辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高三上学期期末学业质量监测数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷 第 2 页（共 4 页）高三数学试卷 第 1 页（共 4 页）装订线2024 年年 1 月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试高三数学注意事项:1.本试卷分第卷、第卷两部分，共 6 页满分 150 分；考试时间：120 分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂在答题卡上3.用铅笔把第卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第卷的答案写在答题纸的相应位置上4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回第卷（选择题，共 60 分）一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题

2、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1集合 A=x|x2-x-20，B=y|y1”互为充要条件的是Axlog0.5xC3x2 0,R)在区间(4,2)上单调，且满足 f(4)=-f(512)，下列结论正确的有A.f(3)=0B.若 f(3-x)=f(x)，则函数 f(x)的最小正周期为23C.关于 x 方程 f(x)=1 在区间0,2)上最多有 4 个不相等的实数解D.若函数 f(x)在区间3,116)上恰有 5 个零点，则的取值范围为(83,3第卷（非选择题，共 90 分）三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13直线与圆相交，则 k 的取值范围是 .14已知

3、|a|=4,|b|=1，且|a-b|=13，则向量 a,b 夹角的余弦值为_.15随着冬季到来，各种流行疾病也开始传播，国家为了防止患者集中在大型医院出现交叉感染，呼吁大家就近就医.某市有市级医院，区级医院，社区医院三个等级的医院，对于出现的流行疾病三个医院都能治愈患者.若患者去三个医院就医的概率是16，13，12，三个医院就医时出现交叉感染的概率分别为16，18，112，患者在医院没有出现交叉感染且治愈的概率为 .16已知 F 为抛物线 C：y=14x2的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A，B，抛物线在点 A，B 处的切线分别为 l1和 l2，若 l1和 l2交于点

4、 P，则|PF|2+25|AB|的最小值为 .四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17（本小题满分 10 分）已知锐角ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a，b，c，_.在条件：(b-a)(sinB+sinA)=c(sinB-sinC)；2sinAcosB=2sinC-sinB；SABC=12a(csinC+bsinB-asinA)；这三个条件中任选一个，补充到上面的问题中并作答（1）求角 A；（2）若 AC=2，如图，延长 BC 到 D，使得 ADAB，求ACD 的面积 S 的取值 范围18.（本小题满分 12 分）如图,矩形 ABCD

5、 的边 AB 为圆 O 的直径,点 E,F 为圆O 上异于 A,B 的两点，ABEF,BFDF.已知 AB=2,EF=1.（1）求证:AD平面 ABEF；（2）当 AD 的长为何值时,二面角 E-CF-B 的大小为 45.19.（本小题满分 12 分）某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描 7 门选修课，每位同学须彼此独立地选 3 门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.（1）求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；（2）用 X 表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求 X 的分布列和数学期望.20（本小题满分 12 分）已知数列an的前 n 项和为

6、 Sn，a1=13，3nSn+1-3(n+1)Sn=n(n+1).（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=3(-1)nan(n+1)，求数列bn的前 29 项和 T2921（本小题满分 12 分）已知椭圆 G：x2a2+y2b2=1(ab0)经过 D(1,32)，E(2,0)两点作斜率为12的直线 l 与椭圆G 交于 A，B 两点(A 点在 B 的左侧)，且点 D 在直线 l 上方.（1）求椭圆 G 的标准方程；（2）证明：DAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.0 xyk221xy学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷 第 4 页（共 4 页）高三数学试卷 第 3 页（共 4 页）D22（本

7、小题满分 12 分）已知函数 f(x)=ex-aln(ax+a)-a，其中 a0（1）当 a=1 时，求 f(x)的单调区间；（2）已知 a0，若 f(x)只有一个零点，求 a 的取值范围1/620242024 年年 1 1 月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试高三数学高三数学参考答案参考答案及评分标准及评分标准一、选择题：一、选择题：1 12 23 34 45 56 67 78 8DACDBBCA二、二、多多选题：选题：9 9101011111212BCBDBCABD三、填空题：三、填空题：1313141415151616(-2,2)128910四、解答题：四

8、、解答题：17.17.(本小题满分本小题满分 1010 分分)（1）若选,由(b-a)(b+a)=c(b-c)b2+c2-a2=bccosA=b2+c2-a22bc=12,2 分由于 A(0,2)A=34 分若选,由 2sinAcosB=2sin(A+B)-sinB2sinBcosA=sinB,由于 B(0,2)，sinB0cosA=12,2 分又 A(0,2)A=34 分若选由 SABC=12a(csinC+bsinB-asinA)12a(csinC+bsinB-asinA)=12bcsinAa(c2+b2-a2)=abcc2+b2-a2=bccosA=b2+c2-a22bc=12,2 分又

9、 A(0,2)A=34 分（2）在ACD 中，CAD=6，由正弦定理得2sinD=ADsin(D+6)，则 S=122ADsin6=sin(D+6)sinD=32+12tanD6 分#QQABAQCAggCoABAAAQgCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=#2/6由ACB(0,2)B=-ACB-3(0,2)，得ACB(6,2)，D=ACB-6(0,3)，8 分tanD(0,3)，32+12tanD(2 33,+)即 S(2 33,+)10 分18.18.(本小题满分本小题满分 1212 分分)(1)因为 AB 为圆 O 的直径,F 为圆 O 上一点，所以 AFB

10、F因为 BFDF，DFAF=F所以 BF平面 ADF,因为 AD平面 ADF,所以 ADBF在矩形 ABCD 中，ADAB，ADAB=A所以 AD平面 ABEF,(2)过 O 作 OGEF,垂足为 G因为 ABEF，所以 OGAB过 O 作 OHAD,交 CD 于 H，则 OH平面 ABEF如图，以 OA,OG,OH 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系设 C(-1,0,t),B(-1,0,0),F(12,32,0),E(-12,32,0)EF=(1,0,0),BF=(32,32,0),FC=(-32,-32,t),设平面 CEF 的一个法向量为 n1由于EFn1=FCn1=0 得 n1=

11、(0,2t,3)设平面 BCF 的一个法向量为 n2由于BFn1=FCn1=0 得 n2=(1,-3,0)|cos|=|n1 n2|n1|n2|=|_x001E_2 3t2 4t2+3|=cos45=22解得|t|=62，所以 AD=|t|=6219.19.(本小题满分本小题满分 1212 分分)(1)设“甲同学选中建模”为事件 A，“乙同学选中建模”为事件 B，GH#QQABAQCAggCoABAAAQgCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=#3/6依题意 P(A)C14C2525，P(B)C26C3737.2 分因为事件 A 与 B 相互独立，所以甲同学选中建模

12、且乙同学未选中建模的概率为P(AB)P(A)P(B)P(A)1P(B)2547835.4分(2)设事件C为“丙同学选中建模”,则P(C)C25C3612.5分X 的可能取值为 0,1,2,3.P(X0)P(ABC)354712635，6 分P(X1)P(ABC)P(ABC)P(ABC)254712+353712+3547122970，7 分P(X2)P(ABC)P(A BC)P(ABC)253712+254712+3537122370，8 分P(X3)P(ABC)253712335，9 分随机变量 X 的分布列为X0123P6352970237033511 分所以 E(X)0635129702

13、237033359370.12 分20.20.(本小题满分本小题满分 1212 分分)(1)由题意可知，Sn+1n+1-Snn=13，S11=13，所以Snn以13为首项，以13为公差的等差数列2 分所以Snn=n3，从而 Sn=n234 分当 n2 时，an=Sn-Sn-1=n2(n1)23=2n-13，当 n=1 时，a1=13符合上式综上所述，an=2n-136 分(2)由 an=2n-13可得，bn=3(-1)nan(n+1)=(-1)n2n(n+1)-18 分T29=-(212-1)+(223-1)-(234-1)+(245-1)-(256-1)#QQABAQCAggCoABAAAQ

14、gCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=#4/6+(22829-1)-(22930-1)（只要是正确的并项方式即可）10 分=-3-4(3+5+29)=-89912 分21.21.(本小题满分本小题满分 1212 分分)(1)根据题意得，a=21a2+94b2=1解得a2=4b2=3，所以椭圆 G 的方程为x24+y23=1 4 分(2)设直线l为 y=12x+m，代入椭圆 G 得，x2+mx+m2-3=0=m2-4(m2-3)0,m(-2,2)设 A(x1,y1)，B(x2,y2)x1+x2=m，x1x2=m2-3 6 分方法（一）：kDA+kDB=y1-32x1

15、-1+y2-32x2-1=(12x1+m-32)(x2-1)x1x2-(x1+x2)+1+(12x2+m-32)(x1-1)x1x2-(x1+x2)+18 分=x1x2+(m-2)(x1+x2)+3-2mx1x2-(x1+x2)+1=m2-3-m(m-2)+3-2mm2-3+m+1=0从而 kDA+kDB=0，10 分又 D 在直线l的左上方，因此ADB 的角平分线是平行于 y 轴的直线，所以DAB 内切圆的圆心在直线 x=1 上 12 分方法（二）：设 DA，DB，ADB 角平分线所在直线的倾斜角分别为1，2，3，则有 23=1+2tan(23)=tan(1+2)=tan1+tan21tan

16、1tan2=y1-32x1-1+y2-32x2-11y1-32x1-1y2-32x2-1=(12x1+m-32)(x2-1)+(12x2+m-32)(x1-1)(x1-1)(x2-1)(y1-32)(y2-32)8 分=x1x2+(m-2)(x1+x2)+3-2m(x1-1)(x2-1)(y1-32)(y2-32)=m2-3-m(m-2)+3-2m(x1-1)(x2-1)(y1-32)(y2-32)=010 分30,),23=,3=2,所以ADB 的角平分线是过 D 且平行于 y 轴的直线，所以DAB 内切圆的圆心在直线 x=1 上 12 分22.22.(本小题满分本小题满分 1212 分分)

17、(1)f(x)=ex-ax+1，当 a=1 时，f(x)=ex-1x+1，f(x)=ex+1(x+1)20，f(x)在(-1,+)上单调递增2 分#QQABAQCAggCoABAAAQgCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=#5/6f(0)=0,x(-1,0)，f(x)0，y=f(x)单调增区间为(0,+).4 分(2)f(x)=ex-ax+1=ex(x+1)-ax+1，设 g(x)=ex(x+1)-a，g(x)=ex(x+2)，当 a0 时，定义域为(-,-1)，x(-,-2)，g(x)0,g(x)单调递增,6 分所以 g(x)min=g(-2)=-e-2-a若

18、a-e-2，则 g(x)0,f(x)0，y=f(x)在(-,-1)上单调递减,又1ae-1111-10g(111-1)=e1111-alna(111-1)+a+a=e1111-10唯一 x0(1ae-1，1ae1a-1-1)，使得 f(x0)=0，故 a-e-28 分若-e-2a0，则 g(-2)0 x(-,-2)，g(x)-a；x(-2,-1)，g(x)g(-1)=-ax1-2x20，f(x)0，f(x)单调递减x(x1,x2)，g(x)0，f(x)单调递增x(x2,-1)，g(x)0，f(x)0,h(t)=a(t-1t-2lnt)，h(t)=a(t-1)2t20,t(1,+),h(t)0；-(x1+1)(1,+)，f(x1)0 x1x3x2，使得 f(x3)=010 分#QQABAQCAggCoABAAAQgCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=#6/6-e-2a0，0-ae-2,ln(-a)+1-1,f(-2)=e-2-aln(-a)+1e-2-e-2=0-e-2a0，1ae-1-e-101ae-1x4x1，使得 f(x4)=0，f(x)零点不唯一，不成立综上，a 的取值范围是(-,-e-2 12 分#QQABAQCAggCoABAAAQgCAwX4CEMQkAEACKoGgBAMsAAACRNABAA=#