2024届高考数学统考一轮复习第四章4.7解三角形应用举例学案文含解析新人教版202305191140.docx

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1、2024届高考数学统考一轮复习第四章4.7解三角形应用举例学案文含解析新人教版202305191140第七节解三角形应用举例【知识重温】一、必记5个知识点1仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_时叫仰角，目标视线在水平视线_时叫俯角(如图所示)2方位角一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45，是指_，即东北方向3方向角相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东：指从正北方向顺时针旋转到达目标方向(2)东北方向：指北偏东45或东偏北45 .(3)其他方向角类似4坡角坡面与_的夹角(如图所示)5坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即itan

2、 (i为坡比，为坡角)二、必明1个易误点易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(2)若点P在点Q的北偏东44，则点Q在点P的东偏北46.()(3)方位角大小的范围是0，)，方向角大小的范围是.()二、教材改编2必修5P15练习 T1改编从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()A BC90 D1803必修5P11例1改编如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧

3、河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m三、易错易混4一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里5若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的_方向上测量距离问题自主练透型1.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，为了测出AB的距离，在A所在的岸边选定一点C，

4、可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可求出AB.若测出AC60 m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为_m.2如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，则A，B两点的距离为_ m.悟技法测量问题中距离问题的解法 (1)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题(2)根据已知条件，选择正弦定理或者余弦定理求解.考点二测量高度问题互动讲练型例12021开

5、封市高三模拟考试国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度约为 ()A17米 B22米C30米 D35米悟技法求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，

6、把空间问题转化为平面问题.变式练(着眼于举一反三)1如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.考点三测量角度问题互动讲练型 例22021武汉市武昌区调研如图一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，以C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔时，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔时，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A6海里 B6海里C8海里 D8海里悟技法求解角度问题应注意(1)明确方位角的含义；

7、(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用.变式练(着眼于举一反三)2在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值考点四正(余)弦定理在平面几何中的应用互动讲练型例32020江苏卷在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，

8、c.已知a3，c，B45.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cosADC，求tanDAC的值悟技法平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 变式练(着眼于举一反三)32021武昌区高三年级调研考试在ABC中，已知AB，AC7，D是BC边上的一点，AD5，DC3.(1)求B；(2)求ABC的面积第七节解三角形应用举例【知识重温】上方下方北偏东45水平面【小题热身】1答案：(1)(2)(3)2解析：由已知及仰角、俯角的概念画出草图，如图，则.答

9、案：B3.解析：由正弦定理得，又由题意得CBA30，所以AB50(m)答案：A4解析：如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10(海里)，在RtABC中，得AB5(海里)，于是这艘船的速度是10(海里/时)答案：C5.解析：如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.答案：北偏西15课堂考点突破考点一1解析：ABC180754560，所以由正弦定理得，AB20(m)即A，B两点间的距离为20 m.答案：202解析：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB24002600224

10、00600cos 60280 000.AB200(m)即A，B两点间的距离为200 m.答案：200考点二例1解析：如图所示，依题意知AEC45，ACE1806015105，EAC1804510530，由正弦定理，可得ACsin 45(米)，在RtABC中，ABACsinACBsin 6030(米)答案：C变式练1解析：由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300(m)在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)答案：100考点三例2解析：过点C向正南方向作一条射线CD，如图所示由题意可知，BAC704030，

11、ACD110，所以ACB1106545.AB240.512(海里)在ABC中，由正弦定理得，即，所以BC6海里故选A.答案：A变式练2解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.考点四例3解析：(1)在ABC中，因为a3，c，B45，由余弦定理b2a2c22accos B，得b29223cos 455，所以b.在ABC中，由正弦定理，得，所以sin C.(2)在A

12、DC中，因为cosADC，所以ADC为钝角，而ADCCCAD180，所以C为锐角故cos C，则tan C.因为cosADC，所以sinADC，tanADC.从而tanDACtan(180ADCC)tan(ADCC).变式练3解析：(1)如图，在ADC中，由余弦定理，得cosADC，所以ADC120，从而ADB60.在ABD中，由正弦定理，得sin B，所以B45.(2)由(1)知BAD75，且sin 75.所以SABDABADsinBAD，SADCDADCsinADC，所以SABCSABDSADC.第一节平面向量的概念及其线性运算【知识重温】一、必记3个知识点1向量的有关概念名称定义备注向量

13、既有_又有_的量；向量的大小叫做向量的_(或_)平面向量是自由向量零向量长度为_的向量；其方向是任意的记作_单位向量长度等于_的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向_或_的非零向量共线向量_的向量又叫做共线向量0与任一向量_或共线相等向量长度_且方向_的向量相反向量长度_且方向_的向量0的相反向量为02.向量的表示方法(1)字母表示法：如a，等(2)几何表示法：用一条_表示向量3向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算_法则_法则(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_.减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差_法则aba(b)数乘求实数与向量

14、a的积的运算(1)|a|_.(2)当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当0时，a_(a)_；()a_；(ab)_.二、必明3个易误点1作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点2在向量共线的充要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个3要注意向量共线与三点共线的区别与联系【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量就是有向线段()(2)零向量没有方向()(3)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反()(4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同()(5)若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线

15、上()二、教材改编2设M是ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则()A.B2C3 D43已知e1，e2是两个不共线的向量，ae12e2，b2e1ke2.若a与b是共线向量，则实数k的值为_三、易错易混4对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件52021山东青岛二中月考如图所示，在ABC中，ADAB，BEBC，则等于()A. B.C. D.平面向量的基本概念自主练透型1下列命题中正确的是()A若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线C若A，B，C，D是不共线的四点，且，则ABC

16、D为平行四边形Dab的充要条件是|a|b|且ab2判断下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.其中正确的个数是()A1B2C3D4悟技法向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度(2)非零共线向量：方向相同或相反(3)单位向量：长度是一个单位长度(4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等向量：方向相同且长度相等.考点二向量的线性运算自主练透型3化简得()A. B. C. D042021唐山统考在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则()A. B.C. D.悟技法1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运

17、算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)比较、观察可知所求.考点三平面向量共线定理的应用互动讲练型例设两个非零向量a和b不共线(1)如果ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k, 使kab和akb共线悟技法共线向量定理的应用(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明

18、三点共线，若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点.变式练(着眼于举一反三)1若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？第五章平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算【知识重温】大小方向模长度零01个单位长度相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反有向线段三角形平行四边形baa(bc)三角形|a|相同相反0aaaab【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：O为任意一点，

19、不妨把A点看成O点，则024.答案：D3解析：a与b是共线向量，存在实数t，有bta，即2e1ke2t(e12e2)，则解得：k4.答案：44解析：若ab0，则ab，所以ab.若ab，则ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件答案：A5解析：()，故选D.答案：D课堂考点突破考点一1解析：A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B错误，若b0，则a与c不一定共线；C正确，因为，所以|且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；D错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是a

20、b的充要条件，而是必要不充分条件答案：C2解析：只有正确答案：A考点二3解析：因为0.答案：D4解析：因为2，所以2.又M是BC的中点，所以()()().答案：B考点三例解析：(1)证明：因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共线，又与有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b，又a，b是两个不共线的非零向量，所以所以k210, 即k1.变式练1解析：(amb)3(ab)4a(m3)b，即4a(m3)b.若A，B，D三点共线，则存在实数，使，即4a(m3)b(ab)，解得m7.故当m

21、7时，A，B，D三点共线2解析：因为kab与akb反向共线，所以存在实数，使kab(akb)(0)，所以所以k1.又0，k，所以k1.故当k1时两向量反向共线第二节平面向量基本定理及坐标表示【知识重温】一、必记3个知识点1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a_.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_.2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴_的两个单位_i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a_，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作_，其

22、中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量a的坐标表示，相等的向量其_相同，_相同的向量是相等向量3平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_，| _.(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_，ab_，a_，ab(b0)的充要条件是_.(3)非零向量a(x，y)的单位向量为_或_.(4)a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab_.二、必明3个易误点1若a、b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错2要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也

23、有大小的信息3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在ABC中，可以作为基底()(2)在ABC中，设a，b，则向量a与b的夹角为ABC.()(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后，其坐标不变()(4)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，且12.()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()二、教材改编2已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为()A(1,5

24、) B(2,5)C(3,4) D(5,1)3.如图，在ABC中，ADAB，点E是CD的中点设a，b，用a，b表示_，_.三、易错易混42021合肥模拟若向量(2,4)，(1,3)，则()A(1,1) B(1，1)C(3,7) D(3，7)5下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()Aa(1,2)，b(0,0)Ba(1，2)，b(3,5)Ca(3,2)，b(9,6)Da，b(3，2)四、走进高考62018全国卷在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于()A. B.C. D.考点一平面向量基本定理及其应用互动讲练型例1(1)已知等腰梯形ABCD中，2，E，F分

25、别为AD，BC的中点，G为EF的中点，若记a，b，则()A. ab B.abC.ab D.ab(2)2021江苏南通调研在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，则实数t的值为_悟技法平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 变式练(着眼于举一反三)1如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE的中点，若a，b，则()A.abB.abC.ab

26、 D.ab22021山东济南模拟在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则的值为()A.B.C.D.考点二平面向量的坐标运算自主练透型1已知(1，1)，C(0,1)，若2，则点D的坐标为()A(2，3) B(2，3)C(2,1) D(2，1)2已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c的坐标为()A. B.C. D.3已知平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A. B.C. D.悟技法求解向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算

27、完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.考点三共线向量的坐标表示及其应用互动讲练型考向一：利用向量共线求向量或点的坐标例2已知梯形ABCD中，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则D点坐标为_悟技法利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地

28、，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a，即可得到所求向量.考向二：利用向量共线求参数例3(1)2021河南、河北重点高中段考已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(2mn)(m2n)，则()A1B0C1D2(2)已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是()A B C. D.悟技法平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利

29、用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三点共线问题A，B，C三点共线等价于与共线.变式练(着眼于举一反三)3已知向量a(1,2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件42021河南安阳模拟已知向量a(1，1)，b(1,0)，若ab和2ab共线，则()A2 B. C1 D2第二节平面向量基本定理及坐标表示【知识重温】 不共线基底同向向量xiyja(x，y)坐标坐标(，)(，)(，)(，

30、)0 (x，y)且 【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：设顶点D的坐标为(x，y)，(4,1)，(5x,6y)，平行四边形ABCD中，解得x1，y5.所以顶点D的坐标为(1,5)答案：A3解析：ab.()ab.答案：abab4解析：因为向量(2,4)，(1,3)，所以(1,3)(2,4)(1，1)故选B.答案：B5解析：根据平面向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底. 故选B.答案：B6解析：作出示意图如图所示()().故选A.答案：A课堂考点突破考点一例1解析：(1)因为等腰梯形ABCD中，2，E，F分别为AD，BC的中点，G为EF的中点，所以()，因为a，b，所

31、以ba.故选B项(2)因为，所以32，即22，所以2，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，又因为A，M，Q三点共线，所以可设.所以，又tt()tt，所以解得答案：(1)B(2)变式练1解析：在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，O是BE边的中点，()，()ab.答案：D2解析：如图，连接AC，由，得()()，则(1)()0，得(1)()()0，得(1)()0.又，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以.答案：C考点二1解析：设D(x，y)，则(x，y1)，2(2，2)，根据2，得(x，y1)(2，2)，即解得故选D.答案：D2解析：设c(x，y)因为a2b3c0，所以(5，2)2(4，3

32、)3(x，y)(0,0)，即(583x，263y)(0,0)所以解得所以c.答案：D3解析：因为(2,3)(3,7)(1,10)，所以，所以.故选D项答案：D考点三例2解析：在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2，设点D的坐标为(x，y)，则(4x,2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)答案：(2,4)例3解析：(1)因为2mn(34,4)，m2n(3，3)，且(2mn)(m2n)，所以(3)(34)4(3)0，解得0.故选B.(2)(4k，7)，(2k，2)A，B，C三点共线，共线，2(4k)7(2k)，解得k.答案：(1)B(2)A变式练3解析：由题意得ab(2,2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6，当m6时，a(ab)，则“m6”是“a(ab)”的充要条件答案：A4解析：a(1，1)，b(1,0)，ab(1，)，2ab(1，2)，又ab和2ab共线，2(1)，2.故选D项答案：D