湖南省邵阳市2024届高三第一次联考数学试题含答案.pdf

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1、2024 年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学副)(共4页)第1页副副卷卷本试卷共4页，22个小题。满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.保持答题卡的整洁。考试结

2、束后，只交答题卡，试题卷自行保存。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 A=x|x=4n，nN，B=3，4，8，9，则集合 AB 的元素个数为A.4B.3C.2D.12.下列各式的运算结果不是纯虚数的是A.(1i)2B.(1i)2C.1i1iD.(1i)43.命题“xR，x24x6 0”的否定为A.xR，x24x60B.xR，x24x60C.xR，x24x60D.xR，x24x604.若抛物线 x2=2py(p0)上一点 M(n，6)到焦点的距离是 4p，则 p 的值为A.127B.712C.67D.765.如图（一

3、）所示，四边形ABCD是正方形，M，N分别BC，DC的中点，若ANAMAB，R，则2的值为A.43B.52C.23D.103ABCDNM图（一）#QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=#2024 年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学副)(共4页)第2页6.苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一。假设在即将举办的“姑娘节”活动中，组委会原排定有 8 个“歌舞”节目，现计划增加 2 个“对唱”节目.若保持原来8个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为A.56B.90C.110D.1327.已知函

4、数)63sin(2)(xxf在0，1772a上单调递增，在179a，109上单调递减，则实数a的取值范围为A.0，717B.617，717C.717，817D.817，9178.设a=87e，b=78e，c=56e，则a，b，c的大小关系为A.a c bB.a b cC.b a cD.c a b二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）9.设点P(x，y)为圆C：122 yx上一点，已知点A(4，0)，B(5，0)，则下列结论正确的有A.x+y的最大值为2B.yxyx4422的最

5、小值为8C.存在点P使PAPB2D.过A点作圆C的切线，则切线长为1510.下列说法正确的有A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x，2x和21s，22s，且1x=2x，则总体方差2221221sssB.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数|r|越接近于1C.已知随机变量XN(,2)，若151xPxP，则3D.已知一组数据为50，40，39，45，32，34，42，37，则这组数据的第40百分位数为3911.如图（二）所示，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，E为AA1的中点，则A.DE平面A1CAB.DE平面D1

6、C1EC.P为棱A1B1上任一点，则三棱锥CPDE的体积为定值D.平面DCE截此四棱柱的外接球得到的截面面积为8ABCDA1B1C1D1EP图（二）#QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=#2024 年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学副)(共4页)第3页12.已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R，且f(x1)和g(2x1)都是奇函数，且g(0)=13，则下列说法正确的有A.g(x)关于x=1对称B.f(x)关于(1，0)对称C.g(x)是周期函数D.42121iiig三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共

7、20分）13.(2xx)(x1)5的展开式中x2的系数为.14.已知数列an 的首项为 2，anan1=2n1(nN)，则 a10=.15.已知coscos 2cos4=18，(7，4)，则 2cos24cos=.16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点 F1，F2，它们的离心率分别为 e1，e2，点 P为它们的一个交点，且 cosF1PF2=12.当 e21112e22取最小值时，e21的值为.四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为95%，第2台车床的正品率为93%，将加工出来的零

8、件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的60%，40%.（1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；（2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用X表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计X的数学期望E(X).18.(12 分)在 ABC 中，内角A满足22cos2sin3AA.（1）求角A的大小；（2）若BDDC2，求BDAD的最大值.19.(12 分)如图(三)所示，圆台的上、下底面圆半径分别为 2cm 和 3 cm，AA1，BB1为圆台的两条不同的母线.O1，O分别为圆台的上、下底面圆的圆心，且OAB为

9、等边三角形.（1）求证：A1B1AB；（2）截面 ABB1A1与下底面所成的夹角大小为 60，求异面直线AA1与B1O1所成角的余弦值.图（三）#QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=#2024 年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学副)(共4页)第4页20.(12 分)设数列an(nN)满足：a1a22ann=n2.等比数列bn的首项b1=1，公比为2.（1）求数列 an，bn的通项公式；（2）求数列anbnn的前n 项和Tn.21.(12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b2=1(ab0)的短轴长为3，右顶点到右焦点的距离为12.

10、（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）如图(四)所示，设点 A 是椭圆 C 的右顶点.过点(3，0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 E，F，且都在 x 轴的上方.在 x 轴上是否存在点 P，使APE=OPF，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.22.(12 分)已知函数1)2()1ln()(xaxaxf，a0.（1）讨论 xf的单调性；（2）设xxxfxF4)1sin(2)()(，求证：当a=1时，)(xF恰有两个零点.图(四)#QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=#2024 年邵阳市高三第一次联考试题参考

11、答案与评分标准(数学副卷)第 1 页(共 7 页)2024 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准数学(副卷)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案CDDADBCD7.C 解析:由 2k-23x+62k+2,kZ,得2k3-29x2k3+9,kZ,f(x)的单调增区间为2k3-29,2k3+9,kZ.f(x)在 0,1772a上递增,01772a9,0a817.由 2k+23x+62k+32,kZ,得2k3+9x2k3+49,kZ,f(x)的单调减区间为2k3+9,2k3+49,kZ.79

12、179a109,717a1017.综上,717a817.8.D 解析:ab=18e1717e18=e1717e1818,设 f(x)=exx,0 x1,f(x)=ex(x-1)x2,f(x)18,f17()f18(),ab.又 a-c=18e17-e7(),设 g(x)=ex-ex,g(x)=ex-e,x1 时,g(x)g(1)=0,ac.综上 cab10),双曲线方程为:x2a22-y2b22=1(a20,b20).不妨设点 P 为第一象限的交点,由题意知:PF1+PF2=2a1,PF1-PF2=2a2.则PF1=a1+a2,PF2=a1-a2.由余弦定理得:4c2=PF12+PF22-2

13、PF1 PF21+acosF1PF24c2=3a222.4=3e21+1e22.e21+112e22=e21+112e22()1=143e21+1e22()e21+112e22()=14 112+3+3112e22e21+e21e22()143+112+23112e22e21e21e22().#QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=#2024 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学副卷)第 3 页(共 7 页)当且仅当14e42=e41时取等号,e21=e222.4=3e21+12e21=72e21,e21=78.四

14、、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)解:(1)不难知,第 1 台加工零件的次品率为 5%,第 2 台加工零件的次品率为 7%.记事件 A 表示“从混放的零件中任取一个零件,该零件是次品”,事件 B1表示“从混放的零件中任取一个零件,该零件是第 i 台车床加工的”,i=1,2.则 P(B2|A)=P(AB2)P(A)=0.40.070.60.05+0.40.07=1429.5 分(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,10,且 X 服从二项分布.由(1)知,P(A)=0.60.05+0.40.07=0.058.XB(10,0.05

15、8).E(X)=100.058=0.58.10 分18.(12 分)解:(1)由已知 2sin 2A-6()=2,sin 2A-6()=1.2 分 0A,-62A-60,ADBD=t2+2t+4t2-t+1=1+3(t+1)t2-t+1=1+3(t+1)(t+1)2-3(t+1)+3=1+3(t+1)+3t+1-31+32 3-3=2 3+4=3+1.10 分当且仅当 t=3-1 取等号.#QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=#2024 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学副卷)第 4 页(共 7 页)ADBD的

16、最大值为 3+1.12 分19.(12 分)(1)证明:圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到,所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.母线 AA1与母线 BB1的延长线必交于一点,A,A1,B,B1 四点共面.2 分 圆面 O1圆面 O,且平面 ABB1A1圆面 O1=A1B1,平面 ABB1A1圆面 O=AB.A1B1AB.5 分(2)解:ABO 为等边三角形,AOB=3,如图建立空间直角坐标系 O-xyz,设|OO1|=t(t0).A(3,0,0),B32,3 32,0(),A1(2,0,t).AA1=(-1,0,t),AB=-32,3 32,0()设平面 A

17、BB1A1的一个法向量 n1=(x,y,z).则有:-x+tz=0,-32x+3 32y=0.令 x=3,则 y=1,z=3t,n1=3,1,3t().8 分底面的一个法向量 n2=(0,0,1),因为截面与下底面所成的夹角大小为 60,所以 cos 60=|cosn1,n2|=3t4+3t2=33+4t2=12,t=32,10 分 AA1=-1,0,32(),又 A1B1=23AB=(-1,3,0),B1坐标为 1,3,32().O1B1=(1,3,0),cosAA1,O1B1=AA1O1B1|AA1|O1B1|=-11322=-1313.异面直线 AA1与 O1B1所成角的余弦是1313.

18、12 分#QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=#2024 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学副卷)第 5 页(共 7 页)20.(12 分)解:(1)a1+a22+ann=n2,n1.a1+a22+an-1n-1=(n-1)2,n2.ann=n2-(n-1)2=2n-1.即 an=n(2n-1),n2.2 分当 n=1 时,a1=1,满足上式.an=n(2n-1)=2n2-n,bn=2n-1.4 分(2)由(1)知:anbnn=(2n-1)2n-1.Tn=120+321+(2n-1)2n-1,5 分2Tn=12

19、1+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n.-Tn=1+221+22n-1-(2n-1)2n7 分=1+22(1-2n-1)1-2-(2n-1)2n9 分=1+4(2n-1-1)-(2n-1)2n=22n-(2n-1)2n-3=(3-2n)2n-3.11 分 Tn=(2n-3)2n+3.12 分21.(12 分)解:(1)依题意得2b=3,a-c=12,a2=b2+c2.2 分解得 a=1,b=32,c=12,椭圆 C 的标准方程为 x2+y234=1.4 分(2)存在点 P,使APE=OPF,点 P 的坐标为13,0().理由如下:5 分 直线 l 过点(3,0),与椭圆 C:x2+43y2

20、=1 交于不同的两点 E,F.且都在 x 轴上方.直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),k0.联立方程y=k(x-3),x2+43y2=1.消去 y 可得:(3+4k2)x2-24k2x+36k2-3=0.#QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=#2024 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学副卷)第 6 页(共 7 页)设 E(x1,y1),F(x2,y2),则 x1+x2=24k23+4k2,x1x2=36k2-33+4k2.7 分 APE=OPF,kPE+kPF=y1x1-m

21、+y2x2-m=k x1-3()x2-m()+k(x2-3)x1-m()x1-m()x2-m()=k2x1x2-(3+m)(x1+x2)+6mx1-m()x2-m()=k72k2-63+4k2-(3+m)24k23+4k2+6mx1-m()x2-m()=k72k2-6-72k2-24mk2+18m+24mk2x1-m()x2-m()(3+4k2)=0.10 分 18m-6=0,m=13.存在 P 点满足条件.P 点坐标为13,0().12 分22.(12 分)(1)解:f(x)=ax-1+a+2=(a+2)(x-1)+ax-1=(a+2)x-2x-1,x1.当 a=-2 时,f(x)=-2x-

22、10,f(x)在(1,+)上单调递减.当-2a0 时,(a+2)x2,(a+2)x-20,f(x)在(1,+)上单调递增.当 a-2 时,a+20,(a+2)x-20,f(x)在(1,+)上单调递减.综上所述,当-2a0 时,f(x)在(1,+)上单调递增.当 a-2 时,f(x)在(1,+)上单调递减.4 分(2)证明:a=1 时,F(x)=ln(x-1)+2sin(x-1)-x+1.令 h(x)=lnx+2sinx-x(x0),则 h(x)=1x+2cosx-1.令 h(x)=m(x),m(x)=-1x2-2sinx.x(0,1时,h(x)0 恒成立,h(x)在(0,1上单调递增.又 h(

23、1)=2sin1-10,g(e-2)=-2+2sin e-2-e-20 存在一个零点 x1,x1(0,1,使 h(x1)=0.6 分#QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=#2024 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学副卷)第 7 页(共 7 页).x(1,m(x)=-1x2-2sin x0 恒成立,m(x)在(1,上单调递减.又 m()=1-2-10.存在零点 x0,使 m(x0)=0.x(1,x0),h(x)0,x(x0,),h(x)0,h(x0)0.h()=ln-0,存在一个零点 x2,x2(x0,),使

24、h(x2)=0.8 分.x,32(,h(x)=1x-1+2cos x0 恒成立.h(x)在(,32)单调递减.h(x)h()=ln-0 恒成立.h(x)在,32()没有零点.10 分.x32,+()时,lnx+2sin x-xlnx+2-x下面来证明当 x32,+()时,lnx+2-x0.n(x)在32,+()上单调递增,n(x)n32(),32-2-ln322-ln320,lnx+2-x0 恒成立.综上所述,h(x)在(0,+)只有两个零点.又 F(x)是由 h(x)向右平移一个单位所得,F(x)在(1,+)只有两个零点.12 分注:解答题有其他解法酌情给分.#QQABJQKAoggoABBAAQhCEwVoCAEQkBGAAKoGAFAAoAAASBNABAA=#