山西省2023-2024高三第一学期期末优生联考数学试题含答案.pdf

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1、第 1 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司20232024 学年第一学期优生联考高三数学学年第一学期优生联考高三数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知23iz，则z（）A.31i55B.31i55C.31i55D.31i552.已知集合01xAxx，e1xBy y，则AB（）A.(,1 B.(,1)C.(,1)0,1 D.(,10,1)3.第 19 届亚洲运动会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在

2、中国杭州举行，时值中秋和国庆假期，某班同学利用假期在家通过网络直播观看比赛.已知该班有 30 名学生喜欢看排球比赛，40 名同学喜欢看篮球比赛，50 名同学喜欢看排球比赛或篮球比赛，若从喜欢看排球比赛的同学中抽取 1 人，则此同学喜欢看篮球比赛的概率为（）A.12B.23C.34D.454.已知平面向量a、b满足22ba，若aab，则a与b的夹角为（）A.6B.56C.3D.235.已知抛物线2:8C yx的焦点为 F，点 P 在 C 上，若点6,3Q，则PQF周长的最小值为（）A.13B.12C.10D.86.已知、是两个平面，直线l，l，若以l；/l；中两个为条件，另一个为结论构成三个命题

3、，则其中正确的命题有（）A.；B.；C.；D.；7.已知函数 si(n0)5f xx的图象与 g x的图象关于x轴对称，若将 f x的图象向左至山西省2023-2024高三第一学期期末优生联考数学试题第 2 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司少平移2个单位长度后可得到 g x的图象，则（）A.g x的图象关于原点对称B.2g xg x C.g x在0,5上单调递增D.g x的图象关于点2,05对称8.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为22，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列 nb，若

4、 na的前 n 项和为2*(20)0,nSnnnN，令21max,nnncab，其中max,x y表示 x，y 中的较大值.若3ncc恒成立，则实数的取值范围是（）A.4,3B.3,2C.21,32D.23,3二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列代数式的值为14的是（）A.22cos 75sin 75B.2tan151tan 15C.co

5、s36 cos72D.2cos20 cos40 cos8010.已知,(0,1)a b，且1ab，则（）A.221abB.lnln2ln2ab C.222 2abD.2ab第 3 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司11.已知定义在R上的函数 f x满足 32f xfx，且34fx为奇函数，当3,04x 时，2823f xxax，则（）A.f x是周期为3的周期函数B.11fC.当3 9,2 4x时，2822233f xxx D.202412if i12.在长方体1111ABCDABC D中，1224ADABAA，E 是棱11BC的中点，过点 B，E，1D的平面交棱AD于点 F，P 为线段

6、1D F上一动点（不含端点），则（）A.三棱锥PABE的体积为定值B.存点 P，使得DPC.直线PE与平面11BCC B所成角的正切值的最大值为2D.三棱锥1PBB E外接球表面积的取值范围是(12,44)三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知42232,log 2 log5aaxa，则5loglog 5xx_14.已知函数()(e)lnf xxx，若直线(1 e)yxb与曲线()yf x相切，则b _.15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点0,2A射出的两条光

7、线与22:1O xye分别相切于点M、N，称两射线AM、AN上切点上方部分的射线与优弧MN上方所夹的平面区域(含边界)为圆O的“背面”.若以点,2B a为圆心，r为半径的圆处于O的“背面”，则r的最大值为_.16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，点P在C的左支上，23PFa，122PFPFb，延长PO交C的右支于点Q，点M为双曲线上任意一点（异于,P Q两点），则直线MP与MQ的斜率之积MPMQkk_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

8、17.在等差数列 na中，47a，38235aa，数列 nb的前n项和为nS，且321nnbS.（1）求数列 na和 nb的通项公式；在的第 4 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司（2）若nnnacb，求数列 nc前 n 项和nT.18.已知ABC中，角,A B C所对边分别为,2 cos2a b caCbc.（1）求A；（2）设M是BC边上的点，且满足2,9,CMBM aMABMBA，求ACM内切圆的半径.19.2020 年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者 8 万多人2019 年 7 月份以来，共完成 1931 个志愿服务项目，8900 多名志愿者开展志愿服务活动累计超过 15

9、0 万小时为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了 500 名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图（1）求这 500 名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差2s（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布2,N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s一般正态分布概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若2,X N，令XY，则0,1Y N，且aP XaP Y（）利用直方图得到的正态分布，求10P X；（）从该地随机抽取 20 名志愿者，记Z表示这 20 名志愿者中每月

10、志愿服务时长超过 10 小时的人数，求1P Z（结果精确到 0.001）以及Z的数学期望参考数据：1.641.28，200.77340.0059若0,1Y N，则0.780.7734P Y 的的的第 5 页/共 5 页学科网（北京）股份有限公司20.如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11ACC A的面积为 4，且四棱锥111CABB A的体积为83.（1）求点1B到平面11ACC A的距离;（2）若平面11ACC A平面11ABB A，侧面11ABB A是正方形，D为1BC的中点，111ACAC，求平面1ADB与平面111ABC所成锐二面角的余弦值.21.设1F，2F分别是椭圆2222

11、:1(0)xyDabab的左、右焦点，122 3FF，椭圆的离心率为32.（1）求椭圆D的方程；（2）作直线1l与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中点P的坐标为2,0，若点(0,)Nt是线段PQ垂直平分线上一点，且满足4NP NQ ，求实数t的值.22.已知函数1()log(0af xxax且1)a.（1）讨论()f x的单调性；（2）若1ln12a，求证：0 x，()lnf xa.第 1 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司20232024 学年第一学期优生联考学年第一学期优生联考高三数学高三数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40

12、分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知23iz，则z（）A.31i55B.31i55C.31i55D.31i55【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数.【详解】因为2 3i23i3i3i3i5z，所以31i55z.故选：B2.已知集合01xAxx，e1xBy y，则AB（）A.(,1 B.(,1)C.(,1)0,1 D.(,10,1)【答案】C【解析】【分析】首先解分式不等式求出集合A，再根据指数函数的性质求出集合B，最后根据补集的定义计算可得.【详解】由01xx，等价于1010

13、x xx，解得0 x 或1x ，所以0,10,1xAxx，又e11,xBy y，所以,10,1AB.故选：C第 2 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司3.第 19 届亚洲运动会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在中国杭州举行，时值中秋和国庆假期，某班同学利用假期在家通过网络直播观看比赛.已知该班有 30 名学生喜欢看排球比赛，40 名同学喜欢看篮球比赛，50 名同学喜欢看排球比赛或篮球比赛，若从喜欢看排球比赛的同学中抽取 1 人，则此同学喜欢看篮球比赛的概率为（）A.12B.23C.34D.45【答案】B【解析】【分析】先求出喜欢观看两种比赛的人数，再用古典概率求解

14、即可.【详解】设有x人两种比赛都喜欢，则有30 x人只喜欢看排球比赛，40 x人只喜欢看篮球比赛，所以有304050 xxx，解得20 x=人，所以从喜欢看排球比赛的同学中抽取 1 人，则此同学喜欢看篮球比赛的概率为202303.故选：B4.已知平面向量a、b满足22ba，若aab，则a与b的夹角为（）A.6B.56C.3D.23【答案】D【解析】【分析】依题意可得0aab，根据数量积的运算律求出a b，再由夹角公式计算可得.【详解】因为22ba，且aab，所以0aab，即20aa b，所以21a ba ，设a与b的夹角为，则11cos2 12a bab ，因为0,，所以23，即a与b的夹角为

15、23.故选：D5.已知抛物线2:8C yx的焦点为 F，点 P 在 C 上，若点6,3Q，则PQF周长的最小值为（）A.13B.12C.10D.8【答案】A【解析】【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.第 3 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【详解】22 4yx，故2,0F,记抛物线C的准线为l，则l：2x ，记点P到l的距离为d，点6,3Q到l的距离为d，则22623058513PQPFQFPQdd.故选：A.6.已知、是两个平面，直线l，l，若以l；/l；中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）A.；B.；C.；D.；【答案】A【解析】【分析】对三个

16、命题逐个分析，可采用判定定理、定义、作图的方法进行说明，由此可确定出正确选项.【详解】（1）证明：为真命题因为l，/l，设l平行于内一条直线l，所以l，根据面面垂直的判定定理可知：，所以为真命题；（2）证明：为真命题因为l，所以l 或l/，又因为l，所以l/，所以为真命题；（3）证明：为假命题作出正方体如下图所示：第 4 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司记直线AD为l，平面1111DCBA为，平面11BBC C为，所以，/l，但/l，所以为假命题；故选：A.【点睛】本题考查空间中关于线、面的命题的真假判断，主要考查学生对空间中位置关系的理解，难度一般.说明位置关系不成立也可以举反例.

17、7.已知函数 si(n0)5f xx的图象与 g x的图象关于x轴对称，若将 f x的图象向左至少平移2个单位长度后可得到 g x的图象，则（）A.g x图象关于原点对称B.2g xg x C.g x在0,5上单调递增D.g x的图象关于点2,05对称【答案】B【解析】【分析】先设 sin5g xf xmxm，0m，从而根据图象关于x轴对称，得到方程，求出2，A 选项，根据 00g，得到 A 错误；B 选项，化简得到 B 正确；C 选项，利用整体法判断函数的单调性；D 选项，由205g得到 D 错误.的第 5 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意，可设 sinsin55g

18、xf xmxmxm，0m，因为 f x与 g x的图象关于x轴对称，所以6sinsinsin555xmxx，则62,55mkkZ，解得2,mkkZ，由于0，0m，故m的最小值为，因为 f x的图象向左至少平移2个单位长度后可得到 g x的图象，所以2，解得2，则 4sin 2sin 2255g xxx.对于 A，因为 g x的定义域为R，而 40sin05g，所以 g x不是奇函数，图象不关于原点对称，A错误；对于 B，44sin 2sin 22255g xxx 4sin 25xg x ，B 正确；对于 C，由0,5x，得4422,555x，又sinyz在42,55z 上不单调，C 错误；对于

19、 D，2448sinsin05555g，故2,05不是 g x图象的对称中心，D 错误.故选：B.8.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方第 6 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司形，如此继续.设初始正方形的边长为22，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列 nb，若 na的前 n 项和为2*(20)0,nSnnnN，令21max,nnncab，其中max,x y表示 x，y 中的较大值.若3ncc恒成立，则实数的取值范围是（）A.4,3B.3,2C.21,32D.23,3【答案】D【解析】【分析】先求出数列 na和 n

20、b的通项公式，再根据集合新定义确定nc，再由不等式3ncc恒成立分类讨论33ca时列不等式334bab和33cb时列不等式332aba求出对应的值取并集即可.【详解】因为 na的前 n 项和为2*(20)0,nSnnnN，所以当2n 时，122(20)1(20)1220nnnannSSnnn，又当1n 时，11202aS，符合上式，所以数列 na的通项公式220nan，数列 nb满足122b，因为22212122bbb，公比211222bqb，所以111222222nnnnbbq，所以212nnb，因为数列220,0nan是递减数列，而212nnb是递增数列；第 7 页/共 25 页学科网（北

21、京）股份有限公司21max,nnncab，其中max,x y表示 x，y 中的较大值.若3ncc恒成立，所以3c是数列 nc中的最小项，所以当33ca时，则334bab，即862016，解得223 ，当33cb时，则332aba，即6208420，解得32 ，取并集可得23,3，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题中集合新定义是取较大者，这样就转化成比较na和21nb的大小问题了，利用已知求出数列 na和 nb的通项公式再比较大小可确定nc，最后由不等式3ncc恒成立，列不等式组求出参数范围即可.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在

22、每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列代数式的值为14的是（）A.22cos 75sin 75B.2tan151tan 15C.cos36 cos72D.2cos20 cos40 cos80【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式可判断 A 选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断 B 选项；利用二倍角的正弦公式可判断 CD 选项.【详解】对于 A 选项，223cos 75sin 75cos150cos 18030cos302

23、 ；对于 B 选项，22222sin15tan15sin15 cos1511cos15sin30sin 151tan 15cos 15sin 15241cos 15；第 8 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司对于 C 选项，1sin72 cos721 sin14412sin364 sin14447sicno1s8c0sin36 cos36o 72s36 co4421s；对于 D 选项，2cos20 sin20 cos40 cos802cos20 cos40 cos80sin201sin80 cos80sin40 cos40 cos801 sin16012sin204 sin1604si

24、n 180160.故选：BCD.10.已知,(0,1)a b，且1ab，则（）A.221abB.lnln2ln2ab C.222 2abD.2ab【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式结合对数和指数的运算逐一判断即可.【详解】对于 A，因为222abab，所以222222ababab，所以222122abab，当且仅当12ab时取等号，故 A 错误；对于 B，因为,(0,1)a b，所以0,1ab，故ln0ab，又因2144abab，当且仅当12ab时取等号，所以1lnlnlnln2ln24abab，故 B 正确；对于 C，222 222 22 2ababa b，当且仅当12ab时取等号

25、，故 C 正确；对于 D，因为2abab，所以222abababab，所以22abab，当且仅当12ab时取等号，故 D 正确.故选：BCD.第 9 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司11.已知定义在R上的函数 f x满足 32f xfx，且34fx为奇函数，当3,04x 时，2823f xxax，则（）A.f x是周期为3的周期函数B.11fC.当3 9,2 4x时，2822233f xxx D.202412if i【答案】ABD【解析】【分析】利用函数周期性的定义可判断 A 选项；由304f可得a的值，可计算出 1f的值，可判断 B选项；利用函数的周期性和对称性求出函数 f x在3

26、 9,2 4上的解析式，可判断 C 选项；利用函数周期性的定义可求出所求代数式的值，可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，因为定义在R上的函数 f x满足 32f xfx，则 332f xfxf x，故 f x是周期为3的周期函数，A 对；对于 B 选项，因为函数34fx为奇函数，则3344fxfx ，在等式3344fxfx 中，令0 x 可得304f，又因为当3,04x 时，2823f xxax，则3893312043 16442faa，解得23a ，故当3,04x 时，282233f xxx，所以，21812112123232ff ，B 对；第 10 页/共 25 页学科网（北京）股份

27、有限公司对于 C 选项，当3 9,2 4x时，333,24x ，3333,0224xx ，因为3344fxfx ，则函数 f x的图象关于点3,04对称，所以当3 9,2 4x时，333322f xf xfxfx 228 32 3822233 23 233xxxx ，C 错；对于 D 选项，由 C 选项，可知，02f，则 32f，且 28222223133f ，所以，1231 1 20fff ，因20243 6742，故 202410 674121 12if iff ，D 对.故选：ABD.12.在长方体1111ABCDABC D中，1224ADABAA，E 是棱11BC的中点，过点 B，E，

28、1D的平面交棱AD于点 F，P 为线段1D F上一动点（不含端点），则（）A.三棱锥PABE的体积为定值B.存在点 P，使得DPC.直线PE与平面11BCC B所成角的正切值的最大值为2D.三棱锥1PBB E外接球的表面积的取值范围是(12,44)【答案】ACD【解析】【分析】对于选项 A，利用面面平行的性质，得到1/D F平面ABC，从而可判断出选项 A 正确；对于选项 B，假设存在，可推出BF 平面11AAD D，从而判断选项 B 错误；对于选项 C，利用线面角的定义，找出线面角为PEP，从而在RtPP E中，求出tanPEP的值，进而判断选项 C 正确.对于选项 D，利用 球 的 截 面

29、 圆 的 几 何 性 质，找 出 球 心 在 直 线12OO上，利 用222Rrd，建 立 方 程22221122|OOOOBOO P，从而求出球的表面积的取值范围.【详解】对于 A，因为平面11/AAD D平面11BBC C，为第 11 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司根据面面平行的性质，平面与这两个平面的交线互相平行，即1/D FBE，因为1D F 面 ABE，BE 面 ABE，所以1/D F平面 ABE，又点 P 在线段1D F上，所以三棱锥PABE的体积为定值，故 A 正确；对于 B，若存在点 P，使得DP，因为BF，则DPBF，因为1DDBF，1DDDPD，1,DD DP

30、平面11AAD D,所以BF 平面11AAD D，与题意矛盾，故 B 错误；对于 C，如图 1 所示，取BC的中点 Q，连接1C Q，则点 P 在平面11BCC B内的射影P在1C Q上，直线PE与平面11BCC B所成角即PEP，且有tanPPPEPEP，由已知可得|2PP，|EP最小为2，所以tanPEP的最大值为2，故 C 正确；对于 D，如图 2，取11AD的中点 G，连接AG，分别取 BE，AG的中点1O，2O，第 12 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司连接12OO，因为1BB E是等腰直角三角形，所以三棱锥1PBB E外接球的球心 O 在直线12OO上，设三棱锥1PBB

31、E外接球的半径为R，则|OBOPR，所以22221122|OOOOBOO P，设1|OOd，则222222|ddO P，所以22|124O Pd,当点P与F重合时，2|O P取最小值2，此时213dR，三棱锥1PBB E外接球的表面积为2412R，当点 P 与1D重合时，2|O P取最大值10，此时2311dR，三棱锥1PBB E外接球的表面积为2444R，故 D 正确故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于选项 D，利用球的截面圆的几何性质，找出球心在直线12OO上，利用222Rrd，建立方程22221122|OOOOBOO P，从而求出球的表面积的取值范围.三、填空题：本题共三、填空题：本题

32、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知42232,log 2 log5aaxa，则5loglog 5xx_【答案】174【解析】【分析】先根据指数运算求出a的值，根据对数运算的知识求得x值，代入求出5loglog 5xx的值.【详解】因为52322a，所以5a，所以2455221log 2 loglog 2 loglog 2 log2axxx51lg2lg12log52lg5lg225xx，即5log4x，所以45x，第 13 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司所以44555117loglog 5log 5log 5444xx故答案为：174.14.

33、已知函数()(e)lnf xxx，若直线(1 e)yxb与曲线()yf x相切，则b _.【答案】e 1#1e【解析】【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.【详解】设切点为00,xf x，eelnln1xfxxxxx，由题意可得000eln11 efxxx ，因为函数eln,1yx yx 在0,上都是增函数，所以函数eln1yxx在0,上是增函数，又eln111 e1 ，所以01x，所以切点为1,0，则01 eb，解得e1b.故答案为：e 1.15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点0,2A射出的两条光线与22:1

34、O xye分别相切于点M、N，称两射线AM、AN上切点上方部分的射线与优弧MN上方所夹的平面区域(含边界)为圆O的“背面”.若以点,2B a为圆心，r为半径的圆处于O的“背面”，则r的最大值为_.【答案】11 4 6#4 611【解析】【分析】设过A 点的切线方程为2ykx，根据圆心到直线的距离等于半径求出k，即可得到直线AM、AN的方程，从而求出a的取值范围，当圆B与圆O外切且圆B与AM（或AN）相切时，r取最大值，从而求出r的最大值，即可得解.第 14 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司【详解】如图设过A 点的切线方程为2ykx，所以2211k，解得3k ，所以直线AM的方程为32

35、yx，即320 xy，令2y，解得4 33x，直线AN的方程为32yx，即320 xy，令2y，解得4 33x ，因为圆222:2Bxayr处于圆O的“背面”，所以4 3 4 3,33a，当圆B与圆O外切且圆B与AM（或AN）相切时，r取最大值，由圆B与圆O外切得241ar，圆B与AM相切时342ar，又4 3 4 3,33a，所以432ar，所以423ra，即222250rr，解得114 6r 或11 4 6r，结合4 3 4 3,33a，所以11 4 6r，所以r的最大值为11 4 6，同理圆B与AN相切时r的最大值为11 4 6，综上可得r的最大值为11 4 6.故答案为：11 4 6

36、16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，点P在C的左支上，23PFa，122PFPFb，延长PO交C的右支于点Q，点M为双曲线上任意一点（异于,P Q两点），则直线第 15 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司MP与MQ的斜率之积MPMQkk_.【答案】2【解析】【分析】先利用平面向量加法的法则和双曲线的性质求出12PFF和1PFO的边长，再分别利用余弦定理联立可得222ba，最后根据斜率公式求解即可.【详解】依题意，设双曲线C的半焦距为c，则1212,FFc FOc，因为O是12FF的中点，所以122PFPFPO ，故由122PFPFb 得PO

37、b，又因为1222,3PFPFa PFa ，所以1PFa，在12PFF中，22222222112212112492cos222PFFFPFacacaPFFPF FFacac，在1PFO中，222222222211111|cos222accaPFFOPOacbaPFOPF FOacacc，所以222caaacc，解得3ca，所以222ba，所以双曲线方程为22222xya，则22222yxa，设00,M xy，11,P x y，11,Qxy，所以22220101010122220101010122MPMQxxyyyyyykkxxxxxxxx，故答案为：2四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6

38、小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列 na中，47a，38235aa，数列 nb的前n项和为nS，且321nnbS.第 16 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）若nnnacb，求数列 nc的前 n 项和nT.【答案】（1）21nan，13nnb （2）1133nnnT【解析】【分析】（1）设等差数列 na的公差为d，根据已知条件求出d的值，结合等差数列的通项公式可求得数列 na的通项公式；令1n，可求得1b的值，当2n 时，由321nnbS可得11321n

39、nbS，上述两个等式作差可推导出数列 nb为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列 nb的通项公式；（2）利用错位相减法可求得nT.【小问 1 详解】解：设等差数列 na公差为d，则384442243721 735aaadadadd，解得2d，所以，4472421naandnn，数列 nb的前n项和为nS，且321nnbS，当1n 时，则有111321bSb，当2n 时，由321nnbS可得11321nnbS，上述两个等式作差可得13320nnnbbb，即13nnbb，所以，数列 nb是首项为1，公比为3的等比数列，则111 33nnnb.【小问 2 详解】解：因为1213nnnnan

40、cb，则0121135213333nnnT，可得21113232133333nnnnnT，的第 17 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司得121211222221213311133333313nnnnnnnT 2123nn，故1133nnnT.18.已知ABC中，角,A B C所对的边分别为,2 cos2a b caCbc.（1）求A；（2）设M是BC边上的点，且满足2,9,CMBM aMABMBA，求ACM内切圆的半径.【答案】（1）23A （2）3 332【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解结果；（2）在ABC中根据余弦定理得出关于边长的一个关系，再由2133

41、AMABAC 两边平方得出另一个方程，联立解出边长，再由ACM的面积与内切圆半径r的关系求得结果.【小问 1 详解】已知2 cos2aCbc，由正弦定理得2sin cos2sinsin2sinsin2sin cos2cos sinsinACBCACCACACC，又sinsinsin coscos sinBACACAC，所以2sin cos2sin cos2cos sinsinACACACC，因为sin0C，所以1cos2A ，因为0,A，所以23A.【小问 2 详解】如图所示：第 18 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司在ABC中根据余弦定理得2222cosabcbcA，即2281bc

42、bc，又因为2CMBM，所以2133AMABAC ，因为MABMBA，所以3AMBM，将2133AMABAC 两边平方并整理得224281bcbc，联立得到3 3bc，所以23AMB，6 MABBMA，所以2CAM，6CM.所以ACM的面积为19 33 3322.设其内切圆半径为r，则9 313 33622r，解得3 332r，所以ACM内切圆的半径为3 332.19.2020 年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者 8 万多人2019 年 7 月份以来，共完成 1931 个志愿服务项目，8900 多名志愿者开展志愿服务活动累计超过 150 万小时为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度

43、，随机调查了 500 名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图（1）求这 500 名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差2s（同一组中的数据用该组区间的第 19 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布2,N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若2,X N，令XY，则0,1Y N，且aP XaP Y（）利用直方图得到的正态分布，求10P X；（）从该地随机抽取 20 名志愿者，记Z表示这 20 名志愿者中每

44、月志愿服务时长超过 10 小时的人数，求1P Z（结果精确到 0.001）以及Z的数学期望参考数据：1.641.28，200.77340.0059若0,1Y N，则0.780.7734P Y【答案】（1）9，1.64；（2）（）0.7734，（）0.994，4.532.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的公式直接求解即可.（2）（）由（1）可得由题知9，21.64，所以9,1.64XN，则109101.28P XP Y可得答案.（）（）知101100.2266P XP X,则20,0.2266ZB从而可得答案.【详解】解：（1）6 0.027 0.1 8 0.29 0.38 10 0.18

45、 11 0.08 12 0.049x 22222222690.02790.1890.2990.381090.1811 90.081290.041.64s（2）（）由题知9，21.64，所以9,1.64XN，1.641.28所以109100.780.77341.28P XP YP Y（）由（）知101100.2266P XP X，可得20,0.2266ZB201101 0.77341 0.00590.99410.994P ZP Z 故Z的数学期望 20 0.22664.532E Z【点睛】关键点睛：本题考查根据频率分布直方图求平均数和方差以及根据正态分布求概率和二项分布问第 20 页/共 25

46、页学科网（北京）股份有限公司题，解答本题的关键是将问题“从该地随机抽取 20 名志愿者，记Z表示这 20 名志愿者中每月志愿服务时长超过 10 小时的人数”，转化为得到20,0.2266ZB，属于中档题.20.如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11ACC A的面积为 4，且四棱锥111CABB A的体积为83.（1）求点1B到平面11ACC A的距离;（2）若平面11ACC A平面11ABB A，侧面11ABB A是正方形，D为1BC中点，111ACAC，求平面1ADB与平面111ABC所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）2 （2）53【解析】【分析】（1）根据题意，由棱柱及棱锥的体积

47、公式，结合等体积法即可得到结果；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【小问 1 详解】设点1B到平面11ACC A的距离为h，由三棱柱知，四边形11ABB A是平行四边形，所以1 11 112AA BABB ASS，所以11 111 11423CAB ACABB AVV，由三棱柱知四边形11AAC C是平行四边形，所以1 11 1122AACAAC CSS，又11 111 11 11433CAB ABAACAACVVSh，所以14233h，解得2h，即点1B到平面11ACC A的距离为 2；【小问 2 详解】的第 21 页/共 25 页学科网（北京）股份有

48、限公司 取1AA中点为O，连接1OC，因为平面11ACC A平面11ABB A，且111ACAC，所以11OCAA，又平面11ACC A 平面111ABB AAA，则1OC 平面11ABB A，且11ABB A是正方形，以O为坐标原点，11,OA OC 分别为y轴，z轴正方向，过点O作x轴平行11AB，建立如图所示空间直角坐标系，因为平面11ACC A平面11ABB A，且11ABB A是正方形，则11B A 平面11ACC A，由（1）可知，12AA，12OC，则0,1,0A，10,1,0A，12,1,0B，10,0,2C，2,1,0B，且D为1BC的中点，则11,12D，所以111,1,2

49、,2,02ADAB，设平面1ADB法向量为,nx y z，则1102220n ADxyzn ABxy，解得2xyyz，取1z，则2,2yx，所以平面1ADB的一个法向量为2,2,1 n，又11112,0,0,0,1,2ABAC，设平面111ABC的法向量为,ma b c，则11112020m ABam ACbc ，解得20bca，取1c，则2b，所以平面111ABC的一个法向量为0,2,1m ，设平面1ADB与平面111ABC所成锐二面角为，第 22 页/共 25 页学科网（北京）股份有限公司145coscos,359m nm nm n ，即平面1ADB与平面111ABC所成锐二面角的余弦值为

50、53.21.设1F，2F分别是椭圆2222:1(0)xyDabab的左、右焦点，122 3FF，椭圆的离心率为32.（1）求椭圆D的方程；（2）作直线1l与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中点P的坐标为2,0，若点(0,)Nt是线段PQ垂直平分线上一点，且满足4NP NQ ，求实数t的值.【答案】（1）2214xy （2）2 2，2 145【解析】【分析】（1）由离心率及焦距求出a、c，从而求出b；（2）设11,Q x y，直线1l的方程为2yk x，联立椭圆方程，利用韦达定理表示线段PQ的中点坐标，分类讨论当0k、0k 时的情况，结合向量数量积的坐标表示，化简计算即可求解.【小问 1 详解】依