数不相同 C存在ek，使得()f x与()g x有相同的零点 D若函数()f x有两个零点()1212,x xxx，()g x有两个零点

7、3x，()434xxx)的左焦点为(1,0)F，P 为椭圆上任意一点，点 Q的坐标为(1,1)，则PQPF+的最大值为 .16（本题5分）已知函数()()2eRxf xaxa=有两个极值点1x，2x，且122xx，则a的取值范围为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题 10 分）在ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c，点(,)a b在直线4 coscoscosxByCcB=上(1)求cosB的值；(2)若3BA BC=，3 2b=，求 a 和 c 18（本题 12

8、分）已知数列 na是等比数列，2463,27a aa a=(1)求数列 na的通项公式；(2)()()12633nnnnabaa+=，记数列 nb的前 n 项和为nT，若对于任意*nN，都有nT的离心率为104，上顶点()0,3B.(1)求椭圆C的标准方程；(2)O为坐标原点，()()3,0,3,0MN，点A是椭圆C上的动点，过A作直线,AM AO AN分别交椭圆C于另外,P R Q三点，求AOMAONAPRAQRSSSS+的取值范围.22（本题 12 分）已知函数()()e11xf xax=+，其中aR(1)讨论函数()f x的单调性；(2)当1a 时，证明：()lncosf xx xax

9、试卷第 1 页，共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 绝密绝密启用前启用前 东莞东华高级中学东莞东华高级中学 2023-2024 年高三第二次调研年高三第二次调研 数数 学学（新课标（新课标I卷）卷）答案解析答案解析 试卷类型：试卷类型：A 本试卷共本试卷共 6 页，页，22 小题，满分小题，满分 150分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（铅笔将试卷类型（A

10、）填涂在答题卡相应位置上）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右将条形码横贴在答题卡右上角上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划

11、掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按不按以上要求作答的答案无效以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1（本题 5 分）已知集合2,ZAx xx=，2230Bx xx=，则AB=（）A1,0,1

12、 B0,1 C1,0,1,2 D 0【答案】B【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果.【详解】由()|22,Z1,0,1,|(1)(3)01,3AxxxBxxx=+xx，得()()120 xx+，解得12x，则()f x的定义域为12xx 的左焦点，A为C的右顶点，过F作C的渐近线的垂线，垂足为M，且与y轴交于点P.若直线AM经过OP的靠近O的三等分点，则C的离心率为（）A2 B32 C3 D43【答案】B【分析】根据题意，可求得直线FM的方程，可求得P点坐标，进而求出OP靠近点O的三等分点S的坐标，再联立直线FM与渐近线方程，求得M的坐标，根据AS与AM斜率相等

13、，和双曲线的性质，建立关于离心率的方程，由此即可求出结果.试卷第 6 页，共 23 页【详解】由题意，(),0Fc，(),0A a，FMakb=，则直线FM的方程为()ayxcb=+，令0 x=，得acyb=，则0,acPb，所以OP靠近点O的三等分点S的坐标为0,3acb，联立()byxaayxcb=+，解得2,aabMcc，又点A，M，S在一条直线上，所以ASAMkk=，即20030acabbcaaac=+，化简整理得223cacb+=，即22320aacc+=，即2230ee=，解得32e=或1（舍去），所以双曲线C的离心率为32.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得,A M

14、 S的坐标，从而得到关于,a b c的齐次方程，从而得解.二、多选题（共二、多选题（共 2020 分）分）9（本题 5 分）下图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）A这 10 年粮食年产量的极差为 15 B这 10 年粮食年产量的第 65 百分位数为 33 试卷第 7 页，共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 C这 10 年粮食年产量的中位数为 29 D前 5 年的粮食年产量的方差大于后 5 年粮食年产量的方差【答案】ABC【分析】ABC 选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案；D 选项，根据图形及方差的意义得到 D错误.【详解】A 选项，将

15、样本数据从小到大排列为 25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这 10 年的粮食年产量极差为402515=，故 A 正确；B 选项，10 65%6.5i=，结合 A 选项可知第 65 百分位数为第 7 个数 33，故 B 正确；C 选项，从小到大，选取第 5 个和第 6 个的数的平均数作为中位数，这 10 年的粮食年产量的中位数为2830292+=，故 C 正确；D 选项，结合图形可知，前 5 年的粮食年产量的波动小于后 5 年的粮食产量波动，所以前 5 年的粮食年产量的方差小于后 5 年的粮食年产量的方差，故 D 错误；故选：ABC.10（本题 5 分）质点P和Q在以坐

16、标原点O为圆心，半径为 1 的圆O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为2rad/s，起点为圆O与x轴正半轴的交点，Q的角速度大小为5rad/s，起点为角3的终边与圆O的交点，则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（）A22cos,sin99 Bcos,sin99 C55cos,sin99 Dcos,sin99【答案】ACD【分析】由题意列出重合时刻 t的表达式，进而可得 Q 点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.【详解】点Q的初始位置1Q，锐角13QOP=，设t时刻两点重合，则522(N)3ttkk=+，即2(N)93ktk+=，此时点cos5,sin533Qtt+，即210 210 c

17、os,sin9393kkQ+，(N)k，当0k=时，22cos,sin99Q，故 A 正确；试卷第 8 页，共 23 页 当1k=时，3232cos,sin99Q，即55cos,sin99Q，故 C 正确；当2k=时，9,6262cossin9Q，即cos,sin99Q，故 D 正确；由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故 B 错误，故选：ACD.11（本题 5 分）如图，在长方体1111ABCDABC D中，124ABADAA=，点 E 为1AA的中点，点 F 为侧面11AAB B（含边界）上的动点，则下列说法正确的是（）A存在点 F，使得1FCFD B满足1FCFD=的点 F

18、的轨迹长度为5 C1FCFD+的最小值为4 22 5+D若1AD 平面EFC，则线段AF长度的最小值为45【答案】BD【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设 F 点坐标，利用空间向量法判断直线的位置关系可判断 A；根据1FCFD=，推出 F点的坐标满足的关系23mn=，可求得 F 的轨迹长度，判断 C；利用点的对称点，结合空间两点的距离公式可判断 C；求出平面EFC的法向量，根据空间位置关系的向量证法求出3440mn+=，结合空间两点间距离公式以及二次函数性质，可判断 D.【详解】以 A 为原点，分别以1,AB AD AA所在的直线为 x 轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

19、1(0,0,0),(4,4,0),(0,4,2),(0,0,1),(,0,)(0,4,0,2)ACDEF mn mn，对于选项 A，若1FCFD，则10FC FD=，试卷第 9 页，共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 又1(4,4,),(,4,2)FCmn FDmn=，所以(4,4,)(,4,2)0mnmn=，即22(2)(1)110mn+=，此方程无解，所以不存在点 F，使得1FCFD，故 A 错误；对于选项 B，由1FCFD=，得222222(4)4()()4(2)mnmn+=+，化简可得23mn=，即 F点轨迹为矩形11ABB A内的线段，又0,2n，所以当0n=时，得13,0,0

20、2F，当2n=时，得25,0,22F，即满足1FCFD=的点 F的轨迹长度为2122553()222FF+=，故 B 正确；对于选项 C，设点 C关于平面11AAB B的对称点为 G，则 G的坐标为(4,4,0)，则1222112 24821FCFDFGFDGD=+=，1,F G D共线时取等号，故 C 错误；对于选项 D，1(0,4,2),(,0,1),(4,4,1)ADEFmnEC=，设平面EFC的一个法向量为(,)sx y z=，则00s EFs EC=，即()10440mxnzxyz+=+=，令1xn=，则11,4ynm zm=，所以平面EFC的一个法向量为11,1,4snnmm=，因

21、为1AD 平面EFC，所以10AD s =，即3440mn+=，又点(0,0,0)A，所以22222325121614162525AFmnmmm=+=+=+，当120,425m=时，AF取得最小值45，故 D 正确 故选：BD【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法判断线线和线面位置关系，对于 D 选项还需结合二次函数性质从而得到其最值.12（本题 5 分）已知函数()exf xkx=，()ln=g xkxx，0k，则（）A当ek 时，函数()f x有两个零点 B存在某个()0,k+，使得函数()f x与()g x零点个数不相同 C存在ek，使得()f x与()g

22、 x有相同的零点 试卷第 10 页，共 23 页 D若函数()f x有两个零点()1212,x xxx，()g x有两个零点3x，()434xxxxxf xkxfxk k，令()0lnfxxk，令()0ln时，则()()()minln1 ln0=，且x +时，()e0 xkxf x，根据零点存在性定理可知函数()f x在()0,lnk和()ln,k+内各有一个零点，故 A 正确；对于 B 项，当e=k时，此时()()min10f xf=，则()f x有一个零点，当0ekf xfkkk，则此时()f x无零点，又易得()()()lnlnelnln=xg xkxxkxfx，则()0,+k，函数()

23、f x的零点个数与()g x的零点个数相同，故 B 错误；对于 C 项，由 A、B 项结论可知：当ek 时，()yf x=有两个零点1212,lnln1xk，同时()g x有两个零点3x，()434xxx，则只能有23xx=，即12exx=，由题意易知：1222ln212222eeeelnln=xxxxxkxxxxx，令()()()2e1e=xxxh xh xxx，则()()0,1,0 x时，()0h x，故()h x在()()0,1,0上单调递减，在()1,+上单调递增，且0 x 时，()0h x 时，()()min1eh xh=，设()()()lnxh xhx=，1x，因为ln0 xx，1

24、x 时，()x，()()()e 1ee1ee0hh=，所以存在()21,ex，使得()20 x=，即()()()222ln0 xh xhx=，所以，()()22ln=h xhx，即存在ek，使得()f x与()g x有相同的零点23xx=，故 C 正确；对于 D 项，由 C 项结论可知，此时ek，则由1122334142312124eeeexxxxxxxkx xx xxxxxx=，故 D 正确.综上：ACD 正确.故选：ACD【点睛】难点点睛：可以先利用导数含参讨论函数的单调性与最值，结合零点存在性定理判定零点个数，对于第二项，注意观察两个函数的解析式，利用同构式判定可零点之间的联系；第三项，

25、构造函数利用其单调性可判定同构式是否有解.三、填空题（共三、填空题（共 2020 分）分）13（本题 5 分）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到 A、B、C 三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加 A 活动，则不同的分配方法有 种（用数字作答）【答案】50【分析】根据题意，分为三种情况：甲单独参加，甲和其中一人和甲和其中两人参加，结合排列组合的知识，即可求解.【详解】由题意，可分为三种情况：当甲单独参加 A项活动，则有2232424222C CCA14A+=种安排方法；当甲和其中一人参加 A 项活动，则有122432C C A24=种安排方法；当甲和

26、其中两人参加 A 项活动，则有2242C A12=种安排方法，试卷第 12 页，共 23 页 所以不同的分配方法有1424 1250+=种不同的安排方法.故答案为：50.14（本题 5 分）首项为 1 的无穷等比数列 na，满足5280aa+=，则1iia+=.【答案】23【分析】根据给定条件，求出数列 na的公比，再利用无穷递缩等比数列所有项和的公式计算即得.【详解】设等比数列 na的公比为q，由11a=，5280aa+=，得480qq+=，而0q，解得12q=，所以11213iiaaq+=.故答案为：23 15（本题 5 分）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆

27、的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为6 2的椭圆，以22221xyab+=(0ab)的左焦点为(1,0)F，P 为椭圆上任意一点，点 Q的坐标为(1,1)，则PQPF+的最大值为 .【答案】7【分析】根据题设6 2ab=且1c=求参数，即得椭圆方程，再根据椭圆定义得6PQPFPQPF=+，进而求其最大值.【详解】由题意6 2ab=且1c=，又222abc=+，可得229,8ab=，所以椭圆方程为22198xy，而2211198+，则a的取值范围为 【答案】1,ln2+【分析】将极值点问题转化为导函数的零点问题，再将零点问题转化为方程的解的问题，构造函数求解即可.【详

28、解】()()2eRxf xaxa=，()e2xfxax=，函数()()2eRxf xaxa=有两个极值点1x，2x，()()120fxfx=，又()00e010f=，1x，20 x，1x，2x是e20 xax=，即e2xax=的两个不相等的实数根.令()exg xx=，则()()21 exxgxx=当0 x 时，()()21 e0 xxgxx=，()g x在区间(),0单调递减，且()e0 xg xx=，当01x时，()()21 e0 xxgxx=，当1x 时，()()21 e0 xxgxx=，()g x在区间()1,+单调递增，且()e0 xg xx=，()g x在1x=处取得极小值()1e

29、g=，()g x的图象大致如下，若e2xax=有两个不相等的实数根1x，2x，则2ae，即2ea，且1x，20 x，令12xtx=，则12xtx=，且122xx，122xtx=，又1212ee2xxaxx=，2222eetxxtxx=，22eetxxt=，两边同时取对数，得()222lnelnxtxttx=+，2ln1txt=，试卷第 14 页，共 23 页 下面求2ln1txt=的取值范围，设()ln1th tt=，则()()211ln1tttth=，令()11lntHtt=，则()22111tHtttt=，当2t 时，()210Httt=时，()()111ln2ln20222H tH=时，

30、()()211ln01tth tt=，()ln1th tt=在()2,t+上单调递减，()()2ln2ln21txh tht=，即2ln2x.又()exg xx=在区间()0,1上单调递减，()222e2xag xx=，20ln21x=，即1ln2a.实数a的取值范围为1,ln2+【点睛】易错点睛：本题容易仅当作()f x有两个极值点求得a的取值范围，而造成错解，需要再根据122xx，结合所构造函数，转换成2x的范围，利用2x的范围再次求解.四、解答题（共四、解答题（共 7070 分）分）17（本题 10 分）在ABC中，角,A B C的对边分别是,a b c，点(,)a b在直线4 cosc

31、oscosxByCcB=上(1)求cosB的值；(2)若3BA BC=，3 2b=，求 a 和 c【答案】(1)1cos4B=(2)2 3ac=【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；.（2）根据数量积的定义求出ac，再由余弦定理得22ac+，即可求出a、c.【详解】（1）因为点(,)a b在直线4 coscoscosxByCcB=上，所以4 coscoscosaBbCcB=，由正弦定理可得4sincossincossincosABBCCB=，试卷第 15 页，共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 所以()()4sincossincossincossin

32、sin sinABBCCBBCAA=+=+=，因为0A，所以sin0A，所以1cos4B=；（2）因为cos3BA BCacB=，所以12ac=，由余弦定理，得2222cosbacacB=+，又因为3 2b=，所以代入得2224ac+=，所以()2222242 120acacac=+=，所以ac=，又因为12ac=，所以2 3ac=.18（本题 12 分）已知数列 na是等比数列，2463,27a aa a=(1)求数列 na的通项公式；(2)()()12633nnnnabaa+=，记数列 nb的前 n 项和为nT，若对于任意*nN，都有nT，求实数的取值范围【答案】(1)3nna=(2)16

33、 【分析】（1）利用等比数列通项公式列方程组求解（2）裂项相消法求出nT，求其最值，得答案.【详解】（1）设数列 na的首项为1a，公比为 q，由题意得245111213327aa qa qqa q=所以数列 na的通项公式为3nna=（2）()()126 33333nnnnb+=12113333nnnb+=233412111111333333333333nnnT+=+2221111133336336nn+=，试卷第 16 页，共 23 页 由nT，所以在不开箱检验的情况下，可以购买.（2）设事件 A：发现在抽取检验的 2 件产品中，其中恰有一件是废品，则111119281110105()9C

34、 CC CP ACC=+=，设事件1B：抽取的是废品率为15的一箱，则()()()11281110116|5259C CP ABCP BAP A=，所以发现在抽取检验的 2 件产品中，其中恰有一件是废品的条件下，此箱是废品率为15的一箱的概率为1625；设正品价格的期望值为，则800,900=，()()116800|25PP BA=事件2B：抽取的是废品率为110的一箱，则()()()()1119121029900|5259C CP ABCPP BAP A=，所以169()8009008368402525E=+=的离心率为104，上顶点()0,3B.(1)求椭圆C的标准方程；(2)O为坐标原点

35、，()()3,0,3,0MN，点A是椭圆C上的动点，过A作直线,AM AO AN分别交椭圆C于另外,P R Q三点，求AOMAONAPRAQRSSSS+的取值范围.试卷第 19 页，共 23 页 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)22183xy+=(2)1 11,2 16 【分析】（1）由2221043cababc=+，求出,a b，得到椭圆方程；（2）设()()()001122,A xyP x yQ xy，求出00010212AOMAONAPRAQRSSyySSyyyy+=+，设:3APlxmy=，联立方程求出01052 311yyx=+，同理可得()2201538yyn=+，代入求解

36、范围.【详解】（1）由题得2221043cababc=+，解得2 235abc=，所以椭圆C的标准方程为22183xy+=.（2）设()()()001122,A xyP x yQ xy，由题可知00y，11sinsin2211sinsin22AOMAONAPRAQRAM AOMAOAN AONAOSSSSAP ARMAOAQ ARNAO+=+0001021122yyAMANAPAQyyyy=+=+由题可知：直线,AP AQ斜率不为0 设:3APlxmy=，联立223183xmyxy=+=,则()22386 3150mymy+=，所以0121538y ym=+，试卷第 20 页，共 23 页 所

37、以()1201538yym=+，又因为003xmy=，所以003xmy+=，所以012220000001515386 39338yyxyxxyy=+又因为2200183xy+=，所以22003824xy+=，所以001001556 3332 311yyyxx=+设:3AQlxny=+，同理得0221538y yn=+，所以()2201538yyn=+，又因为003xny=+，所以003xny=，所以同理可得02052 311yyx=+，将代入得 0000000012552 3112 311AOMAONAPRAQRSSyySSyyyyxx+=+2080112256x=+又因为)200,8x，所以

38、20801 111,122562 16AOMAONAPRAQRSSSSx+=+.试卷第 21 页，共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆中范围问题，考查学生数学运算能力，解析几何中，范围的问题通常采用参数来求解.22（本题 12 分）已知函数()()e11xf xax=+，其中aR(1)讨论函数()f x的单调性；(2)当1a 时，证明：()lncosf xx xax【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）先求得()fx，然后对a进行分类讨论，从而求得()f x的单调区间.（2）将要证明的不等式转化为()()ecos1ln0,0,xa

39、xxxx xx+，利用构造函数法、放缩法，结合多次求导来研究所构造函数的单调性，进而证得不等式成立.【详解】（1）因为()()e11xf xax=+，所以()e1xfxa=+，当1a 时，()e10 xfxa=+，函数()f x在R上单调递增；当1a，得()ln 1xa，函数()f x在区间()()ln 1,a+上单调递增，由()()e10 xfxa=+，得()ln 1xa，即证()()e11lncos,0,xaxx xax x+，试卷第 22 页，共 23 页 即证()()ecos1ln0,0,xa xxxx xx+，设()()cos,1 sin0k xxx kxx=+，故()k x在()0

40、,+上单调递增，又()010k=，所以()1k x，又因为1a，所以()coscosa xxxx+，所以()ecos1lnecos1lnxxa xxxx xxx x+，当01x，所以ecos1ln0 xxx x+；当1x 时，令()ecosln1xg xxx x=+，则()elnsin1xgxxx=，设()()h xgx=，则()1ecosxh xxx=，设()1ecosxm xxx=，则()21esinxm xxx=+，因为1x，所以()0mx，所以()m x即()h x在()1,+上单调递增，所以()()1e 1 cos10h xh=，所以()h x在()1,+上单调递增，所以()()1e

41、sin1 10h xh=，即()0gx，所以()g x在()1,+上单调递增，()()1ecos1 10g xg=+，即ecos1ln0 xxx x+综上可知，当1a 时，()ecos1lnecos1ln0 xxa xxxx xxx x+，即()lncosf xx xax【点睛】方法点睛；求解函数单调区间的步骤：（1）确定()f x的定义域；（2）计算导数()fx；（3）求出()0fx=的根；（4）用()0fx=的根将()f x的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内()fx的符号，进而确定()f x的单调区间：0fx，则()f x在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；()0fx，则()f x在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到 试卷第 23 页，共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 不重不漏.如果一次求导无法确定函数的单调性，则可以考虑多次求导的方法来进行求解.