2024版新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形新高考新题型微课堂4开放题命题热点之解三角形学案含解析新人教A版20230519143.doc

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1、2024版新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形新高考新题型微课堂4开放题命题热点之解三角形学案含解析新人教A版20230519143第4章 三角函数与解三角形四开放题命题热点之解三角形数学开放题是高考的一种新题型，此类问题的核心是培养学生的创造意识和创新能力，激发学生独立思考和创新的意识开放题通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考解三角形是开放性命题的热点之一三角形中基本量的计算(2020新高考全国卷)在ac，csin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否

2、存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？解：(方法一)由sin Asin B可得，不妨设am，bm(m0)，则c2a2b22abcos C3m2m22mmm2，即cm，所以bc.选择条件：据此可得acmmm2，所以m1，此时a，bc1，三角形存在选择条件：据此可得cos A，所以A.则sin A，所以csin Am3，所以m2，则bc2，a6，三角形存在选择条件：因为bc，与条件cb矛盾，所以问题中的三角形不存在(方法二)因为sin Asin B，C，B(AC)，所以sin Asin(AC)sinsin Acos A，所以sin Acos A，所以

3、tan A，所以A，所以BC，所以bc.若选，ac，因为abc，所以c2，所以c1，即a，bc1，三角形存在；若选，csin A3，则3，得c2，即a6，bc2，三角形存在；若选，与条件cb矛盾，三角形不存在1熟练掌握常见问题的通法寻找恰当的条件搭配(1)已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，注意正弦定理的变形公式，其中a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C能够实现边角互化(2)已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能运用余弦定理解三角形，在运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(3)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一

4、边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断2避免失误准确解题(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的情况，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角、大角对大边的规则，可以通过画图来帮助判断(2020德州一模)在条件2cos A(bcos Cccos B)a，csinasin C，(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a，bc2，_.求BC边上的高解：若选条件.由正弦定理得2cos A(

5、sin Bcos Csin Ccos B)sin Asin(BC)，即2cos Asin(BC)sin(BC)，得cos A.因为0A，所以A.由余弦定理得a2b2c22bccos A，所以化简得c22c30，解得c1或c3(舍)，从而b3.设BC边上的高是h，所以bcsin Aah，解得h.若选条件.由正弦定理得sin Csinsin Asin C因为sin C0，所以sinsin A由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，所以sin，因此A.下同选条件.若选条件.由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦

6、定理得cos A.因为0A1，此时B无解所以ABC不能同时满足条件，所以ABC同时满足条件.所以SABCbcsin Ab810，解得b5与矛盾，所以ABC还同时满足条件.(2)在ABC中，由正弦定理得2.因为CB，所以b2sin B，c2sin，所以Labc23636sin3.因为B，所以B，所以sin.所以ABC周长L的取值范围为(6,9解答三角形的面积和周长有关问题的策略(1)利用三角恒等变换公式化简已知条件等式，并注意用正弦定理、余弦定理进行边角互化(2)根据条件选择三角形面积公式或计算三角形的周长(3)若求最值，注意根据条件利用基本不等式或三角函数的性质求最值(2020临沂高三期末)在

7、cos A，cos C，csin Csin Absin B，B60，c2，cos A三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a3，_，求ABC的面积S.解：若选.因为cos A，cos C，A，C(0，)，所以sin A，sin C，所以sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理得b，所以Sabsin C3.若选.因为csin Csin Absin B，所以由正弦定理得c2ab2.因为a3，所以b2c23.又因为B60，所以b2c2923cc23，解得c4，所以Sacsin B3.若选.因为c2，co

8、s A，所以由余弦定理得，即2b2b100，解得b或b2(舍去)因为A(0，)，所以sin A，所以Sbcsin A2.第4章 三角函数与解三角形五多选题命题热点之解三角形以三角形为载体，以正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是多选题中的一类热点题型，主要考查内容有正弦定理、余弦定理、三角形面积的计算、三角恒等变换和三角函数的性质解题时通常交替使用正弦定理、余弦定理，利用函数与方程思想等进行求解三角形边、角、周长和面积的计算(多选题)(2020烟台模拟)在ABC中，D在线段AB上，且AD5，BD3.若BC2CD，cosCDB，则()AsinCDBBABC的面积为8C

9、ABC的周长为84DABC为钝角三角形BCD解析：由cosCDB得sinCDB，故A错误；设CDx，CB2x，在CBD中，由余弦定理得，cosCDB，整理得，5x22x150，解得x或x(舍)，即CD，BC2，所以SABCSBCDSADC358，故B正确；由余弦定理得，cos B，即，解得AC2，故ABC的周长为ABACBC82284，故C正确；由余弦定理得，cos ACB0，故ACB为钝角，D正确故选BCD.解答三角形面积周长问题要注意的问题(1)利用正弦、余弦定理建立三角形中的边和角的关系，并能恰当地进行边角互化；(2)根据题目条件和所求结论选择正弦定理、余弦定理或三角形的面积公式；(3)

10、注意三角形内角的特点在ABC中，因为ABC，所以sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，sincos，cossin.(多选题)(2020山东全真模拟)四边形ABCD内接于圆O，ABCD5，AD3，BCD60，则()A四边形ABCD为梯形B圆O的直径为7C四边形ABCD的面积为DABD的三边长度可以构成一个等差数列ACD解析：如图因为ABCD5，AD3，BCD60，所以BAD120，连接BD，AC.易得BADCDA，所以BADCDA120，所以BCDCDA180，所以BCAD.显然AB不平行于CD，即四边形ABCD为梯形，故A正确在BAD中，由余弦定理得BD

11、2AB2AD22ABADcosBAD，所以BD25232253cos 12049，所以BD7，所以圆的直径不可能是7，故B错误在BCD中，由余弦定理得BD2CB2CD22CBCDcosBCD，所以72CB25225CBcos 60，解得CB8或CB3(舍去)因为SBADABADsin 12053，SBCDCBCDsin 6058，所以S四边形ABCDSBADSBCD，故C正确在ABD中，AD3，AB5，BD7，满足ADBD2AB，所以ABD的三边长度可以构成一个等差数列，故D正确故选ACD.解三角形与三角函数的综合(多选题)(2020山东模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.

12、()A若2cos C(acos Bbcos A)c，则CB若2cos C(acos Bbcos A)c，则CC若边BC上的高为a，则当取得最大值时，AD若边BC上的高为a，则当取得最大值时，AAC解析：因为2cos C(acos Bbcos A)c，所以由正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，所以2cos Csin(AB)2cos Csin Csin C.因为sin C0，所以cos C.因为C(0，)，所以C，所以A正确，B错误因为边BC上的高为a，所以bcsin Aa，所以a22bcsin A.因为cos A，所以b2c2a22bccos A2bcs

13、in A2bccos A，所以2sin A2cos A4sin4，当A时等号成立，此时A，故C正确，D错误故选AC.解答三角形边、角问题的关注点(1)正确应用所学知识“翻译”题目条件，根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解；(2)注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是解决问题的突破口(3)重视等价转化、函数方程思想的应用(多选题)在ABC中，下列命题正确的有()A若A30，b4，a5，则ABC有两个解B若0tan Atan B1，则ABC一定是钝角三角形C若cos(AB)cos(BC)cos(CA)1，则ABC一定是等边三角形D若abccos Bccos A，则ABC是等腰或

14、直角三角形BCD解析：由正弦定理得，即，得sin B.因为ba，所以BA，所以B为锐角，所以ABC有一个解，故选项A错误若0tan Atan B0且tan B0，所以A，B为锐角，tan(AB)0，所以tan C0，C为钝角，ABC一定是钝角三角形，故选项B正确若cos(AB)cos(BC)cos(CA)1，则cos(AB)cos(BC)cos(CA)1，即ABBCCA0，所以ABC，所以ABC一定是等边三角形，故选项C正确若abccos Bccos A，由正弦定理得sin Asin Bsin Ccos Bsin Ccos A，即sin(BC)sin(AC)sin Ccos Bsin Ccos A，整理得(sin Bsin A)cos C0，所以cos C0或sin Bsin A0，即C或BA，故ABC是等腰或直角三角形，所以选项D正确故选BCD.