2024版新教材高考数学一轮复习第1章预备知识第5节基本不等式学案含解析新人教A版20230519113.doc
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1、第五节基本不等式一、教材概念结论性质重现1基本不等式:(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当ab时取等号(3)其中,称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数2两个重要的不等式(1)a2b22ab(a,bR),当且仅当ab时取等号(2)ab (a,bR),当且仅当ab时取等号3利用基本不等式求最值已知x0,y0,(1)如果积xy等于定值P,那么当xy时,和xy有最小值2(简记:积定和最小)(2)如果和xy等于定值S,那么当xy时,积xy有最大值(简记:和定积最大)(1)2(ab0),当且仅当ab时取等号(2)(a,bR)(3).(4)连续使用基本不等
2、式求最值要求每次等号成立的条件一致二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误,对的打“”,错的打“”(1)不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(2)函数yx的最小值是2()(3)函数f (x)sin x的最小值为4()(4)“x0且y0”是“2”的充要条件()2若x0,y0,且 xy18,则的最大值为()A9 B18 C36 D81A解析:因为xy18,所以9,当且仅当xy9时,等号成立3已知0x1,则x(33x)取得最大值时x的值为()A B C DB解析:因为0x1)的最小值为_22解析:因为x1,所以x10.y(x1)222.当且仅当x1,即x1时,取等号所以函数y(x1)的最
3、小值为22.(2)若函数f (x)x(x2)在xa处取最小值,则a_.3解析:因为x2,所以x20,所以f (x)x(x2)2224.当且仅当x2,即(x2)21时等号成立,解得x1或3. 又因为x2,所以x3,即a3时,函数f (x)在x3处取得最小值拼凑法求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键考向2常值代换求最值已知a0,b0,ab1,则的最小值为_4解析:因为ab1,所以(ab)222224.当且仅当ab时,取等号1将条件“ab1”改为
4、“a2b3”,则的最小值为_1解析:因为a2b3,所以ab1.所以121.当且仅当ab时,取等号2本例条件不变,则的最小值为_9解析:52549.当且仅当ab时,取等号考向3消元法求最值若正数x,y满足x26xy10,则x2y的最小值是()A B C DA解析:因为正数x,y满足x26xy10,所以y.由即解得0x0,y0,求证:.证明:因为x0,y0,2xy1,所以(2xy)4448,当且仅当,即2xy时取等号又,当且仅当2xy时取等号,所以,当且仅当2xy时取等号两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且注意取等号的条件的一致性1设0
5、x0,y0,x2y5,则的最小值为_4解析:因为 x0,y0,所以 0.因为 x2y5,所以 224. 当且仅当2,即x3,y1时取等号所以 的最小值为4.3已知x0,y0,且1,则xyxy的最小值为_74解析:因为1,所以xyy2x,xyxy3x2y(3x2y)774,当且仅当yx,即x1,y2时取等号所以xyxy的最小值为74.4(2020 天津卷)已知a0,b0,且ab1,则的最小值为_4解析:因为a0,b0,且ab1,所以24.当且仅当且ab1,即或时,等号成立故的最小值为4.考点2利用基本不等式解决实际问题应用性某厂家拟在2021年“双十一”举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用
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