2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系学案含解析新人教B版202305182190.doc

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1、2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系学案含解析新人教B版202305182190第2节两条直线的位置关系一、教材概念结论性质重现1两条直线相交、平行与重合的条件(1)利用斜率关系判断设l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1与l2相交k1k2；l1与l2平行k1k2且b1b2；l1与l2重合k1k2且b1b2；l1l2k1k21.(2)向量方法判断设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.因为v1(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2(A2，B2)是直线l2的一个法向量l1与l2相交A1B2A2B1.l1与l2平行或重合A1B2A2

2、B1.l1与l2重合存在实数使得l1l2A1A2B1B20.(3)两直线相交交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解(1)与直线AxByC0(A2B20)垂直的直线可设为BxAym0.(2)与直线AxByC0(A2B20)平行的直线可设为AxByn0.2三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行直线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d

3、.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：(1)将方程化为最简的一般形式(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( )(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.( ) 2两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离为()A. B. C.7 D.D解析：由题意知a6，直线3x4y120可化为6x8y240，所以两平行直线之间的距离为.3已知

4、直线l1：x2y10与直线l2：mxy0平行，则实数m的值为()AB C2D2A解析：由题意，即m.4圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A1B2 CD2C解析：圆(x1)2y22的圆心坐标为(1,0)由yx3得xy30，则圆心到直线的距离d.5已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.1解析：由题意知1，所以m42m，所以m1.考点1直线的平行与垂直基础性1(2020长沙明德中学3月月考)“直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行”是“m2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B解析：若l1l2，则即解

5、得m3或2.因此，“直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行”是“m2”的必要不充分条件2已知直线l1：(a1)x(a1)y20和l2：(a1)x2y10互相垂直，则a的值为()A1B0 C1D2A解析：(方法一)当a1时，方程分别化为x10,2y10，此时两条直线相互垂直，因此a1满足题意当a1时，由两条直线相互垂直，可得1，解得a1(舍去)综上a1.(方法二)由l1l2得(a1)(a1)2(a1)0，整理得a22a10，解得a1.3经过两条直线2x3y10和3xy40的交点，并且平行于直线3x4y70的直线方程是_3x4y0解析：联立直线的方程得到两直线的交点坐标.设平行于

6、直线3x4y70的直线方程为3x4yc0，则34c0，解得c，所以直线的方程为3x4y0.4过点的直线l满足原点到它的距离最大，则直线l的一般式方程为_2x4y50解析：设点A，过坐标系原点O作 OBl于点B，连接OA，则OB为原点O到直线l的距离在直角三角形AOB中，OA为斜边，所以有OB0且a1)恒过点A(m，n)，则点A到直线xy30的距离为_解析：由题意，可知曲线yax(a0且a1)恒过点(0,1)，所以A(0,1)所以点A到直线xy30的距离d.2直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_x3y50或x1解析：(方法一)当直线l的斜率存在时

7、，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，解得k.所以直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意(方法二)当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为(1,4)所以直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.考点3对称问题应用性考向1中心对称问题过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_x4y40解析：设l1与l的交点为A(a,82a)由题意知，点A关于点P的对称点

8、B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.中心对称问题的解法(1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P(x，y)，则(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决考向2轴对称问题(1)直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30 Bx2y30Cx2y10 Dx2y10A解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于xy20的对称点为P(x0，y0)由得因为点P(x0，y0)在直线2xy30上，所以2(y2)(x2)30，即x2y30.(2)已知点A的坐标为(4,4)

9、，直线l的方程为3xy20，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_(2,6)解析：设点A的坐标为(x，y)，由题意可知解得所以点A的坐标为(2,6)轴对称问题的解法(1)若点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点为A(m，n)，则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决1若直线axy3a10恒过定点N，则直线2x3y60关于点N对称的直线方程为()A2x3y120B2x3y120C2x3y120D2x3y120B解析：由axy3a10可得a(x3)y10.令可得x3，y1，所以N(3，1)设直线2x3y60关于点N对称的直线方程为2x3yc0(c6)，则，解得c

10、12或c6(舍去)故所求直线方程为2x3y120.故选B.2如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，光线所经过的路程是()A2B6 C3D2A解析：由题意知直线AB的方程为xy4.设P关于直线AB的对称点Q(a，b)，则解得即Q(4,2)又P关于y轴的对称点为T(2,0)，所以|QT|2.第3节圆的方程一、教材概念结论性质重现1圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：

11、，半径：(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线(2)方程x2y2DxEyF0，当D2E24F0时，表示圆心为，半径r的圆；当D2E24F0时，表示一个点；当D2E24Fr2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.3常用结论以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)确定圆的几何

12、要素是圆心与半径( )(2)方程x22axy20一定表示圆( )(3)圆x22xy2y0的圆心是.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0内，则xyDx0Ey0F0.( )2圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是()A(2,3)，3B(2,3)，C(2，3)，13D(2，3)，D解析：圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径r.3若圆(x1)2(y1)22关于直线ykx3对称，则k的值是()A2B2 C1D1B解析：由题意知直线ykx3过圆心(1,1)，即1k3，解得k2.4若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是(

13、)A(1,1)B(0,1)C(，1)(1，)Da1A解析：因为点(1,1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0且圆C的半径r2a，A(a,0)因为点A到直线xy40的距离d，所以d，解得a6或a2，所以A(2，0)或A(6,0)因为A在直线xy40的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r4，所以圆C的标准方程为(x2)2(y4)216.(2)(2021聊城第一中学月考)已知圆C与直线yx及xy40相切，圆心在直线yx上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24A解析：(方法一)因为圆心在直线xy

14、0上，所以圆心的横、纵坐标相同，排除B，C.选项D中，圆心(1，1)到直线xy0的距离是；圆心(1，1)到直线xy40的距离是3.故D不符合题意故选A.(方法二)由圆心在直线yx上，设圆心为(a，a)，因为圆C与直线yx及xy40都相切，所以圆心到两直线yx及xy40的距离相等，即，解得a1，所以圆心坐标为(1,1)，R，则圆C的标准方程为(x1)2(y1)22.故选A.求圆的方程的两种方法(1)几何法通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直于切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线(2)代数法，即设出圆的

15、方程，用待定系数法求解1(2020重庆育才中学3月月考)圆C以直线l：(2m1)x(m1)y2m0上的定点为圆心，半径r4，则圆C的方程为()A(x2)2(y2)216 B(x2)2(y2)216C(x2)2(y2)216 D(x2)2(y2)216A解析：由(2m1)x(m1)y2m0，可得(2xy2)m(xy)0，所以直线过的交点，解得即直线过定点(2,2)，则所求圆的方程为(x2)2(y2)216.故选A.2已知方程x2y2kx2yk20所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为()A(1,1)B(1,0)C(1，1)D(0，1)D解析：由x2y2kx2yk20知所表示圆

16、的半径r.当k0时，rmax1，此时圆的方程为x2y22y0，即x2(y1)21，所以圆心为(0，1)考点2与圆有关的轨迹问题综合性设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而又点N在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹

17、方程(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程1若动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()Ax2y232 Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216B解析：设P(x，y)，则由题意可得2，化简整理得x2y216.2如图，已知点A(1,0)与点B(1,0)，点C是圆x2y21上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|BC|.求AC与OD的交点P的轨迹方程解：设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心由A(1,0)，B(

18、1,0)，设动点C(x0，y0)，则D(2x01,2y0)由重心坐标公式得则代入x2y21，整理得2y2(y0)，故所求轨迹方程为2y2(y0)考点3与圆有关的最值问题综合性考向1斜率型、截距型、距离型最值问题已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴

19、上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，最小值是(2)274.与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如maxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题考向2利用对称性求最值已知圆C1：(x2)2(y3)

20、21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.A解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5，即|PM|PN|PC1|PC2|454.求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同

21、一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决1设点P是函数y图像上的任意一点，点Q的坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_2解析：函数y的图像表示圆(x1)2y24在x轴及下方的部分令点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60，作出图像如图所示由于圆心(1,0)到直线x2y60的距离d2，故直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.2已知A(0,2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_2解析：因为圆C化为标准方程为(x2)2(y1)25，所以圆C是以C(2，1)为圆心，r为半径的圆设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故解得故A(4，2)所以|AC|3.连接AC交圆C于点Q，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.