华师一附中2024届高三数学独立作业（4)试卷含答案.pdf

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1、华师一附中华师一附中2024届高三数学独立作业（届高三数学独立作业（4）一、一、单选题单选题(本题共本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的)1.已知复数z的共轭复数,32iiz则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集09|2xxU，集合11|yyA，则ACU（）A.1,0B.)3,1 0,3(C.)3,3(D.)3,1(0,3(3.3.“碳达峰”是指二氧化碳的排放不在增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或

2、个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式tabS，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为43a（亿吨）.已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳的排放量为3a（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：48.03lg,30.02lg）A.13年B.14年C.15年D.16年4.某旅游景区有如图所示A至H共 8 个停车位，现有 2 辆不同的白色车和 2 辆不同的黑色车，要求颜色相同的车不停在同一行也不停在

3、同一列，则不同的停车方法总数为（）288.A336.B576.C1680.DA AB BC CD DE EF FG GH H5.5.甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中.则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是（）A307B.157C.607D.2016.阿基米德螺旋线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹。如图，在平面直角坐标系xoy中，螺旋线与坐标轴依次交于点)01(

4、1，A,)20(2，A,)03(3，A,)40(4，A,)05(5，A,)60(6，A,)07(7，A,)80(8，A,并按这样的规律继续下去，若四边形321nnnnAAAA的面积为760，则n的值为（）A.18B.19C.21D.227.在平面直角坐标系xoy中，已知过抛物线xy42焦点F的直线与抛物线相交于BA,两点，以BFAF,为直径的圆分别与x轴交于异于F的QP,两点，若FQPF2，则线段AB的长为（）A.25B.27C.29D.2138.已知三棱柱DEFABC，DFDEDA,两两互相垂直，且DFDEDA，NM,分别是ABBE,边的中点,P是线段AC上任意一点，过三点NMP,的平面与三

5、校柱DEFABC 的截面有以下几种可能:三角形；四边形；五边形；六边形.其中所有可能的编号是（）A.B.C.D.二二、多选题多选题(本题共本题共4小题小题，每小题每小题5分分，共共20分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合有多项符合题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得分，部分选对的得2分，有选错的得分，有选错的得0分分)9.已知数据1：nxxx,21，数据2：12,12,1221nxxx，则下列统计量中，数据2不是数据1的两倍的有（）A.平均数B.极差C.中位数D.标准差10.2022年9月钱塘江多处出现罕见的潮景，“鱼鳞潮”的形成需要两段

6、潮湖，一股是波状涌潮，另一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图像近似函数)3,)(sin()(NAxAxf的图像，而破碎的涌潮的图像近似)(xf（)(xf是函数)(xf的导函数），已知当2x时，两潮有个交叉点，且破碎涌潮的波谷为4-，则（）A.2.B26)3(fC.)4(xf是偶函数D.)(xf在区间03-，上单调11.如图，P是椭圆)0(1:22221babyaxC与双曲线)0,0(1:22222nmnymxC在第一象限的交点，且21,CC共焦点21,FF，21PFF，21,CC的离心率分别为21,ee，则下列结论正确的是（）A.maPFmaPF21,B.若60

7、，则4312221eeC.若90，则2221ee 的最小值为2D.bn2tan12.已知数列na满足11nnaaneea，且11a，nS是数列na的前n项和，则下列结论正确的是（）A.0naB.nnaa1C.2022202320212aaaD.22023S三、填空题三、填空题(本题共本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分)13.平面向量a，b的夹角为o60，且2 ba，则a在b上的投影向量是14.已知4,)21(,4),1()(xxxfxfx，则)(log32f=15.设 na是公差为d的等差数列，nb是公比为q的等比数列.已知数列nnba 的前n项和*212NnnnSnn，则

8、qd 的值是.16.在ABC中，角CBA,所对的边分别为cba,，若82222cba，则ABC的面积的最大值为.四、解答题四、解答题(本题共本题共6小题，小题，共共70分。解答应写出文字说明分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤)17.将正奇数数列1，3，5，7，9，的各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图的三角形数表，135791113151719（1）设表中每行最后一个数依次构成数列,na求数列 na的通项公式；（2）设,112nnnanb求数列 nb的前n项和.nT18.在ABC中，内角CBA,所对的边分别为cba,，已知6ca，)cos1(sinsin)cos3

9、(BABA.（1）求边b的大小；（2）求ABC的面积的最大值.19.（12分）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例.某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17.（1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计.（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且),17(2NX，其中2近似为（1）中计算的总样本方差.现从全体参与者中随机抽取3位，

10、求3位参与者的脂肪含量均小于2.12%的概率.附：若随机变量X服从正态分布),(2N，则6827.0)(XP，.004.015865.0,8.423,7.422,9545.0)22(3XP20.（12 分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，PAD为等边三角形，平面PAD 平面ABCD,BCPB（1）求点A到平面PBC的距离；（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为1030，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.21.过抛物线)0(2:2PPyxE的焦点F作斜率分别为21,kk的两条不同的直线21,ll，且221kk，1l与E相交于点DC,

11、.以CDAB,为直径的圆M,圆N（NM,为圆心）的公共弦所在的直线记为l.（1）若0,021kk,证明：22PFNFM;（2）若点M到直线l的距离的最小值为557，求抛物线E的方程.22.已知函数xaexfxsin)(，xaxInxgsin)1()(，（1）若)(xfy 在20，单调递增，求实数a的取值范围。（2）若不等式xxfcos)(在,1上恒成立，判断函数)(xg在1,1上的零点个数，并说明理由。华中师大一附中华中师大一附中 2024 级高三上学期独立作业（级高三上学期独立作业（4）总分：总分：150 分分时间：时间：120 分钟分钟命题人：命题人：徐光明徐光明一.单选题：本题共 8 小

12、题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数 z 的共轭复数2i3iz，则复数 z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【详解】2i3i2i55i11i3i3i3i1022z，故11i22z，在复平面内对应的点为11,22，位于第四象限.故选：D.2.已知全集290Ux x，集合11Ayy，则UA（）A.0,1B.3,01,3C.3,3D.3,01,3【详解】解：29033Ux xxx，11|01Ayyyy，所以|30UAxx 或13x.故选：D3.“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降

13、，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”某地区二氧化碳的排放量达到峰值 a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量 S（亿吨）与时间 t（年）满足函数关系式tSab，若经过 4 年，该地区二氧化碳的排放量为34a（亿吨）已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为3a（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：lg20.30,lg30.48）A.13 年B.14 年C.15 年D.16 年【详解】由题意，434aSab，即434b，所以434b，令3taab，即13tb，故43

14、143t，即431lglg43t，可得1(lg32lg2)lg34t，即4lg3162lg2lg3t 故选：D4.某旅游景区有如图所示 A 至 H 共 8 个停车位，现有 2 辆不同的白色车和 2 辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A.288B.336C.576D.1680【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4 3 224 种,第二步,排黑车,若白车选AF,则黑车有,BE BG BH CE CH DE DG共 7 种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2714种，根据分步计数原

15、理,共有24 14336种,故选：B5.甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的 2 个红球和 2 个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若 2 个球同色，则甲胜，且将取出的 2 个球全部放入甲的袋子中；若 2 个球异色，则乙胜，且将取出的 2 个球全部放入乙的袋子中.则两次取球后，甲的袋子中恰有 6 个球的概率是（）A.730B.715C.760D.120【详解】由题，若两次取球后，甲的袋子中恰有 6 个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色.若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为111224，则第一次取球后甲的袋子中有 3 个红球和 2 个白球，乙的袋子中有 1 个

16、红球和 2 个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为31227535315，故第一次取球甲乙都取到红球且两次取球后，甲的袋子中有 6 个球的概率为760.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，甲的袋子中有6 个球的概率为760.故所求概率为777606030.故选：A.6.阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹如图，在平面直角坐标系 xOy 中，螺线与坐标轴依次交于点11,0A，20,2A，33,0A，40,4A，55,0A，60,6A，77,0A，80,8A，并按这样的规律继续下去若四边形123nnnnA AAA的面积为 7

17、60，则 n 的值为（）A.18B.19C.21D.22【详解】如图，四边形123nnnnA AAA的面积由四个直角三角形构成，得11111122337602222n nnnnnn n，132131520n nnnnn ，24221520nn，即21380nn，*Nn，解得：18n 故选：A7.在平面直角坐标系 xOy 中，已知过抛物线24yx焦点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，以 AF，BF为直径的圆分别与 x 轴交于异于 F 的 P，Q 两点，若2PFFQ，则线段AB的长为（）A.52B.72C.92D.132【详解】如图，过点,A B分别作准线=1x的垂线，垂足为,C D,过B

18、作AC的垂线，垂足为E，因为 AF，BF为直径的圆分别与 x 轴交于异于 F 的 P，Q 两点，所以90APFBQF,且AFPBFQ,所以QFB与PFA相似，且相似比为:1:2FQPF，所以2AFBF,设2,AFm BFm，所以CEBDBFm，则AEm，所以222 2BEABAEm，tan2 2BEAEBAE，即tan2 2BEAFPAE,所以直线AB的斜率为2 2，所以AB的方程为2 2(1)yx，联立22 2(1)4yxyx可得22520 xx，设1122(,),(,)A x yB xy，则有1252xx，所以1292ABxxp=+=，故选:C.8已知三棱柱 ABCDEF，DA，DE，DF

19、 两两互相垂直，且 DADEDF，M，N 分别是BE，AB 边的中点，P 是线段 CA 上任意一点，过三点 P，M，N 的平面与三棱柱 ABCDEF 的截面有以下几种可能：三角形；四边形；五边形；六边形其中所有可能的编号是（）ABCD【解析】解：以点 D 为原点，DA 为 x 轴，DE 为 y 轴，DF 为 z 轴，延长 MN 分别交 x轴，y 轴于点 N，M连接 NP 交 z 轴于点 P，则过 P，M，N 三点的平面与过点 N，M，P的平面相同，当点 P 与点 A 重合时，截面为四边形；当 0PA12AC 时，截面为五边形；当12ACPAAC 时，截面为四边形；当点 P 与点 C 重合时，截

20、面为三角形；而该三棱柱只有五个面，截面与每个面相交最多产生五条交线，故截面形状最多为五边形，即不可能为六边形故选：C二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9已知数据 1：1x，2x，L，nx，数据 2：121x，221x，L，21nx，则下列统计量中，数据 2 不是数据 1 的两倍的有（）A平均数B极差 C中位数D标准差【详解】设数据 1：1x，2x，L，n

21、x，的均值为x，标准差为 s，中位数为t，极差为maxminRxx则数据 2：121x，221x，L，21nx，的均值为21x，故 A 正确，极差为 maxminmaxmin212122xxxxR，故 B 错误；数据 2：121x，221x，L，21nx，的中位数为21t，故 C 正确；数据 2：121x，221x，L，21nx，的标准差为242ss，故 D 错误；故选：AC10.2022 年 9 月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮若波状涌潮的图像近似函数*sin,3fxAxAN的图像，而

22、破碎的涌潮的图像近似 fx（fx是函数 f x的导函数）的图像已知当2x 时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为4，则（）A.2B.623fC.4fx是偶函数D.fx在区间,03上单调【详解】sinf xAx，则 cosfxAx，由题意得()(2)2ff，即sincosAA，故tan，因为*N，3，所以tan3，所以,14，则选项 A 错误；因为破碎的涌潮的波谷为4，所以()fx的最小值为4，即4A，得4A，所以 4sin4f xx，则32124sin4 sincoscossin46233434342222f，故选项 B 正确；因为 4sin4f xx，所以 4cos4fxx，所以4cos

23、4fxx为偶函数，则选项 C 正确；4cos4fxx，由03x，得1244x，因为函数4cosyx在,012上单调递增，在0,4上单调递减，所以()fx在区间,03上不单调，则选项 D 错误.故选：BC11如图，P是椭圆22122:1(0)xyCabab与双曲线22222:1(0,0)xyCmnmn在第一象限的交点，且12,C C共焦点121212,F FFPFC C的离心率分别为12,e e，则下列结论正确的是（）A12,PFam PFam=+=-B若60，则2221314eeC若90，则2212ee的最小值为 2Dtan2nb【详解】由椭圆和双曲线的定义得：121222PFPFaPFPFm

24、，解得1PFam，2PFam，A 正确；在12FPF中，由余弦定理得：2222cos2amamamamc，整理得2221 cos1 cos2amc，22221 cos1 cos2amcc，即22121cos1cos2ee，当60时，222132122ee，即2221314ee，B 正确；当90时，2212112ee，2222222112122222121211)11()()1(22eeeeeeeeee 2221221212eeee，当且仅当121ee时取“=”，而1201,1ee，C 不正确；在椭圆中，22222121212122|cos|442|PFPFPFPFFFacPFPF，即2122|

25、1cosbPFPF，在双曲线中，22222121212122|cos|442|PFPFPFPFFFmcPFPF，即2122|1 cosnPFPF，于是得22222222sin221 cos2tan1 cos1cos1cos22cos2nbnb，而022，则tan2nb，D 正确.故选：ABD12.已知数列 na满足1ee1nnaana，且11a，nS是数列 na的前 n 项和，则下列结论正确的是（）A.0na B.1nnaaC.2021202320222aaaD.20232S【详解】解：对于选项 A、B，因为11a，0na，所以11nnaaneea，设 e1exxg xx，g()eeeexxx

26、xxxx当0 x 时，()0g x，()g x单调递减，当0 x 时，()0g x，()g x单调递增，所以()(0)0g xg，则ee1xxx，所以ee1nnaana，当0na 时，1e1eennnaaana，1nnaa，当0na 时，1e1eennnaaana，1nnaa，因为11a，所以这种情况不存在，则数列 na满足当0na 时，1nnaa，为单调递减数列，故 A 选项正确，B 选项错误；对于选项 C，1ln1lnenannnnaaaa令,(0,1nxax，设()ln1ln,(0,e1xf xxx x则e111()10e1e1xxxfxxx，所以函数()f x单调递减，所以随着na减小

27、，从而1nnaa增大，所以2023202220222021aaaa，即2021202320222aaa，所以 C 选项正确，对于选项 D，由前面得101nnaa，下面证明112nnaa，只需证明112e1ln11e111lne2e22nnnnaaaannnnnnnaaaaaaa，令enab，则1eb，所以1112221ln0lnbbbbbb，令1122()ln,(1,em bbbb b，则11()202m bbbb，m()m(1)0b成立，则112nnaa所以2023122212202120211112222Saaaaaa2021112ln e 1ln e 122，所以 D 选项正确；故选：A

28、CD.三三填空题填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分把答案填在答题卡的相应分把答案填在答题卡的相应位置位置13.设平面向量a，b的夹角为60，且2ab，则a在b上的投影向量是_.【详解】由题意知，平面向量a，b的夹角为60，且2ab，则cos601a，所以则a在b上的投影向量为112bbb.故答案为：12b14.已知 1,4,1,42xfxxfxx，则2log 3f_.【详解】(1),4()1(),42xf xxf xx，22log 3g 3lo1ff2log 3 3221log2log3323ff121log3311111223824故答案为：124

29、15.设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn的前 n 项和221()nnSnnnN，则 d+q 的值是_【详解】设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，根据题意1q.等差数列 na的前n项和公式为2111222nn nddPnadnan，等比数列 nb的前n项和公式为1111111nnnbqbbQqqqq，依题意nnnSPQ，即22111212211nnbbddnnnanqqq，通过对比系数可知111212211ddaqbq 112021daqb，故4dq.故答案为：416 在ABC中，角CBA,所对的边分别为cba,，若82222cba，

30、则ABC的面积的最大值为【详解一】（余弦定理+二次函数）看到式子82222cba的结构特征，联想余弦定理得：2222233832cos242abcabCababab所以222222113253()sin()1()()1442162SabCabababab 当125ab 时，2max45S，ABC的面积的最大值为2 55【详解二】（三角形中线长定理+基本不等式）设 BC 边上的中线为 AM，则22222()4abcAM82222cba22282abc代人得：2222(82)4ccAM，即225416cAM根据基本不等式得：222254162 544 5cAMcAMAM c又因为三角形一边上的中线

31、不小于该边上的高，所以4 58 5AM cS 所以168 5S，2 55S，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此时ABC的面积的最大值为2 55四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）.将正奇数数列 1，3，5，7，9的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表（1）设数表中每行的最后一个数依次构成数列 na，求数列 na的通项公式；（2）设211nnnnba，求数列 nb的前 n 项和nT解：由题意知，214aa，326aa，12nnaan，

32、所以，213214682nnaaaaaan LL22 212 23422nnnnn L，得212naann，因为11a，所以21nann，经检验满足题意，所以21nann；解;由题意得，1212211nnnnnbn nnn，所以，12231122222222122311nnnnnnTn18（12 分）.在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知6ac，3cossinsin1cosABAB.（1）求边 b的大小；（2）求ABC的面积的最大值.解（1）3 cossinsin1 cosABAB，则3sinsinsincoscossinsinsin()BAABABAAB，A+B+C

33、=，3sinsinsinBAC，由正弦定理可得36bac，2b.（2）6ac，62acac，可得9ac（当且仅当3ac时等号成立），2222()2416cos22acbacacacBacacac，可得22164sin1 cos1216acBBacacac，114sin2162 2162 2 9 162 222SacBacacacac（当且仅当3ac时等号成立）.ABC的面积的最大值为2 2.19（12 分）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性 120 位

34、，其平均数和方差分别为 14 和 6，抽取了女性90 位，其平均数和方差分别为 21 和 17(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计（结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量 X，且 XN（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差现从全体参与者中随机抽取 3 位，求 3 位参与者的脂肪含量均小于 12.2%的概率附：若随机变量服从正态分布 N（，2），则 P（-X+0.6827，P（-2X+2）0.9545，224.7，234.8，0.1586530.004解（1）把男性样本记为12120,x xx，其平均数

35、记为x，方差记为2xs；把女性样本记为1290,y yy，其平均数记为y，方差记为2ys 则2214,6;21,17xyxsys记总样本数据的平均数为z，方差为2s由14,21xy，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为120901209012090zxy120 1490 2121017,根据方差的定义，总样本方差为12090222111210iiiisxzyz1209022111,210iiiixxxzyxyz由120120111200iiiixxxx可得120120112()2()0iiiixxxzxzxx同理，9090112()2()0iiii

36、yyyzyzyy，因此，12012090902222211111()()210iiiiiisxxxzyyyz22221120()90(),210 xysxzsyz所以22211206(14 17)9017(21 17)23210s，所以总样本的均值为 17，方差为 23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为 17，方差为 23（2）由（1）知223，所以17,23XN，又因为234.8，所以12.221.8174.8174.80.6827PXPX，1(12.2)1 0.68270.15865,2P X 因为3,0.15865XB，所以3333C0.158650.004P X

37、所以 3 位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.00420.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，PAD为等边三角形，平面PAD 平面,ABCD PBBC.（1）求点A到平面PBC的距离；（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为3010，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.【解析】（1）取AD中点O，连接,OB OP.PAD为等边三角形，,1,3OPAD OAOP.又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，OP 平面,PADOP平面ABCD.又OB 平面,ABCDOPOB.,PBBC BCADPBAD.又

38、,OPAD OP平面,POB PB 平面,POB OPPBPAD平面POB.又OB 平面,POBADOB.3,6OBPB.设点A到平面PBC的距离为h，则APBCPABCVV即116,332PBCABCShSOPh.（2）由（1），分别以,OA OB OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则0,0,3,2,3,0PC，1,0,0,1,0,0,2,3,3,0,0,3,2,0,0ADPCOPAD .设01PEPC ，则2,3,3,2,3,33PEOEOPPE .得2,3,33E，则21,3,33AE .又OP 平面ABCD，则取平面ABCD的法向量10,0,1n.设AE与平面

39、ABCD所成的角为，则12223330sincos,10(21)3(33)AE n，解得13.则23 2 353 2 3,333333EAE .设平面ADE的法向量2,nx y z，则2220,532 30.333nADxnAExyz 令2y，则取平面ADE的法向量20,2,1n ，又平面ABCD的法向量10,0,1n.故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为1215cos,55n n .21(12 分)过抛物线2:2(0)E xpy p的焦点 F 作斜率分别为12,k k的两条不同的直线12,l l，且122kk，1lE与相交于点 A，B，2lE与相交于点 C，D.以 AB，CD 为直径的圆

40、 M，圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l.（I）若120,0kk，证明；22FM FNP ；（II）若点 M 到直线l的距离的最小值为755，求抛物线 E 的方程.（2）由抛物线的定义得12,22ppFAyFBy所以212122,AByyppkp从而圆 M 的半径211rpkp，圆 M 的方程为22222111()()(),2pxpkypkpkp化 简 得22221132(21)04xypk xpkyp，同 理 可 得 圆 N 的 方 程 为22222232(21)04xypk xpkyp，于是圆 M 与圆 N 的公共弦所在直线 l 的方程为222121()()0kk xkky，

41、又21120,2kkkk，则直线 l 的方程为20 xy，因为0p，所以点 M 到直线 l 的距离22111172()24855pkpkpkpd，故当114k 时，d取最小值78 5p.由题设，77 558 5p，所以8p，故所求抛物线 E 的方程为216xy22已知函数 esin,ln1sinxf xax g xxax.(1)若 yf x在0,2单调递增，求实数 a 的取值范围；(2)若不等式 cosf xx在(1,)上恒成立，判断函数 g x在1,1上的零点个数，并说明理由.（1）解：因为 esinxf xax，所以 ecosxfxax，因为 yf x在0,2单调递增，所以cos0exax

42、在区间0,2恒成立，当2x时，cos0exax显然成立，所以当0,2x，cos0exax恒成立等价于ecosxax恒成立，故令 ecosxh xx，0,2x，则2e(cossin)()0(cos)xxxh xx在0,2x恒成立，所以函数 ecosxh xx在0,2x单调递增，所以 min01h xh，所以cos0exax在区间0,2恒成立，则实数 a 的取值范围时1a.所以实数 a 的取值范围是,1（2）解：设()()cosesincosxF xf xxaxx，易知(0)0F，因为不等式 0F x 在(1,)上恒成立，所以0是函数 F x的极值点，因为()ecossinxF xaxx，所以(0

43、)10Fa，解得1a.所以()ln(1)sing xxx，因为(0)0g，故0是函数()g x的一个零点，当(1,0)x 时，211()cos,()sin1(1)g xx gxxxx，因为(1,0)x，21()sin0(1)gxxx 恒成立，所以()g x在(1,0)x 上单调递减，由于()(0)0gxg，所以()g x在(1,0)x 上单调递增，所以()00g xg，所以()g x在区间(1,0)上无零点.当(0,1)x时，211()cos,()sin1(1)g xx gxxxx，由于函数21,sin(1)yyxx 在区间(0,1)x上均为增函数，所以21()sin(1)gxxx 在区间(0,1)x上为增函数，因为1(0)10,(1)sin10,4gg 所以存在唯一0(0,1)x，使得0()0gx，所以1()cos1g xxx在0(0,)x上单调递减，在0(),1x上单调递增，因为1(0)0,(1)cos10,2gg所以(0,1),()0g x，所以函数()g x在0,1x上单调递减，()(0)0g xg，所以函数()g x在区间0,1上无零点.综上，断函数 g x在1,1上有且只有一个零点.