2024届广东省华附、深中、省实、广雅四校联考高三上学期1月期末数学试题含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 华附华附省实省实广雅广雅深中深中 2024 届高三四校联考届高三四校联考 数学数学 命题学校：广东实验中学命题学校：广东实验中学 定稿人：杨晋鹏定稿人：杨晋鹏 张淑华张淑华 本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分页，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名考号填写在答题卷上考号填写在答题卷上.2.选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目

2、的答案标号涂黑；如需改动，用橡铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按不按以上要求作答的答案无效以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回考

3、生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回.一一.单项选择题（本大题共单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）项是符合题目要求的）1.已知全集UR=，集合,A B满足()AAB，则下列关系一定正确的是（）A.AB=B.BA C.()UAB=D.()UAB=2.已知复数z满足()1 i1 iz+=，则2024z=（）A.i B.-1 C.1 D.i 3.直线230 xy+=关于直线yx=对称的直线方程是（）A.230 xy+=B.230 xy+=C.230 xy=D

4、.2330 xy+=4.已知向量a在b方向上的投影向量的模为2，向量b在a方向上的投影向量的模为 1，且()()23abab+，则向量a与向量b的夹角为（）A.6 B.4 C.3 D.34 5.若椭圆22122:1(0)xyabab+=的离心率为12，则双曲线22222:1yxba=的离心率为（）A.213 B.72 C.3 D.5 学科网（北京）股份有限公司 6.在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S，则此时P到铁轨上表面的距离为（）A.1 cosSRR+B.1 cosSRR C.2 sinSRR D

5、.sinSRR 7.若()()11ln1ac ecb=则,a b c的大小关系为（）A.cab B.cab C.cba D.bac 8.数列 na的前n项和nS，且()111881,2,2nnnnaannnNaa+=，若11a=，则（）A.2024532S B.2024522S C.2024322S D.2024312S，则22acbd B.若22acbc，则ab C.“1ab”是“1,1ab”成立的充分不必要条件 D.若1ab，则()1loglog1aabb+分别是圆1C与圆2C上的点，则（）A.若圆1C与圆2C无公共点，则04r B.当5r=时，两圆公共弦所在直线方程为6810 xy=C.

6、当2r=时，则PQ斜率的最大值为724 D.当3r=时，过P点作圆2C两条切线，切点分别为,A B，则APB不可能等于2 11.已知函数()323f xxx=，满足()f xkxb=+有三个不同的实数根123,x xx，则（）A.若0k=，则实数b的取值范围是40b 的最小正周期为2，且()f x在0,m上单调递减，在52,3m上单调递增，则实数m的取值范围是_.16.在同一平面直角坐标系中，,M N分别是函数()243f xxx=+和函数()()lnxg xaxaxe=图象上的动点，若对任意0a，有MNm恒成立，则实数m的最大值为_.四四解答题解答题（本大题共（本大题共 6 小题，共小题，共

7、 70.0 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题 10 分）已知数列 na的前n项和nS满足2122nnSSSnn+=.（1）求 na的通项公式；（2）求数列nan的前n项和nT.学科网（北京）股份有限公司 18.（本小题 12 分）在 9 道试题中有 4 道代数题和 5 道几何题，每次从中随机抽出 1 道题，抽出的题不再放回.（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；（2）若抽 4 次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望.19.（本小题 12 分）已知函数()()()20,xf xaxeag xx=.（1

8、）求()f x的单调区间；（2）当0 x 时，()f x与()g x有公切线，求实数a的取值范围.20.（本小题 12 分）如图，在棱长为 2 的正方体ABCDEFGH中，点M是正方体的中心，将四棱锥MBCGF绕直线CG逆时针旋转(0)的两焦点分别为12,F F C的离心率为32，椭圆上有三点Q R S，直线QR QS分别过122,F FQRF的周长为 8.（1）求C的方程；（2）设点()00,Q xy，求QRS面积QRSS的表达式（用0y表示）.学科网（北京）股份有限公司 华附华附省实省实广雅广雅深中深中 2024 届高三四校联考数学届高三四校联考数学 参考答案及评分标准参考答案及评分标准

9、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B B A B A D BD BC ABD ACD 13.12yx=14.-2 15.2,33 16.3 212 1.【解析】解：因为集合,A B满足()AAB，故可得AB，故选：D.2.【解析】解：由已知21 i(1 i)i1 i(1 i)(1 i)z=+，所以202420244zi,ii1z=故选C 3.【解析】解：结合图像可知所求直线斜率小于-1，故选B 4.【解析】解：由题意2,1a ba bab=，即|2|ab=，由()()230abab+=，即2224|2|cos,3|0bba bb=，由题知，0,2cos,1ba b=

10、,0,a b 所求夹角为4故选 B 5.【解析】解：因为椭圆1的离心率221212abea=，所以2243ba=，所以双曲线2的离心率222272133abeb+=.故选 A 6.【解析】解：当列车行驶的距离为s时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为s，车轮转过的角度为,sPR点的初始位置为0P，设车轮的中心为O，当0,2sR 时，作0PQOP，垂足为Q，如图所示，学科网（北京）股份有限公司 则coscos,SSOQOPRPRR=到铁轨表面的距离为0cos1 cosSSPQRRRRR=；当,2SR时，0PMMP，作ONPM，垂足为N，如图所示，则sincos2ssPNOPRRR=，P到铁轨表面

11、的距离为cos1 cosSSPMRRRRR=；当SR在其它范围均可得到同一个式子，故选B.7.【解析】解：结合函数1,ln,1xyeyx yx=图像，可知cab，故选 A 8.【解析】解：由已知得：221111114121422,22nnnnnnnnaaaaaa=+=+1112nnaa+，故()()()()211111121(21)212322321nnnannnnna=()11231322 212nnaSaaan=+=不一定22cd所以 A 错，对于选项 B：两边同时除以2c即可，B 正确，C选项1ab 不一定1,1ab，反之成立，所以为必要不充分条件 D.选项正确：()()()()11ln

12、lnlnlnln1lnloglog11lnln1ln1ln1lnlnaaaabbababbbaaabbaaaaaaa+=+10.【解析】解：当两圆内含时，r可以无穷大所以A不正确；当5r=时两圆相交，两圆的方程作差可以公 学科网（北京）股份有限公司 共弦的直线方程B为正确选项；当2r=时如图一，PQ和CD为两条内公切线，有半径比可知43CA=，可得11212tan32417tan,tan,41tan7tan24PQC ACC ACPACkCC ACPAC=选项正确对于 D 选项，点 P 在1P位置时121243 2,4PCAPC=点P在2P位置时222263 2,4PCBPC=所以中间必然有位

13、置使得2BPA=故选BC 11.【解析】解：A.因为()()23632fxxxx x=，所以()f x在(),0和()2,+上单调递增，在()0,2上单调递减，且()()00,24ff=，所以，当()f xb=有三个不同的实数根123,x xx时，40b，故A正确()1yf x=关于点()1,3中心对称，在此点处的切线方程为3yx=，所以 B 正确 由于方程()f xkxb=+有三个根123,x xx，所以()()()321233xxkxbxxxxxx=展开可知122313,Cx xx xx xk+=不正确 1233xxx+=，当123,x xx成等差数列时12323xxxx+=，所以21,2

14、,Dxkb=+=正确 12.【解析】解：如图：对于A，因为点P满足OPxOAyOBzOC=+且1xyz+=，可知点P是平面ABC上的一点.又因为正四面体OABC是棱长为 3，所在立方体的棱长3 22 OP 的最小值为点O到平面ABC的距离，即为立方体体对角线的23，计算可知A正确；学科网（北京）股份有限公司 对于B，因为正四面体OABC的体积为立方体的体积减去四个小三棱锥的体积：332231139 2423224=，而正四面体OABC四个面的面积都是239 33,44=设正四面体OABC的内切球半径为19 39 2,4344rr=，解得622r=，因为正四面体QDEF在正四面体OABC的内部，

15、且可以任意转动，所以最大正四面体QDEF外接球直径为62，因此最大正四面体QDEF外接球也是棱长为22的正方体的外接球，所以正四面体QDEF的体积最大值为33222224261210=，故B不正确.对于C，在正方体1111AC BOACBO内，过O作平面12OO A，分别交1AB AC于点2G A，过C作平面12CC B，分别交1AB BO于点2H B，且平面12OO A平面12CC B，由正四面体OABC的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，其中平面12OO A和平面12CC B为中间的两个平面，易知2A为1AC的中点，2B为1O B的中点，因为正方体1111

16、AC BOACBO是棱长为3 22，所以2212123 23 23 23 23 10,24244O AAAO A=+=，所以点A到12O A的距离为1212105O AAAO A=，所以每相邻平行平面间的距离为3 1010，故C正确；对于D选项：由2QOQA=可知点Q的轨迹是平面ABC与以M点为球心，2 为半径的球的截面圆 其中M点在OA的延长线上且1,MAM=点到平面ABC的距离为63，截面圆的半径为22630(2)33=所以截面圆周长为2 303，故选ACD 学科网（北京）股份有限公司 13.【解析】解：渐近线方程为12yx=14.【解析】解：()3,nnSn nS=最小值为-2 15.【

17、解析】解：由()221 cos 23sin32xf xx=的最小正周期为2，得12=.()21 coscos13322xxf x+=，根据图像可知，函数()f x在 2,33上单调递减，在2 5,33上单调递增，若()f x在0,m上单调递减，在52,3m上单调递增，则20325233mm时，()()(),1,0,xfxf x 单调递增；当0a 单调递增；()()()1,0,xfxf x +时，()f x增区间为()1,+，减区间为(),1 当0a 时，()f x增区间为(),1，减区间为()1,+（2）()yf x=在点()11,x y处的切线方程为()()111111xxya xexxax

18、 e=+，即()112111xxya xe xax e=+学科网（北京）股份有限公司()g x在点()22,xy处的切线方程为()22222yxxxx=，即222y2x xx=+由题意得()1112221212xxa xexax ex+=整理可得()12121401xxaxe=+设()224(1)xxh xxe=+则()()()3421(1)xx xxh xxe+=+当()()()0,1,0,xh xh x单调递增()()11,00hhe=且()10,0h xae 20.解：（1）证明：若2=，则平面DCGH平面CB F G 为同一个平面.连接,BH BF，则M是BH中点，M是BF中点，所以平

19、面MBF与平面BFHD重合，平面M B F 与平面BFF B 重合 由正方体性质可知BF 平面EFF H HFF为二面角HBFF的平面角，而4HFGF FG=，所以2HFF=，平面MBF 平面M B F （2）解：假设存在，使得直线M F 平面MBC，以C为原点，分别以,CB DC CG 为,x y z轴正方向建立空间直角坐标系，学科网（北京）股份有限公司 则()()()0,0,0,2,0,0,1,1,1CBM，故()()2,0,0,1,1,1CBCM=，设(),mx y z=是平面MBC的法向量，则00m CMm CM=，所以200 xyz=+=，取1y=，得()0,1,1m=是平面MBC的

20、一个法向量，取CG中点,P BF中点Q，连接,PQ PM，则,PMCG PQCG PMCG，于是MPM是二面角MCGM的平面角，MPQ是二面角MCGQ的平面角，QPM是二面角QCGM的平面角.于是,4MPMMPQ=，所以4QPM=，且CG 平面,2MPM M P=，故2cos,2sin,144M，同理()2cos,2sin,2F，所以2cos2cos,2sin2sin,144M F=，因为2cos2cos2cos2cos cos2sin sincossin444=，2sin2sin2sin2sin cos2cos sincossin444=+=+，所以()cossin,cossin,1M F=

21、+，若直线M F 平面,MBC n是平面MBC的一个法向量，则M F m，即存在R，使得M Fm =，则cossin0cossin1=+=，此方程组无解，学科网（北京）股份有限公司 所以不存在()0,，使得直线M F 平面MBC.21.解：（1）在ABC中，由余弦定理和abch+=+可得，.22222222()2()2cos112222abcabcabchchchCabababab+=，又由面积公式可知11sin,22sinchabCchabC=，21 cos21sin22ChchhCchc+=+，由1 cos73sin6CchC+=又22sincossin622tan,tan1 cos227

22、12cos12CCCCCCC=+2622tan8472tan;36131tan1249CCC=（2）由（1）知112tan2hCc+=.如图，在ABC中，过B作AB的垂线EB，且使2EBh=，则CECBa=，abchAE+=+，即222()4chch+，得123hc，41 123hc +1431,tan1342tan2CC，2222222cossin1tan2222cos1cossin1tan1tan2222CCCCCCCC=+由3tan142C，得22571tan20cos16225CC+，学科网（北京）股份有限公司 由1 201021200121sin21sin2QRSQF FQRQSRQSSQRQSyyyySQFQFyyQFQFRQS=，又1 212012QF FSFFy=则 0102121200000000011131131122 372 37QRSyyyyyySFFyyyyyyyxx =+20000020002 382 3812643312492 372 37xxxyyxxx+=+把()22004 1xy=代入上式得，()()230000220012 4 16448 316 3348112 4 149QRSyyySyyy+=+