2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题含解析.pdf

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1、2024 年年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题数学试题注意事项：注意事项：答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案

2、写在答题卡上写在本试卷上无效在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1.样本数据 16，24，14，10，20，30，12，14，40 的中位数为（）A.14B.16C.18D.202.椭圆2221(1)xyaa的离心率为12，则a（）A.2 33B.2C.3D.23.记等差数列 na的前n项和为3712,6,17nS aaa，则16S（）A.120B.140C.

3、160D.1804.设,是两个平面，,m l是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,ml，则mlB.若,mlml，则C.若,m ll，则mlD.若,mlml，则5.甲、乙、丙等 5 人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有 2 人，则不同排法共有（）A.20 种B.16 种C.12 种D.8 种6.已知Q为直线:210l xy 上的动点，点P满足1,3QP ，记P的轨迹为E，则（）A.E是一个半径为5的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为5D.E是两条平行直线7.已知3,tan24tan44，则21 sin22cossin2（）A.14B.34C.1D.328.设双曲线

4、2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，过坐标原点的直线与C交于,A B两点，211222,4FBF A F A F Ba，则C的离心率为（）A.2B.2C.5D.7二二、选择题选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9.已知函数 33sin 2cos 244fxxx，则（）A.函数4fx为偶函数B.曲线 yf x的对称轴为,ZxkkC.f x在区

5、间,3 2单调递增D.f x的最小值为210.已知复数,z w均不为 0，则（）A.22|zzB.22|zzzzC.zzwwD.zzww11.已知函数 f x的定义域为R，且102f，若 4fxyfx fyxy，则（）A.102fB.122f C.函数12fx是偶函数D.函数12fx是减函数三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12.已知集合2,0,2,4,3ABx xm，若ABA，则m的最小值为_13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是_，圆锥MM的表面积与球O的表面积的比值是_1

6、4.以maxM表 示 数 集M中 最 大 的 数 设01abc，已 知2ba或1ab，则max,1ba cbc的最小值为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知函数 2ln2fxxxax在点 22f,处的切线与直线230 xy垂直（1）求a；（2）求 f x的单调区间和极值16.盒中有标记数字 1，2，3，4 的小球各 2 个，随机一次取出 3 个小球（1）求取出的3 个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的 3 个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E X17.如

7、图，平行六面体1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，O为AC与BD的交点，11112,45AAC CBC CDC CO（1）证明：1C O 平面ABCD；（2）求二面角1BAAD的正弦值18.已知抛物线2:4C yx的焦点为F，过F的直线l交C于,A B两点，过F与l垂直的直线交C于,D E两点，其中,B D在x轴上方，,M N分别为,AB DE的中点（1）证明：直线MN过定点；（2）设G为直线AE与直线BD的交点，求GMN面积的最小值19.离散对数在密码学中有重要的应用 设p是素数，集合1,2,1Xp，若,u vX mN，记uv为uv除 以p的 余 数，,mu为m

8、u除 以p的 余 数；设aX，2,2,1,pa aa两 两 不 同，若,0,1,2nab np，则称n是以a为底b的离散对数，记为log()anpb（1）若11,2pa，求1,pa；（2）对12,0,1,2m mp，记12mm为12mm除以1p 的余数（当12mm能被1p 整除时，120mm）证明：log()log()log()aaapbcpbpc，其中,b cX；（3）已知log()anpb 对,1,2,2xX kp，令,12,kkyayxb 证明：2,21n pxyy2024 年年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）

9、数学试题数学试题注意事项：注意事项：答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一一、选

10、择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1.样本数据 16，24，14，10，20，30，12，14，40 的中位数为（）A.14B.16C.18D.20【答案】B【解析】【分析】由中位数定义即可得.【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为 16.故选：B.2.椭圆2221(1)xyaa的离心率为12，则a（）A.2 33B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.【详

11、解】由题意得2112aea，解得2 33a，故选：A.3.记等差数列 na的前n项和为3712,6,17nS aaa，则16S（）A.120B.140C.160D.180【答案】C【解析】【分析】利用下标和性质先求出512aa的值，然后根据前n项和公式结合下标和性质求解出16S的值.【详解】因为37526aaa，所以53a，所以5123 1720aa，所以116165121681602aaSaa，故选：C.4.设,是两个平面，,m l是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,ml，则mlB.若,mlml，则C.若,m ll，则mlD.若,mlml，则【答案】C【解析】【分析】由线面平行性质

12、判断真命题，举反例判定假命题即可.【详解】对于 A，,m l可能平行，相交或异面，故 A 错误，对于 B，,可能相交或平行，故 B 错误，对于 D，,可能相交或平行，故 D 错误，由线面平行性质得 C 正确，故选：C5.甲、乙、丙等 5 人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有 2 人，则不同排法共有（）A.20 种B.16 种C.12 种D.8 种【答案】B【解析】【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间

13、，排乙丙有22A种方法，排甲有12A种方法，剩余两个位置两人全排列有22A种排法，所以有212222AAA8种方法；当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A种方法，排甲有12A种方法，剩余两个位置两人全排列有22A种排法，所以有212222AAA8种方法；由分类加法计数原理可知，一共有8 816+=种排法，故选：B.6.已知Q为直线:210l xy 上的动点，点P满足1,3QP ，记P的轨迹为E，则（）A.E是一个半径为5的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为5D.E是两条平行直线【答案】C【解析】【分析】设,P x y，由1,3QP 可得Q点

14、坐标，由Q在直线上，故可将点代入坐标，即可得P轨迹E，结合选项即可得出正确答案.【详解】设,P x y，由1,3QP ，则1,3Q xy，由Q在直线:210l xy 上，故1 2310 xy ，化简得260 xy，即P的轨迹为E为直线且与直线l平行，E上的点到l的距离226 1512d，故 A、B、D 错误，C 正确.故选：C.7.已知3,tan24tan44，则21 sin22cossin2（）A.14B.34C.1D.32【答案】A【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将21 sin22cossin2齐次化即可得出答案.【详解】由题3,tan24tan44，得224 tan12t

15、an4 tan12tan1tan1tan，则2tan1 tan20tan2 或1tan2，因为3,tan1,04，所以1tan2，222221 sin2sincos2sin costan12tan2cossin22cos2sin cos22tan 11 114214 .故选：A8.设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，过坐标原点的直线与C交于,A B两点，211222,4FBF A F A F Ba，则C的离心率为（）A.2B.2C.5D.7【答案】D【解析】【分析】由双曲线的对称性可得12F AF B、12FBF A且四边形12AFBF为平行四边形，由题

16、意可得出21F BF，结合余弦定理表示出与a、c有关齐次式即可得离心率.【详解】由双曲线的对称性可知12F AF B，12FBF A，有四边形12AFBF为平行四边形，令12F AF Bm，则122FBF Am，由双曲线定义可知212F AF Aa，故有22mma，即2ma，即122F AF Bma，124FBF Aa，2222222cos24 cos4F A F BF AF BAF BaaAF Ba ，则21cos2AF B，即23AF B，故2123F BF，则有222222121221124221cos22 422aacFBF BFFF BFFBF Baa，即2222041162aca，

17、即2204116162e，则27e，由1e，故7e.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于a、b、c之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出1F A、2F B与a的具体关系及21F BF的大小，借助余弦定理表示出与a、c有关齐次式，即可得解.二二、选择题选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9.已知函数 33sin 2cos 244f

18、xxx，则（）A.函数4fx为偶函数B.曲线 yf x的对称轴为,ZxkkC.f x在区间,3 2单调递增D.f x的最小值为2【答案】AC【解析】【分析】利用辅助角公式化简 33sin 2cos 244fxxx，再根据三角函数的性质逐项判断即可.【详解】33sin 2cos 244fxxx3333sin2 cossincos2cos2 cossin2 sin4444xxxx2222sin2cos2cos2sin22sin22222xxxxx ，即 2sin2f xx，对于 A，i422s n 22cos2xxfx，易知为偶函数，所以 A 正确；对于 B，2sin2f xx 对称轴为2,Z,Z

19、242kxkkxk，故 B 错误；对于 C，2,2,3 23xx，sin2yx单调递减，则 2sin2f xx 单调递增，故 C 正确；对于 D，2sin2f xx，则sin21,1x，所以 2,2f x，故 D 错误；故选：AC10.已知复数,z w均不为 0，则（）A.22|zzB.22|zzzzC.zzwwD.zzww【答案】BCD【解析】【分析】设出izab、iwcd，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.【详解】设izab,Ra b、iwcd,Rc d；对 A：设izab,Ra b，则222222i2i2izabaabbabab，222222|zabab，故 A

20、 错误；对 B：2zzzz z，又2z zz，即有22|zzzz，故 B 正确；对 C：iiiabcdzacdwb，则iaczwbd，izab，iwcd，则iiizwabcdacbd，即有zzww，故 C 正确；对 D：22iiiiiiizcwabcdacbdadbcabcdcdcdd2222222222222222222acbdadbca cabcdb da dabcdb ccdcdcd222222222222222222222a cb da db ca cb da db ccdcd，2222222222222222abcdzababcdwcdcdcd2222222222a cb ca db

21、 dcd，故zzww，故 D 正确.故选：BCD.11.已知函数 f x的定义域为R，且102f，若 4fxyfx fyxy，则（）A.102fB.122f C.函数12fx是偶函数D.函数12fx是减函数【答案】ABD【解析】【分析】对抽象函数采用赋值法，令12x、0y，结合题意可得 01f，对 A：令12x、0y，代入计算即可得；对 B、C、D：令12y ，可得122fxx，即可得函数12fx及函数12fx函数的性质，代入1x，即可得12f.【详解】令12x、0y，则有 1110100222fffff，又102f，故 100f，即 01f，令12x、12y ，则有1111114222222

22、fff，即 110122fff，由 01f，可得11022ff，又102f，故102f，故 A 正确；令12y ，则有 1114222fxf x fx，即122fxx，故函数12fx是奇函数，有1121222fxxx ，即1222fxx，即函数12fx是减函数，令1x，有12 122f ，故 B 正确、C 错误、D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到 01f，再重新赋值，得到102f，再得到122fxx.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12.已知集合2,0,2,4,3AB

23、x xm，若ABA，则m的最小值为_【答案】5【解析】【分析】由ABA可得AB，解出集合B后结合集合的关系计算即可得.【详解】由ABA，故AB，由3xm，得33mxm，故有4323mm ，即15mm，即5m，即m的最小值为5.故答案为：5.13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是_，圆锥MM的表面积与球O的表面积的比值是_【答案】.23.1【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径r以及球的半径R，用r表示出圆锥的高h和母线l以及球的半径R，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，因为圆

24、锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高3hr，母线2lr，由题可知：2hR，所以球的半径32Rr所以圆锥的体积为23113333Vrrr，球的体积333244333322VRrr，所以3132323332rVVr；圆锥的表面积2213Srlrr，球的表面积222234432SRrr，所以2122313SrSr，故答案为：23；1.14.以maxM表 示 数 集M中 最 大 的 数 设01abc，已 知2ba或1ab，则max,1ba cbc的最小值为_【答案】15#0.2【解析】【分析】利用换元法可得11bnpamnp ，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.【详解】令,1,bam cbncp其中

25、,0m n p，所以11bnpamnp ，若2ba，则12 1bnpmnp，故21mnp，令=max,1max,Mba cbcm n p，因此22MmMnMp,故421Mmnp,则14M，若1ab，则111npmnp，即221mnp，=max,1max,Mba cbcm n p，则2222MmMnMp,故5221Mmnp,则15M，当22mnp时，等号成立，综上可知max,1ba cbc的最小值为15，故答案为：15【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在2ba和1ab前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.四、解答题：本题共四、解答题：本题共

26、5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知函数 2ln2fxxxax在点 22f,处的切线与直线230 xy垂直（1）求a；（2）求 f x的单调区间和极值【答案】（1）3a （2）单调递增区间为10,2、1,，单调递减区间为1,12，极大值3ln24，极小值0【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；（2）借助导数可讨论单调性，即可得极值.【小问 1 详解】12fxxax，则 1922 222faa ，由题意可得92123a ，解得3a ；【小问 2 详解】由3a ，故 2ln32f xxx

27、x，则 2211123123xxxxfxxxxx，0 x，故当102x时，()0fx，当112x时，0fx，当1x 时，()0fx，故 f x的单调递增区间为10,2、1,，f x的单调递减区间为1,12，故 f x有极大值211113ln32ln222224f，有极小值 21ln1 13 1 20f .16.盒中有标记数字 1，2，3，4 的小球各 2 个，随机一次取出 3 个小球（1）求取出的 3 个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的 3 个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E X【答案】（1）47（2）分布列见解析，107E X【解析】【分析】（1）先确定3个不同数字的

28、小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果；（2）先确定X的可取值为1,2,3，然后计算出不同取值的概率，注意X的每种取值对应两种情况，由此可求分布列和期望E X.【小问 1 详解】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字的小球，有34C种方法，然后每种小球各取1个，有111222CCC种取法，所以3111422238CCCC4=C7P M.【小问 2 详解】由题意可知，X的可取值为1,2,3，当1X 时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以1221262638C CC C91=C14P X；

29、当2X 时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以1221242438C CC C22=C7P X；当3X 时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以1221222238C CC C13=C14P X，所以X的分布列为：X123P91427114所以92110123147147E X .17.如图，平行六面体1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，O为AC与BD的交点，11112,45AAC CBC CDC CO（1）证明：1C O 平面ABCD；（2）求二面角1BAAD的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）2 2

30、3【解析】【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.【小问 1 详解】连接11,BC DC，因为底面ABCD是边长为 2 的正方形，所以BCDC，又因为11C CBC CD，11CCCC，所以11C CBC CD，所以11BCDC，点O为线段BD中点，所以1C OBD，在1C CO中，11222,CCCOAC，145C CO，所以222111112cos222C COCC OC COC OC COC，则222111C COCC OC OOC，又OCBDO，OC 平面ABCD，BD平面ABCD，所以1C O 平面ABCD.【小问

31、 2 详解】由题知正方形ABCD中ACBD，1C O 平面ABCD，所以建系如图所示，则10,2,0,0,2,0,2,0,0,2,0,0,0,0,2BDACC，则112,0,2AACC，2,2,0,2,2,0ABAD ，设面1BAA的法向量为111,mx y z，面1DAA的法向量为222,xny z，则1111122001,1,10220 xzAA mmAB mxy，2212222001,1,10220 xzAA nnAD mxy，设二面角1BAAD大小为，则2112 2cossin1 cos3333m nmn，所以二面角1BAAD的正弦值为2 23.18.已知抛物线2:4C yx的焦点为F

32、，过F的直线l交C于,A B两点，过F与l垂直的直线交C于,D E两点，其中,B D在x轴上方，,M N分别为,AB DE的中点（1）证明：直线MN过定点；（2）设G为直线AE与直线BD的交点，求GMN面积的最小值【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】【分析】（1）设出直线AB与直线CD的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出直线MN后即可得定点坐标；（2）设出直线AE与直线BD的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G的横坐标恒为1，再结合面积公式及基本不等式即可得.【小问 1 详解】由2:4C yx，故1,0F，由直线AB与直线CD垂直，故两只直线斜率都存在且不

33、为0，设直线AB、CD分别为11xm y、21xm y，有121m m ，11,A x y、22,B xy、33,E xy、44,D xy，联立2:4C yx与直线AB，即有2141yxxm y，消去x可得21440ym y，2116160m，故1214yym、124y y ，则2121112112111242xxm ym ymyym ，故2121212xxm，12122yym，即21121,2Mmm，同理可得22221,2Nmm，当22122121mm 时，则2212112212122:12221MNmmlmmxmym，即21212121212121112221212122mmmmxyxmm

34、mmmmmmmmmm121221212121221121 21 22mmmmxxmmmmmmmmmm，由121m m ，即2121213121yxxmmmmmm，故3x 时，有213013mmy，此时MN过定点，且该定点为3,0，当22122121mm 时，即2212mm时，由121m m ，即11m 时，有2 13:MNlx ，亦过定点3,0，故直线MN过定点，且该定点为3,0；【小问 2 详解】由11,A x y、22,B xy、33,E xy、44,D xy，则311131:AEyylyxxyxx，由2114yx、2224yx，故22231113131112231313131313144

35、444yyyy yy yyyxxyxyyyyyyyyyyyyy，同理可得2442424:BDy yxlyyyyy，联立两直线，即13313124424244y yxyyyyyy yxyyyyy，有13243131424244y yy yxxyyyyyyyy，即42134231243144x yyy yyyx yyy yyy，有2431134242314y yyyy yyyxyyyy，由124y y ，同理344y y ，故243113422341241341234231423144y yyyy yyyy y yy y yy y yy y yxyyyyyyyy24134231414yyyyyyy

36、y，故1Gx ，过点G作/GQx轴，交直线MN于点Q，则12MNQGGMNSyyxx，由21121,2Mmm、22221,2Nmm，故121111222222 24MNyymmmmmm，当且仅当11m 时，等号成立，下证4QGxx：由抛物线的对称性，不妨设10m，则20m，当11m 时，有2111,0mm ，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方，有21120111mmmm，由直线MN过定点3,0，此时314QGxx，同理，当11m 时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方，有2110mm，故此时4QGxx，当且仅当11m 时，3Qx，故4QGxx恒成立，且11m 时，等号成立，故114 4822M

37、NMGNQGSyyxx，【点睛】关键点睛：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点G的横坐标恒为1，此时可根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.19.离散对数在密码学中有重要的应用 设p是素数，集合1,2,1Xp，若,u vX mN，记uv为uv除 以p的 余 数，,mu为mu除 以p的 余 数；设aX，2,2,1,pa aa两 两 不 同，若,0,1,2nab np，则称n是以a为底b的离散对数，记为log()anpb（1）若11,2pa，求1,pa；（2）对12,0,1,2m mp，记12mm为12mm除以1p 的余数（当12mm能被1p 整除时，120mm）证明：log()

38、log()log()aaapbcpbpc，其中,b cX；（3）已知log()anpb 对,1,2,2xX kp，令,12,kkyayxb 证明：2,21n pxyy【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）第一问直接根据新定义来即可.（2）第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证.（3）根据新定义进行转换即可得证.【小问 1 详解】若11,2pa，又注意到102102493 11 1，所以1,01,21pa.【小问 2 详解】当2p 时，此时1X，此时1bc，1bc，故log()0,log()0,log()0aaapbcp bp c，此时log()log(

39、)log()aaapbcp bp c.当2p 时，因2,2,1,pa aa相异，故2a，而aX，故,a p互质.设12=log(),log(),=log()aaanpbcnp b np c记12=log(),log(),=log()aaanpbcnp b np c，则12,Nm m，使得1212,nnapmb apmc，故1212nnapmbpmc，故12(mod)nnabcp，设121,02nnt pssp，则12nns，因为1,2,3,.1p除以p的余数两两相异，且,2,3,.1aaapa除以p的余数两两相异，故1!23,.1(mod)paaapap，故11modpap，故(mod)sabcp，而(mod)(mod),nabcpbcp其中02np，故sn即log()log()log()aaapbcp bp c.【小问 3 详解】当2b时，由（2）可得11modpbp，若1b，则11modpbp也成立.因为log()anpb，所以modnabp.另一方面，22,2,2121n pn pn pkkyyy yxba 112211modmodkkkn pk pkkpxbaxbbx bxpxp.由于xX，所以2,21n pxyy.【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解.