华师一附中2024届高三数学独立作业（9)试卷含答案.pdf

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1、华师一附中华师一附中 2024 届高三独立作业届高三独立作业（9）一、一、单选题单选题(本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的)1.20232ii（）A.2B.2C.5D.52.已知集合2|2 MyZ yxx，|ln()Nx yx，则MN=（）A.B.1C.(1,1)D.1,0)3.已知关于x的不等式0)2)(xax成立的一个充分不必要条件是11x.则a的取值范围是（）A.1,B.0,C.,1D.,24.已知非零向量ba,满足3,2|bab，若aba)(，则

2、向量a在向量ba3方向上的投影向量为（）A.)3(4343baB.)3(432baC.)3(43434baD.)3(434ba5.已知函数)0,0)(cos()(xxf图象的一条对称轴与一个对称中心的距离为4，当取最小值时，将)(xf的图象向右平移6个单位长度得到函数)(xg的图象，若函数)(xg在区间43,2上是增函数，则的取值范围为（）A.2,6B.65,3C.32,3D.43,46.已知定义在R上的函数)(xf满足对任意实数x有)()1()2(xfxfxf，若)2(xfy 的图像关于直线21x对称，2)1(f，则231)(kkf（）A.2B.1C.1D.27.已知06.1,03.1ln,

3、03.0cebea，则（）A.CabB.acbC.bacD.abc8.在ABC中，已知9 ACAB,CABsincossin,6PBCS,P为线段AB上的一点，且CBCByCACAxCP,则yx11的最小值为（）A.33127B.12C.34D.43125二二、多选题多选题(本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求。全部选对的得要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分)9.早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程。16 世纪

4、上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法。研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元n nN次复系数多项式方程 0f x 至少有一个复数根。请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程43200axbxcxdxea在复数集C内的根为1234,x x x x，则下列结论正确的是（）A.1234bxxxxa B.123124134234cx x xx x xx x xx x xa C.1234ex x x xaD.121314232434dx xx xx xx xx xx xa10.123,z zz为复数，10z，下列命题中的真命题有（）A.若23zz，则23zz B.若21

5、21z zz，则12zzC.若1 21 3z zz z，则23zzD.若23zz，则1 21 3z zz z11.点HO,分别是ABC的外心、垂心，则下列选项正确的是（）A.P为ABC平面内一点，则0PCSPBSPASPABPACPBCB.若BCBABO2，且2AB，则4 ABACC.若OCnOAmOBB,3，则nm的取值范围为 1,2D.若0432HCHBHA，则510cosBHC12.已知函数3cos263sin2)(xxxf，则下列说法正确的是（）A.直线2x为函数)(xf图象的一条对称轴B.函数)(xf的最小值为1C.函数)(xf在413411，上单调递增D.3)(xf的解集为Zkkk

6、,33，三、填空题三、填空题(本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分)13.平面向量,ABx y，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量AP，则AP 。14 已知1a，2b，1a b ，若atb与tab的夹角为锐角，则实数t的取值范围。15.已知2,0，终边上有一点）（2sin2cos,2cos2sinP，则=。16.设Ra，函数0,4740,2sin)(2xaxxxxxf，若)(xf在区间),-a（内恰有 4 个零点，则a 的取值范围是。四、解答题四、解答题(本题共本题共 6 小题，小题，共共 70 分。解答应写出文字说明分。解答应写出文字说明、证明过程

7、或演算步骤证明过程或演算步骤)17.（本题满分本题满分 10 分分）函数)2,0)(sin(AxAy的一段图像如图所示，（1）求函数)(xfy 的解析式；（2）将函数)(xfy 的图像向右平移3个单位，得到)(xgy 图像，求函数)()(xgxfy在)2,0(x值域.18.（本 题 满 分（本 题 满 分 12 分）分）在ABC中，内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a,b,c，且coscos()2 3 cos()sinaAaBCbAC（1）求角 A 的大小；（2）若点M为BC的中点，点N满足13ANAC,2AB,6AC,点P为AM与BN的交点，求MPN的余弦值.19.（本题满分本题满

8、分 12 分分）某企业为响应国家号召，研发出一款特殊产品，计划生产投入市场.已知该产品的固定研发成本为 180 万元，此外，每生产一台该产品需另投入 450 元.设该企业一年内生产该产品)500 xx（万台并委托一家销售公司全部售完.根据销售合同，20 x时，销售公司按零售价支付货款给企业；502 x时，销售公司按批发价支付货款给企业.已知每万台产品的销售收入为)(xI万元，满足：502,9000305044020,2)1(2)(22xxxxexxIx（1）写出年利润)(xP(单位：万元)关于年产量x的函数关系式；（利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业

9、的获利最大？并求出此时的最大利润.20.（本题满分本题满分 12 分分）ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，AD 为BAC的平分线，32:2:3:bADc（1）求A；（2）AD上有点M，90BMC,求ABMtan.21.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）在)sin)(sin()sin(sinBAbaCAc，caAb2cos2，222sin332bcaBac三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答（1）求角B的大小；（2）如图所示，当CAsinsin取最大值时，若在ABC所在平面内取一点DD(与B在AC两侧），使得线段1,2DADC，求BCD面积的最大值.22.（本题满分本题满分

10、 12 分分）已知函数)(1)3(ln)(2Raxaxxaxxf，（1）当时1a，求曲线)(xf在)1(,1(f处的切线方程；（2）若)(xf存在两个极值点)(,2121xxxx，求a的取值范围；当12xx取得最小时，求a的值.1 2022024 4 届高三数学独立作业 9 9 总分：150150 分 时间：120120 分钟 命题人：钟旭 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.20232ii=（）A2 B2 C5 D5【答案】D 2.已知集合2|2MyZ yxx=，()lnNx yx=，则MN=（）A B 1 C(

11、)1,1 D)1,0【答案】B【详解】|0Nx x=，而()2|11MyZ yx=，因为()2111yx=，故 1MN=，故选：B.3.已知关于x的不等式()(2)0 xa x成立的一个充分不必要条件是11x，则a的取值范围是（）A(,1 B(,0)C1,)+D2,)+【答案】C【详解】解：设()()|20Axxax=，()1,1B=，当2a 时，不等式()()20 xax的解集为()(),2,a+，即()(),2,Aa=+，当2a=时，不等式()()20 xax，即()220 x，则解集为()(),22,+，即()(),22,A=+，当2a 时，不等式()()20 xax的解集为()(),2

12、,a+，即()(),2,Aa=+，不等式()()20 xax成立的一个充分不必要条件是11x，BA，所以12a或2a=或2a，综上可得1a，即1,)a+；故选：C.2 4.已知非零向量a，b满足|2b=，,3a b=，若()aba，则向量a在向量3ab+方向上的投影向量为（）A43(3)43ab+B2(3)43ab+C4 43(3)43ab+D4(3)43ab+【答案】C 1(3)1 3 1 242aba+=+=,1|3|1 9 46 1 2432ab+=+=向量a在向量3ab+方向上的投影向量为(3)34|(3)43|3|3|abaabaabab aab+=+5.已知函数()cos()(0,

13、0)f xx=+图象的一条对称轴与一个对称中心的距离为4，当取最小值时，将()f x的图象向右平移6个单位长度得到函数()g x的图象，若函数()g x在区间423,上是增函数，则的取值范围为 A,6 2 B5,36 C2,33 D3,44【详解】由题意可得函数()f x的周期T满足424TkT+=，所以(21)44kT+=，解得=42k+，当0k=时取得最小值 2，则()()cos 2f xx=+，将()f x的图象向右平移6个单位长度得到函数()g x的图象，可得()cos 263g xfxx=+，由3,42x，272,336x+，函数()g x的图象在区间423,上是增函数，故22372

14、26kk+，解得52236kk+，由0，当0k=时，5,36，故选：B.6已知定义在R上的函数()f x满足对任意实数x有()()()21f xf xf x+=+，若()2yfx=的图象关于直线12x=对称，()12f=，则231()kf k=（）A2 B1 C1 D2【答案】C【详解】因为()()()21f xf xf x+=+，所以()()()321f xf xf x+=+，3 从而可得()()3f xf x+=，所以()()6f xf x+=，所以函数()f x的一个周期为 6 因为()2yfx=的图象关于直线12x=对称，所以()()1 21 2fxfx=+，即函数()f x的图象关于

15、直线1x=对称 又()12f=，()()()210fff=，所以()()201ff=，所以()()()()()()()()301,412,521,601ffffffff=，所以()()()1260fff+=由于 23 除以 6 余 5，所以231()(1)kf kf=+(2)(5)(6)1fff+=故选：C 7.已知0.03ea=，()ln 1.03eb=，1.06c=，则（）Acab Bacb Cbac Dabc【答案】B【详解】由题意0.03ea=，()()ln 1.03eln 1 0.031b=+，1.061 2 0.03c=+，下面先证明e1xx+，设函数()e1xxx=，则()e1x

16、x=，当0 x 时，()0 x，()x在()0,+内单调递增，当0 x 时，()0 x，()x在(),0内单调递减，所以()()00 x=，所以当0 x 时，e1xx+，设()11 2f xxx=+，0 x，令1 21tx=+，则212tx=，所以()()2112tf xh tt=+=()()21012tt，所以11 2xx+，所以0.03e0.03 11 2 0.031.06+=，即ac 再设()()()ln 111 20g xxx x=+，()()()12111112112xxgxxxxx+=+，又由知()0g x，所以()g x在()0,+内单调递减，所以()()00g xg=，所以()

17、ln 111 2xx+，4 所以()ln 1 0.031+1 2 0.03+，即()ln 1.03e1.06，所以bc 综上，acb故选：B 8.在ABC中，已知9AB AC=，sincossinBAC=，6ABCS=，P为线段AB上的一点，且CACBCPxyCACB=+，则11xy+的最小值为（）A73123+B12 C43 D53124+【答案】A【详解】在ABC中，设ABc=，BCa=，ACb=，sincossinBAC=，即()sincossinA CAC+=，即sincoscossincossinACACAC+=，sincos0AC=，0A，sin0A，cos0C=，0C，2C=，9

18、AB AC=，即cos9cbA=，又1sin62ABCSbcA=，sin4tancos3bcAaAbcAb=，162ABCSab=，则12ab=，所以，4312abab=，解得43ab=，225cab=+=.以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C、()3,0A、()0,4B，P为线段AB上的一点，则存在实数使得()()()3,43,401APAB=，()3 3,4CPCA CB=+=，设1CAeCA=，1CeBCB=，则121ee=，()11,0e=，()20,1e=，()12,CACBCPxyxeyex yCACB=+=+=，334xy=

19、，消去得4312xy+=，134xy+=，所以，1177372343412341231211xyxyxyxxyyxyyx+=+=+=+，当且仅当32xy=时，等号成立，因此，11xy+的最小值为37312+.故选：A.5 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16 世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元n()*nN次复系数多项式方程()0f x=至少有一个复数根请

20、借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程4320axbxcxdxe+=(0)a，在复数集C内的根为1x，2x，3x，4x，则下列结论正确的是（）A1234bxxxxa+=B1 231 241 34234cx x xx x xx x xx x xa+=C1 234ex x x xa=D1 21 31 4232434dx xx xx xx xx xx xa+=【答案】AC 教材 P82【详解】由题设知：2341243()()()()a xxaxbxcxdx exxxxxx+=，22124321 2343 4()()a xxx xaxbxcxdxx xxxxexx x+=+，432axbx

21、cxdxe+=43212341 21 32 31 42 43 41 2 31 2 41 3 42 3 41 2 3 4()()()a xxxxx xx xx xx xx xx xx x xx x xx x xx x xx x x xx x x x+，1234bxxxxa+=，1 21 3231 42434cx xx xx xx xx xx xa+=，1 231 241 34234dx x xx x xx x xx x xa+=，1 234ex x x xa=.故选：AC 10 123,z zz为复数，10z，下列命题中的真命题有（）A.若23|zz=，则23zz=B.若21 21|z zz=，

22、则12zz=C.若1 21 3z zz z=，则23zz=D.若23zz=，则1 21 3|z zz z=【解答】解：设 z1a1+b1i，z2a2+b2i，z3a3+b3i，若|z2|z3|，则，6 此时 z2z3不一定成立，故 A 错误；若 z1z2z1z3，则 z1（z2z3）0，又因 z10，所以 z2z3，故 C 正确；若，则 a2a3，b2b3，所以，所以|z1z2|z1z3|，故 D 正确；当时，此时 z1z2不一定成立，故 B 错误 故选：CD 11点O，H分别是ABC的外心垂心，则下列选项正确的是（）AP为ABC平面内一点，则0PBCPACPABSPAPBPSCS+=B若2B

23、OBABC=+，且2AB=，则4AC AB=C若3B=，OBmOAnOC=+，则m n+的取值范围为 2,1 D若2340HAHBHC+=，则10cos5BHC=【答案】BD【详解】A.P在ABC外时，不满足，故 A 错误；B.若2BOBABC=+，则点O是AC的中点，点O又是ABC的外心，所以90ABC=，2cos4AC ABAC ABAAB=，故 B 正确；C.因为3B=，所以23AOC=，如图，建立平面直角坐标系，设(),0C r，13,22Arr，()cos,sinB rr，2,23 因为OBmOAnOC=+，所以1cos23sin2rmrnrrmr=+=，得2sin3m=，1coss

24、in3n=+，cos3sin2sin6mn+=+=+，2,23，7 5 13,666+，1sin1,62+，则)2,1m n+，故 C 错误；D.因为AHBC，所以0AH BC=，即()0AHHCHBAH HCAH HB=，则HA HCHA HB=，同理，HA HCHC HB=，所以HA HCHA HBHB HC=，设HA HCHA HBHB HCx=，因为2340HAHBHC+=，所以324HBHAHC=，即23264HBHBxHBHAHC=，则2HBx=，423HCHAHB=，即24253HCHCxHCHAHB=，则54HCx=，210coscos,552HB HCxBHCHB HCHB

25、HCx=，0 x，故 D 正确.故选：BD 12.已知函数()2 sin2 cos363xxf x=+，则下列说法正确的是（）A直线2x=为函数()f x图象的一条对称轴 B函数()f x的最小值为 1 C函数()f x在1113,44上单调递增 D()3f x 的解集为3,3,kkkZ+【详解】(3)2 sin2 cos2 sin2 cos()363363xxxxf xf x+=+=+=，故3x=为函数()f x的一个周期；因为2 sin2 cos23363xxfx+=+所以2 sin2 cos2 sin2 cos233633633xxxxfx+=+=+又sinsic32nos33636xx

26、x+=+=，coscossin3623333xxx+=+=，所以22fxfx+=+，故函数2fx+为偶函数，所以直线2x=为函数()f x图象的一条对称轴，故 A 正确；当3,22x 时，,36 2x ，20,363x+，又()2 sin2 cos363xxf x=+，所以()2sin2cos2sincos2cossin2cos36336363xxxxxf x=+=+，所以()3sin3cos2 3sin3333xxxf x=+=+，当35,22x时，5,326x，2,363x+8 ()2sin2cos3sincos2sin3633336xxxxxf x=+=；所以在一个周期内函数()f x的

27、解析式为()3,22335,2 3sin,222233xxxf xx+=，作出函数()f x的大致图象如下所示，易得 B 错误 函数在1113,44上的图象与其在,4 4 上的图象相同，当,4 4x 时，()2 3sin33xf x=+，此时5312,34x+，所以函数()2 3sin33xf x=+在,4 4x 单调递增，故 C 正确，当35,22x时，()23f x，当3,22x 时，由2 3sin333x+解得0 x，所以()3f x 的解集为3,3,kkkZ+，故 D 正确，故选：ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.平面向量(,)ABx y=，把A

28、B绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量AP，则_AP=【答案】()cossin,sincosxyxy+教材 P53 14.已知1a=，2b=，1a b =，若atb+与tab+的夹角为锐角，则实数 t的取值范围是 【答案】3535,11,22+【详解】因为atb+与tab+的夹角为锐角，又()()cos,atbtabatb tabatbtab+=+，所以222()()(1)0a tbta btat a btb+=+，又1a=，2b=，1a b =，所以22(1)2310ttttt+=+，解得353522t+，又因,0,atb tab+，9 当,0atb tab+=时，也满足()()0atbtab

29、+，此时不合题意，当atb+与tab+共线同向时，有()atbtab+=+，从而得到1tt=，解得1t=，又3512，所以实数 t的取值范围是3535,11,22+，故答案为：3535,11,22+.15.已知0,2)，终边上有一点(sin2cos2,cos2 sin2)P+，则=_【答案】924【详解】因为cos2sin21tan2tantan(2)sin2cos21tan24=+又0,2)，P在第四象限922244=+=16.设Ra，函数2sin2,0()474,0 x xf xxxa x=+，若()f x在区间(),a+内恰有 4 个零点，则a的取值范围是 .【答案】371,224【详解

30、】作出2sin2,0()474,0 x xf xxxa x=+的图像，左侧是正弦型函数的，右侧是开口向上，可以上下平移对称轴为2x=的二次函数.当()f x在区间(),0a有 4 个零点且在区间(0,)+没有零点时，满足0522a ，无解；当()f x在区间(),0a有 3 个零点且在区间(0,)+有 1 个零点时，满足()000322fa ，或者0322a=，解得724a；当()f x在区间(),0a有 2 个零点且在区间(0,)+有 2 个零点时，10 满足()000312fa ，解得3(1,2 综上所述，a的取值范围是 371,224.故答案为：371,224 四、解答题：本题共 6 小

31、题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）函数()sin,0,2yAxA=+的一段图象如图所示.(1)求函数()yf x=的解析式；(2)将函数()yf x=的图象向右平移3个单位，得到()yg x=图象，求函数()()yf xg x=+在(0,)2x值域.【答案】(1)()2sin(2)6f xx=+；(2)(1,2.【详解】（1）观察图象，得2A=，函数()f x的周期112()1212T=，解得2=，即()()2sin 2f xx=+，由()2sin()0126f=+=，得6k+=，即,Z6kk=+，而2，则6=，所以函数()yf x=的解析

32、式是()2sin(2)6f xx=+.（2）由（1）得()2sin2()2sin(2)2cos2362g xxxx=+=，则31()()2cos22(sin2o2sin(2c s2)2cos222)6yf xg xxxxxx=+=+=3sin2cos22sin(2)6xxx=，当02x时，52666x，有1sin(2)123x，于是12sin(2)23x，所以所求值域为(1,2.11 18（本小题满分 12 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，且()()coscos2 3 cos sinaAaBCbAC+=(1)求角 A 的大小；(2)若点M为BC中点，点N满足1,2,

33、63ANAC ABAC=，点P为AM与BN交点，求MPN余弦值【答案】(1)23 (2)217 教材 P53【详解】（1）由已知得()()coscos2 3 cos sinaBCaBCbAC+=，即2 sin sin2 3 cos sinaBCbAC=由正弦定理得sin sin sin3sin cos sinABCBAC=因为在ABC中，sin0,sin0BC，所以tan3A=因为()0,A，所以23A=（2）设,ANa ABb=，所以3ACa=，因为M为BC的中点，所以11312222AMABACab=+=+，又BNa b=，由（1）知，23A=，2,6ABAC=，故2,2ab=，2cos2

34、3a bab=，故22331162262222ANMaa bbBab=+=+=229317424aAaMab=+=，222122 3BNaa bb=+=，所以621coscos,772 3AM BNMPNAAM BNM BN=，12 所以MPN的余弦值为217 19.（本小题满分 12 分）某企业为响应国家号召，研发出一款特殊产品，计划生产投入市场已知该产品的固定研发成本为 180 万元，此外，每生产一台该产品需另投入 450 元设该企业一年内生产该产品(050)xx万台并委托一家销售公司全部售完根据销售合同，02x时，销售公司按零售价支付货款给企业;250 x时，销售公司按批发价支付货款给企

35、业已知每万台产品的销售收入为()I x万元，满足:222(1)e2,02()30509000440,250 xxxI xxxx+=+(1)写出年利润()P x(单位:万元)关于年产量x(单位:万台)的函数关系式;（利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本)(2)当年产量为多少万台时，该企业的获利最大?并求出此时的最大利润【答案】(1)()()221 e448180,029000102870,250 xx xxxP xxxx=+;(2)当年产量为 30 万台时，该企业获利最大，且此时的最大利润为 2270 万元【详解】（1）当02x时，()()()()2221 e218045021 e4481

36、80 xxP xxxxx xx=+=，当250 x时，()()2305090009000(440)1804504403050180450P xxxxxxxx=+=+9000102870 xx=+，所以，()()221 e448180,029000102870,250 xx xxxP xxxx=+;（2）当02x时，()22(1)e2xxI x=+,令2,(2,0txt=，则()22(1)e2xxI x=+转化为()()21 e2ttt=+，则()()22 ettt=+，当()2,0t 时，()0t，()t在()2,0上单调递增，()t的最大值为()04=，即当2x=时，()I x取得最大值 4

37、 万元，此时销售收入远小于投入，企业亏损，所以最大获利一定在25x时取得，此时()90009000102870102870P xxxxx=+=+13 90002 10287060028702270 xx+=+=，当且仅当900010 xx=，即30 x=（负值舍去）时等号成立，此时()P x取得最大值，且最大值为 2270（万元），所以，当年产量为 30 万台时，该企业获利最大，且此时的最大利润为 2270 万元 20.（本小题满分 12 分）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c AD为BAC平分线，:3:2:2 3c AD b=.(1)求A；(2)AD上有点,90MBMC=，求t

38、an ABM.【答案】(1)3 (2)3114+【详解】（1）设3,2,2 3ck ADk bk=，,ABCABDADCSSS=+111sinsinsin22222AAbcAAD cAD b=+，3sinsin2AA=，3sin2sincos222AAA=，3cos,0,2222AA=，,263AA=（2）由（1）知：6BAD=，BAD中，222234232cos6BDkkkkk=+=，,BDk=222BDABAD+=，故得：,3,226ABCCBCk DCk=，设,ABMABM=中，5AMBBAMABM=6 355sinsinsin66AMABk=，,ABMMBCMCBMBCABMMCB+=

39、+=2，ACM中，ACMACBMCB=6，AMCMACACM=+23，2 322sinsinsin633AMACk=+，两式相除得：22sinsinsin6335sin2sin2sin66+=+，14 2213312cossinsincossin4422=，22cos3cos sin2sin0=，,cos 02，23112tan3tan10tan4+=，为锐角，故311tan4+=.21.（本小题满分 12 分）在(sinsin)()(sinsin)cACabAB=+，2 cos2bAac+=，2222 3sin3acBacb=+三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答(1)求角B的大小；

40、(2)如图所示，当sinsinAC+取得最大值时，若在ABC所在平面内取一点D（D与B在AC两侧），使得线段2,1DCDA=，求BCD面积的最大值【答案】(1)3B=；(2)3+1.【详解】（1）若选(sinsin)()(sinsin)cACabAB=+，由正弦定理得，()()()c acab ab=+，整理得222acbac+=，所以2221cos222acbacBacac+=，又0B，所以3B=；若选2 cos2bAac+=，由余弦定理得222222bcabacbc+=，化简得222acbac+=所以2221cos222acbacBacac+=，又0B，所以3B=；若选2222 3sin3

41、acBacb=+，由余弦定理得，2 3sin2cos3acBacB=，化简得tan3B=，又0B，所以3B=；（2）由（1）得23AC+=，故203A，所以233sinsinsinsinsincos3sin3226ACAAAAA+=+=+=+由5666A+，所以当62A+=即3A=时，sinsinAC+取得最大值3，令,ACDADC=，ABACBCa=，在ACD中由正弦定理可得，1sinsina=，所以sinsina=，由余弦定理可得2222122 1 cos54cosa=+=，所以()2222222cos1 sinsinaaaa=()22254cossincos4cos42cos=+=，15

42、 因为1,2DADC=，可得02，所以cos2 cosa=，1312 sincossin2322BCDSaaa=+=+()312cossinsin31+3223=+=+，当且仅当=32即5=6时,等号成立，所以BCD面积的最大值为3+1 22.（本小题满分 12 分）已知函数()()()2ln31f xaxxxa xaR=+.（1）当1a=时，求曲线()f x在()()1,1f处的切线方程；（2）若()f x存在两个极值点()1212,x xxx.求a的取值范围；当21xx取得最小时，求a的值.【答案】（1）1yx=+；（2）0a；3.【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）由

43、()f x存在两个不同极值点转化为()0fx=有两个不同的正实根，利用导数讨论其单调性从而确定出a的范围；()1212,x xxx是()f x得两个极值点得11ln230axx+=，22ln230axx+=，进而得到()1212112222323lnlnlnxxxxaxxxx=，通过等价思想及函数的单调性求得a即可.【详解】解：（1）当1a=时，()2ln21f xxxxx=+，()ln1 22ln23fxxxxx=+=+，所以()1ln1 2 3 1f=+=，而()211 ln1 12 12f=+=，所以在()()1,1f处的切线方程为：21yx=，即1yx=+.(2)()()()ln123

44、ln230fxaxxaaxxx=+=+，令()ln2+3g xaxx=，由题意可得，()g x有两个不同的正零点.，()()220aaxgxxxx=.当0a 时，()0g x，()g x在()0,+上单调递减，故至多有一个零点，不合题意；当0a 时，在0,2a上()0g x，()g x单调递增，在,2a+上()0g x，()g x单调递减，故只需()max02ag xg=，即ln302aaa+，化简得：3ln102aa+，16 令()()3ln102ah aaa=+，()22133ah aaaa=，当()0,3a时，()h a单调递减，当()3,a+时，()h a单调递增.故()()min33

45、ln02h ah=，所以3ln102aa+恒成立.综上，a的取值范围为()0,+.()ln23fxaxx=+，由题知1x和2x是方程()ln230fxaxx=+=的两根，所以，11ln230axx+=，22ln230axx+=.()1212112222323lnlnlnxxxxaxxxx=2112121lnxxxxx=，令210 xx，21xtx=，则1t ()211211112312lnlnlnxxxth txxxtx=，1t，()h t在()1,+上单调递增.t取最小值时，()h t取最小值.令()232 lnxF xxx=，01x，()()223ln232lnxxFxxx=，()()3ln23xxx=，()32xxx=，()()0,1x在上单调递增.又()1=10且0 x，()0，()0 x=在()0,1内存在唯一的根0 x，()00 x=，即()003ln230 xx=，即00233lnxx=()F x在()00,x单调递减，在()0,1x上单调递增，()()0minF xF x=，()()1h tF x=，()h t取最小值时，即()1F x取最小值时，11233lnxax=.