导数大题证明不等式归类--2024届二轮复习含答案.pdf

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1、1导数大题证明不等式归类目录目录题型01不等式证明方法题型02 单变量构造：利用第一问结论题型03 单变量构造：数列型题型04 数列不等式：无限和裂项型题型05 数列不等式：累积相消型题型06 数列不等式：取对数型题型07 虚设根型证不等式题型08 利用函数“凸凹反转性”证明不等式题型09 同构型不等式证明题型10双变量型构造题型11 极值点偏移型：和型证明题型12 极值点偏移型：积型证明题型13 极值点偏移型：平方型证明题型14 三角函数型不等式证明题型15 韦达定理代换型题型16 切线放缩型证明高考练场题型01不等式证明方法【解题攻略】【解题攻略】利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下：

2、(1)直接构造函数法：证明不等式f xg x(或f x0(或f x-g x0)，进而构造辅助函数h x=f x-g x；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数h x；(3)利用导数研究h x的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题导数大题证明不等式归类-2024届二轮复习21 1(陕西省澄城县20121-2

3、022学年高三试数学(理)试题)设函数 f(x)=lnx-x+1(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当x(1,+)时，12时，f(x)3x-4.3【变式训练】【变式训练】1(湖南省三湘名校教育联盟2021-2022学年高三数学试题)已知函数 f x=ex+ax+b，曲线y=f x在点 0,f 0处的切线方程为y=a-b(1)求a，b的值；(2)证明：f x02(湖北省华中师范大学潜江附属中学2021-2022学年高三4月数学试题)已知函数 f(x)=ax3-3lnx.(1)若a=1，证明：f(x)1；(2)讨论 f(x)的单调性.3(2022云南昆明统考模拟预测)已知函数 f(x)=x-

4、sinx，x(0,+)(1)求曲线y=f(x)在点2,f2处的切线方程；(2)证明：2ex f(x)+cosxex14题型02 单变量构造：利用第一问结论【解题攻略】【解题攻略】一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向1.可以利用第一问单调性提炼出不等式2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式3.可以利用题干和第一问结论构造新函数(新不等式)1 1(2023吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数 f(x)=12x2-1-lnx.(1)求 f x的最小值；(2)证明：ln43732.2 2(2021下北京丰台高三统考)已知函数 f(x)=aex+b

5、x+1在x=0处有极值2()求a，b的值；()证明：f(x)ex-x5【变式训练】【变式训练】1(2021四川四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数 f x=x2-2xex+aex-e2lnx，其中e为自然对数的底数，曲线y=f x在 2,f 2处切线的倾斜角的正切值为32e2+2e(1)求a的值；(2)证明：f x02(2022下山东聊城高三练习)已知函数 f(x)=xlnx.(1)讨论y=f(x)的单调性并求极值；(2)证明：当x1时，ln2(x+1)lnxln(x+2).3(20122安徽马鞍山统考模拟)已知函数 f x=ex-ax,aR.(1)若 f x在定义域内无极值点，求实数a的取

6、值范围；(2)求证：当0a0时，f x1恒成立.6题型03 单变量构造：数列型【解题攻略】【解题攻略】数列型不等式证明1.对于nN型数列不等式证明，可以转化为定义域为X1,在实数范围内证明不等式。2.一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n的正整数属性，注意对应换元的取值范围3.数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明1 1(2023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数 f x=1+1xx(x0)(1)证明：f xe；(2)讨论 f x的单调性，并证明：当nN N*时，2n+1ln n+11n2-1n3

7、都成立7【变式训练】【变式训练】12023吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测)设函数 f x=1-axln x+1-bx，其中a和b是实数，曲线y=f x恒与x轴相切于坐标原点1求常数b的值；2当0 x1时，关于x的不等式 f x0恒成立，求实数a的取值范围；3求证：100011000010000.4en2.3(2017下黑龙江大庆高三大庆中学校已知函数 f(x)=1-xax+lnx；(1)若函数 f(x)在1,+)上为增函数，求正实数a的取值范围；(2)当a=1时，求函数 f(x)在12,2上的最值；(3)当a=1时，对大于1的任意正整数n，试比较lnnn-1与1n的大小关系8题型04

8、 数列不等式：无限和裂项型【解题攻略】【解题攻略】证明不等式f 1+f 2+f n g n，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即g n=g n-g n-1+g n-1-g n-2+g n-2-g n-3+g 2-g 1+g 1-g 0这样一来，设bn=g n-g n-1nN*，则只需证f 1+f 2+f nb1+b2+bn，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出f nln2 nN*2 2(2023全国高三专题练习)已知函数 f(x)=2alnx-x2+a，aR(1)讨论函数 f x的单调性；(2)证明:2ln n+112+

9、13+14+1n+1(nN N*)9【变式训练】【变式训练】1(2023上浙江高三浙江省富阳中学校联考阶段练习)已知函数 f x=axlnx-x,(aR).(1)讨论 f x的单调性；(2)若x1时，f x-1，求实数a的取值范围；(3)对任意nN*，证明：12+23+34+nn+1+ln n+1 n.2(2023上福建厦门高三厦门市湖滨中学校考期中)已知函数 f x=kx,g x=lnxx.(1)若不等式 f xg x在区间 0,+内恒成立，求实数k的取值范围；(2)求证：ln224+ln334+.+lnnn41，g x=lnx+mf lnx，求证：g x0；(3)证明：ln51n+1n+1

10、+15nnN N*10题型05 数列不等式：累积相消型【解题攻略】【解题攻略】累加列项相消证明法证明不等式f 1 f 2 f n g n为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为 累积相消型g n=g ng n-1g n-1g n-2g2g 1g 1这样一来，设bn=g ng n-1nN*，则只需证f 1 f 2 f nb1+b2+bn，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出f nbn恒成立，则原不等式也就成立.1 1(2022贵州铜仁高三贵州省铜仁第一中学阶段练习)已知函数 f(x)=aln x-ax-3(aR)(

11、1)若a=-1，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数y=f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)=x3+x2f(x)+mn(f(x)是 f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(3)求证：ln22ln33ln44lnnn1n(n2，nN*)2 2(2023全国高三专题练习)已知函数 f x=alnx+1-x(1)若 f x0，求a的值；(2)证明：当nN N+且n2时，ln222ln332ln442lnnn22nn(n+1)n2,nN N+.2(2023全国高三专题练习)设整数p1，nN*，x-1且x0，函数 f

12、x=1+xp-px-1(1)求证：f x0；(2)求证：1+111+131+15 1+12n-12n+13(2022全国高三专题练习)已知函数 f x=xlnx，g x=a x2-x2.(1)若 f xg x在 1,+上恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：1+1n+121+2n+12 1+nn+12e.12题型06 数列不等式：取对数型【解题攻略】【解题攻略】取对数型证明不等式f 1 f 2 f nt为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为 累加或者累积相消型ln f 1 f 2 f nlntln f 1+ln f 2+ln

13、f 3+ln f 2lnt1 1(2023全国高三专题练习)已知函数 f x=ln 1+x(1)求证：当x 0,+时，x1+x f xx；(2)已知e为自然对数的底数，求证：nN*，e 1+1n21+2n2 1+nn2e2 2(2023全国高三专题练习)已知函数 f(x)=sinx-xcosx(x0)(1)求函数 f(x)的图象在2,1处的切线方程；(2)若任意x(0,+)，不等式 f(x)ax3恒成立，求实数a的取值范围；(3)设g(x)=3x2f(x)，证明：1+g131+g132 1+g13ne13【变式训练】【变式训练】1(2023上江苏淮安高三金湖中学校联考)已知函数 f x=ax-

14、a-lnx(1)求曲线y=f x在点 1,f 1处的切线方程；(2)证明：当a=1时，f x0；(3)设m为整数，若对于nN N*,1+131+2321+2233 1+2n-13nm成立，求m的最小值2(2023全国高三专题练习)已知关于x的函数 f x=ax-lnx-1+ln2.(1)讨论 f x的单调性；(2)证明：当nN*时，ln 123n0，f(x)+exx2+x+22 2(20122浙江模拟预测)已知函数 f(x)=x2-(a-2)x-alnx(aR)(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)当a=1时，证明：对任意的x0，f(x)+exx2+x+215【变式训练】【变式训练】1(2

15、023上福建福州高三校联考)设函数 f(x)=e2x-alnx(1)求a=e时，f(x)的单调区间；(2)求证：当a0时，f(x)2a+aln2a2(2024上陕西安康高三校联考阶段练习)已知函数 f x=x-alnx-4,aR R.(1)讨论函数 f x的单调性；(2)当a=1时，令F x=x-2ex-f x，若x=x0为F x的极大值点，证明：0F x01.3(2023上重庆沙坪坝高三重庆一中校考阶段练习)已知函数 f x=ax+xlnx,aR.(1)判断 f x的单调性;(2)若a=1,0 0，若可将不等式左端 f(x)拆成 g(x)h(x)，且 gmin(x)hmax(x)的话，就可证

16、明原不等式成立.通常情况，我们一般选取 g(x)为上凸型函数，h(x)为下凹型函数来完成证明.1 1(2023上黑龙江哈尔滨高三哈尔滨市第十三中学校校考)已知函数 f x=mx+lnx,mR.(1)讨论 f x的单调性；(2)证明：当m0时，mf x2m-1.2 2已知函数 f(x)=ex-x-m(mR)(1)当x0时，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)当m=-1时，证明：x-lnxexf(x)1-1e217【变式训练】【变式训练】1(2021上全国高三校联考阶段练习)已知 f(x)=lnx+ax，aR R()讨论 f(x)的单调性；()若a-1，证明：f(x)1ex-2ex3已知函数

17、f(x)=ax2-xlnx(I)若 f(x)在区间(0，+)内单调递增，求a的取值范围；()若a=e(e为自然对数的底数)，证明：当x0时，f(x)h(x)恒成立.2已知 f x=ex+1-2x，g x=a+x+lnxx，aR(1)当x 1,+时，求函数g x的极值；(2)当a=0时，求证：f xg x21题型10双变量型构造1 1(2022贵州黔东南统考一模)已知函数 f(x)=lnxmx(m0).(1)试讨论函数 f(x)的单调性；(2)对a,b e,+，且aba.2 2(2023 上四川内江高三四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知函数 f x=x-ax+1-ln x+1aR(1)求函数

18、 f x的单调区间；(2)已知m，n是正整数，且1m 1+nm22【变式训练】【变式训练】1(2022全国高三专题练习)已知函数g x=1-1+lnxx(1)求g x的单调区间；(2)当1emn1时，试证明nmn0，求证：lnm-lnnm-n2m+n3(2022全国高三专题练习)已知函数 f x=lnx-a x-1x+1.(1)若函数 f x在 0,+上为单调增函数，求a的取值范围；(2)设m,nR，且mn，求证m-nlnm-lnnm+n2.23题型11 极值点偏移型：和型证明【解题攻略】【解题攻略】极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：1.零点是否是特殊值，或者在某个确

19、定的区间之内。2.零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。3.将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理1 1(2023四川成都成都七中校考模拟预测)已知函数 f x=ex-ax2+e2x 有两个极值点 a-13，x2x1x2(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x1+x22 e.24【变式训练】【变式训练】1(2023江西统考模拟预测)已知函数 f(x)=x+mex(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若x1x2，且 f x1=f x2=2，证明：0me，且x1+x24a25题型12 极值点偏移型：积型证明【解题攻略】【解题攻略】处理极值点偏移问题中的类似于x1x2a f x1=f x2

20、的问题的基本步骤如下：求导确定f x的单调性，得到x1,x2的范围；构造函数F x=f x-fax，求导可得F x恒正或恒负；得到f x1与fax1的大小关系后，将f x1置换为f x2；根据x2与ax1的范围，结合f x的单调性，可得x2与ax1的大小关系，由此证得结论.1 1(2023上河南高三南阳中学校联考阶段练习)已知函数 f(x)=12ax2-(2a+1)x+2lnx(aR).(1)若 f(x)有唯一极值，求a的取值范围；(2)当a0时，若 f(x1)=f(x2)，x1x2，求证：x1x24.2 2(2023上陕西汉中高三西乡县第一中学校联考)已知函数 f x=exx，g x=lnx

21、-x.(1)求函数g x的极值；(2)若h x=f x-g x，求函数h x的最小值；(3)若h x=a有两个零点x1，x2，证明：x1x22x1，证明：x1x28e22(2023上江苏连云港高三江苏省海州高级中学校考阶段练习)已知函数 f x=lnx+12ax2-a+1x aR R.(1)当a=1时，求函数y=f x的零点个数.(2)若关于x的方程 f x=12ax2有两个不同实根x1,x2，求实数a的取值范围并证明x1x2e2.27题型13 极值点偏移型：平方型证明1 1(2023下辽宁高三统考)已知函数 f x=lnx+1ax.(1)讨论 f x的单调性；(2)若 ex1x2=ex2x1

22、(e是自然对数的底数)，且x10，x20，x1x2，证明：x21+x222.2 2(2023广东广州广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知函数 f x=lnx-ax2.(1)讨论函数 f x的单调性：(2)若x1,x2是方程 f x=0的两不等实根，求证：x21+x222e；28【变式训练】【变式训练】1(2023山西校联考模拟预测)已知函数 f x=lnxx-ax.(1)若 f x-1，求实数a的取值范围；(2)若 f x有2个不同的零点x1,x2(x1125a.2(2023上云南高三云南师大附中校考阶段练习)已知函数 f x=1+lnxax，a0(1)若 f x1，求a的取值范围；(2)证

23、明：若存在x1，x2，使得 f x1=f x2，则x21+x22229题型14 三角函数型不等式证明【解题攻略】【解题攻略】1.利用导数证明三角函数型不等式2.正余弦的有界性3.三角函数与函数的重要放缩公式：xsinx x0.1 1(2023全国高三专题练习)已知函数 f x=ex-x-1.(1)证明：f x0；(2)当m1时，证明不等式ex-mx+cosx-20，在x 0,+上恒成立.2 2(2023四川资阳统考模拟预测)已知函数 f x=x3-ax+1(1)当a=1时，过点 1,0作曲线y=f x的切线l，求l的方程；(2)当a0时，对于任意x0，证明：f xcosx30【变式训练】【变式

24、训练】1(2022新疆统考三模)已知函数 f(x)=sinx-axcosx，aR R(1)若 f(x)在x=0处的切线为y=x，求实数a的值；(2)当a13，x0,+)时，求证：f x2ax.2设函数 f(x)=excosx，g(x)=acosxe2x，x 0,3.(1)求 f x的最小值，并证明：e122；(2)若不等式：g(x)2-e3x成立，求实数a的取值范围.31题型15 韦达定理代换型【解题攻略】【解题攻略】利用韦达定理证明不等式1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2有关。2.利用韦达定理代换：可以消去参数1 1已知函数 f x=lnx+x2-ax aR.(1)求函数 f x的单

25、调区间；(2)设 f x存在两个极值点x1,x2，且x1x2，若0 x134-ln2.2 2已知函数 f(x)=ln x+ax2-x.(1)若a=-1，求函数 f(x)的极值；(2)设 f(x)为 f(x)的导函数，若x1，x2是函数 f(x)的两个不相等的零点，求证：f(x1)+f(x2)x1+x2-532【变式训练】【变式训练】1已知函数 f x=x-1x-alnx(aR)，(1)求曲线y=f x在点 e,-1e处的切线与坐标轴围成三角形的面积(2)fx是 f x的导函数，若函数g x=x2 fx-ax+2lnx有两个极值点x1,x2，且0 x1x2e，求证：g x1+1e2m+22833

26、题型16 切线放缩型证明【解题攻略】【解题攻略】常用的切线放缩有：(1)exx+1；(2)exex；(3)1-1xlnxx-1；(4)lnxxe.1 1(2023青岛模拟改编)已知x1ln x1=x2ln x2=a，且x1x2，求证：x2-x12a+1+e-2.求证：|a-b|0且x1时，证明：曲线y=f(x)的图象恒在切线y=bx+1的上方；(3)证明：不等式：4xex-1-x3-3x-2lnx0.34【变式训练】【变式训练】1已知函数 f(x)=4ex-1+ax2，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+1.(1)求实数a，b的值；(2)x0且x1时，证明：曲线y=f(x)的图象恒

27、在切线y=bx+1的上方；(3)证明不等式：4xex-1-x3-3x-2ln x0.2(2013新课标II卷)已知函数 f x=ex-ln x+m(1)设x=0是 f x的极值点，求m并讨论 f x的单调性；(2)当m2时，证明：f x035高考练场高考练场12021福建莆田统考二模)设函数 f(x)=2ex+acosx,aR R(1)若 f(x)在 0,2上存在零点，求实数a的取值范围；(2)证明：当a 1,2,x 0,2时，f(x)2x+32(2023上湖北高三校联考阶段练习)已知函数 f(x)=sinx+x2.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程，(2)证明：f(x)-

28、516.363(2023全国高三专题练习)设函数 f x=x2-a x+alnxaR R,a0,fx是函数 f x的导函数.(1)讨论 f x的单调性；(2)若a0，且 f 1+f1=0，结合(1)的结论，你能得到怎样的不等式？(3)利用(2)中的不等式证明：212+322+.+n+1n2ln n+1nN N*.4(2022全国高三专题练习)已知函数 f x=lnx-a x-1x+1aR(1)若函数 f x在定义域内是单调增函数，求实数a的取值范围；(2)求证：4ln2+8ln3+12ln4+4nln(n+1)0时，证明：f x0恒成立；(2)当a=0时，证明：1+112 1+123 1+1n

29、 n+1e nN*6(2020四川绵阳统考模拟预测)已知函数 f(x)=ex+alnx(aR)(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(2)设x0是 f(x)的导函数 f(x)的零点，若-eaex0.387(天津市红桥区2021-2022学年高三数学试题)已知 f x=xlnx，g x=-x2+ax-3.(1 1)求函数 f x的单调区间；(2 2)对一切x 0,+，2f xg x恒成立，求实数a a的取值范围；(3 3)证明：对一切x 0,+，都有lnx1ex-2ex成立.8(辽宁省五校(辽宁省实验中学、东北育才学校、鞍山一中、大连八中、大连2424中)202120

30、21-20222022学年高三考试数学试题)材料：在现行的数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的.如函数 f x=xxx0，我们可以作变形：f x=xx=elnxx=exlnx=ett=xlnx，所以 f x可看作是由函数 f t=et和g x=xlnx复合而成的，即 f x=xxx0为初等函数，根据以上材料：(1 1)直接写出初等函数 f x=xxx0极值点(2 2)对于初等函数h x=xx2x0，有且仅有两个不相等实数x1,x20 x1x2满足：h x1=h x2=ek.(i i)求k的取值

31、范围.(ii ii)求证：xe2-2e2e-e2x1(注：题中e为自然对数的底数，即e=2.71828)399(2023上天津和平高三天津一中校考阶段练习)已知函数 f x=x2lnx-32a，a为实数(1)当a=23时，求函数在x=1处的切线方程；(2)求函数 f x的单调区间；(3)若函数 f x在x=e处取得极值，fx是函数 f x的导函数，且 fx1=fx2，x1x2，证明：2x1+x20有 f x0恒成立，求a的取值范围；(3)当a0时，若 f x1=f x2，求证：x1x20)(1)已知 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=x-1，求实数a的值；(2)已知 f(x)在定义域

32、上是增函数，求实数a的取值范围.(3)已知g x=f x+ax有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围并证明x1x2e2.12(2021福建高三统考阶段练习)已知函数 f x=1+lnxax(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 ex1x2=ex2x1，且x10，x20，x1x2，证明:x21+x222.4113(广西桂林市国龙外国语学校2021-2022学年高三考试数学试题)已知函数 f x=ae-x+cosx aR R.(1)若函数 f x在-2，0上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)当a=-1时，x0为 f x在 0,上的零点，求证：2x0+1ex0sinx0-cosx0.14(山西

33、省山西大学附属中学2021届高三下学期三月模块诊断理科数学试题)已知函数 f x=x2-x+klnx，kR R(1 1)讨论函数 f x的单调性；(2 2)若 f x有两个极值点x1，x2，证明：f x1-f x2g x(或f x0(或f x-g x0)，进而构造辅助函数h x=f x-g x；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数h x；(3)利用导数研究h x的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等

34、式特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题21 1(陕西省澄城县20121-2022学年高三试数学(理)试题)设函数 f(x)=lnx-x+1(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当x(1,+)时，1x-1lnx【答案】(1)f(x)的增区间为 0,1，减区间为 1,+.(2)证明见解析【分析】(1)求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；(2)运用(1)的单调性，当x 1,+时，可得 f x0，可得0 x1；fx1，即有 f(x)的增区间为 0,1，减区间为 1,+.(2)当x 1,+时，由(1

35、)可得 f(x)=lnx-x+1在 1,+递减，可得 f x f 1=0，即有0lnxx-1.故有：12时，f(x)3x-4.【答案】(1)f(x)的单调增区间为(1，+),单调减区间为(0，1)；(2)见解析.【分析】()明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间；()作差构造新函数，研究函数的最值即可.【详解】(1)依题意知函数的定义域为 x|x0，f(x)=2x-21x=2(x+1)(x-1)x，由 f(x)0，得x1;由 f(x)0，得0 x2时，g(x)0，g(x)在(2，+)上为增函数，g(x)g(2)=4-2ln2-6+40，当x2时，x2-2lnx3x-4,即当x2

36、时 f(x)3x-4.【变式训练】【变式训练】1(湖南省三湘名校教育联盟2021-2022学年高三数学试题)已知函数 f x=ex+ax+b，曲线y=f x在点 0,f 0处的切线方程为y=a-b(1)求a，b的值；(2)证明：f x0【答案】(1)a=-1，b=-1；(2)证明见解析.【分析】(1)根据导数的几何意义，结合 f0=0，f 0=a-b，解方程组即可；(2)根据(1)中所求 f x，利用导数判断函数单调性，求得最小值，即可证明.(1)f x=ex+ax+b，fx=ex+a，曲线y=f x在点 0,f 0处的切线方程为y=a-b，f0=1+a=0f 0=1+b=a-b，解得a=-1

37、，b=-13(2)由(1)知 f x=ex-x-1，fx=ex-1，当x0时，fx0时，fx0，f x为增函数，f x的最小值为 f 0=0，f x0，即证.2(湖北省华中师范大学潜江附属中学2021-2022学年高三4月数学试题)已知函数 f(x)=ax3-3lnx.(1)若a=1，证明：f(x)1；(2)讨论 f(x)的单调性.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)对 f(x)求导，利用导数求出 f(x)的最小值，即可得证；(2)对 f(x)求导，对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可解出.(1)若a=1，则 f(x)=x3-3lnx，x0，f(x)=3x2-3x=3(x3

38、-1)x，令 f(x)=0，可得x=1，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，最小值为 f(1)=1，故 f(x)1.(2)f(x)=ax3-3lnx，x0，f(x)=3ax2-3x=3ax3-3x(x0)，当a0时，f(x)0时，令 f(x)0，得x31a，令 f(x)0，得0 x0时，f(x)在 0，31a上单调递减，在31a，+上单调递增.3(2022云南昆明统考模拟预测)已知函数 f(x)=x-sinx，x(0,+)(1)求曲线y=f(x)在点2,f2处的切线方程；(2)证明：2ex f(x)+cosxex1【答案】(1)x-y

39、-1=0(2)证明见解析【分析】(1)根据切点和斜率求得切线方程.(2)构造函数g(x)=(2x-2sinx+cosx)ex，利用导数判断g x的单调性，从而证得不等式成立.【详解】(1)f(x)=1-cosx，f2=1，f2=2-1，故曲线y=f(x)在点2,f2处的切线方程为y-2-1=x-2.即x-y-1=0(2)设g(x)=(2x-2sinx+cosx)ex，则g(x)=(2x-2sinx+cosx)ex+(2-2cosx-sinx)ex=2(x-sinx)+2-2sin x+4ex4由(1)知xsinx，又2-2sin x+40，所以g(x)0，所以g(x)在(0,+)上单调递增，故

40、g(x)g(0)=1，所以，x(0,+)，2ex f(x)+cosxex1题型02 单变量构造：利用第一问结论【解题攻略】【解题攻略】一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向1.可以利用第一问单调性提炼出不等式2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式3.可以利用题干和第一问结论构造新函数(新不等式)1 1(2023吉林长春长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数 f(x)=12x2-1-lnx.(1)求 f x的最小值；(2)证明：ln43732.【答案】(1)0(2)证明过程见解析【分析】(1)利用导数的性质进行求解即可；(2)利用(1)的结果，取特殊值

41、代入进行证明即可.【详解】(1)显然该函数的定义域为全体正实数，由 f(x)=12x2-1-lnx fx=x-1x=x+1x-1x，当x1时，fx0，所以函数 f x单调递增，当0 x1时，fx0 x0-lnx-12x2-1x0，即ln1x-12x2-1x0，当x=34时，ln134-12342-1ln43732.2 2(2021下北京丰台高三统考)已知函数 f(x)=aex+bx+1在x=0处有极值2()求a，b的值；()证明：f(x)ex-x【答案】()a=1,b=-1；()证明见解析.【分析】()求出导函数 f(x)，由 f(0)=0且 f(0)=2求得a,b，并检验0是极值点；()不等

42、式化为ex-ex+10，引入函数g(x)=ex-ex+1，由导数求得g(x)的最小值，最小值大于0，从而证得不等式成立【详解】()解：由已知，f(x)=aex+b，则f(0)=ae0+b=0,f(0)=ae0+b0+1=2.解得，a=1,b=-1.经检验，a=1,b=-1符合题意.()证明：由()可知，f(x)=ex-x+1要证 f(x)ex-x，只需证ex-x+1ex-x即ex-ex+105令g(x)=ex-ex+1，则g(x)=ex-e令g(x)=0，解得x=1g(x)，g(x)的变化情况如下表所示x(-,1)1(1,+)g(x)-0+g(x)单调递减1单调递增所以，x=1时，g(x)有最

43、小值g(1)=e1-e1+1=10故 f(x)ex-x成立【变式训练】【变式训练】1(2021四川四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数 f x=x2-2xex+aex-e2lnx，其中e为自然对数的底数，曲线y=f x在 2,f 2处切线的倾斜角的正切值为32e2+2e(1)求a的值；(2)证明：f x0【答案】(1)a=2；(2)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数，再代入计算可得；(2)依题意即证 f x=x2-2xex+2ex-e2lnx0，即 x-2ex-1+2elnxx，构造函数g x=x-2ex-2+2e，h x=lnxx，利用导数说明其单调性与最值，即可得到 g xh x，

44、从而得证；【详解】解：(1)因为 f x=x2-2xex+aex-e2lnx，所以 fx=x2-2ex+ae-e2x，f2=3e22+ae=3e22+2e，解得a=2(2)由(1)可得 f x=x2-2xex+2ex-e2lnx即证 f x=x2-2xex+2ex-e2lnx0 x-2ex-1+2elnxx令g x=x-2ex-2+2e，gx=x-1ex-2，于是g x在 0,1上是减函数，在 1,+上是增函数，所以g xg 1=1e(x=1取等号)又令h x=lnxx，则hx=1-lnxx2，于是h x在 0,e上是增函数，在 e,+上是减函数，所以h xh e=1e(x=e时取等号)所以g

45、 xh x，即 f x02(2022下山东聊城高三练习)已知函数 f(x)=xlnx.(1)讨论y=f(x)的单调性并求极值；(2)证明：当x1时，ln2(x+1)lnxln(x+2).【答案】(1)y=f x在 0,1e单调递减，1e,+单调递增.极小值为-1e,无极大值；(2)见解析【分析】(1)求出 fx=lnx+1，明确单调性，从而得到函数的极值；(2)要证当x1时，ln2x+1lnxln x+2即证当x1时，ln x+1lnxln x+2ln x+1，构造新函数h x=ln x+1lnx(x1)，研究其单调性即可.【详解】(1)fx=lnx+1，(x0)，令 fx0，解得x1e，令

46、fx0，解得0 x1),hx=lnxx+1-ln x+1xlnx2=xlnx-x+lln x+1lnx2x x+1,由(1)可知 f x=xlnx在 1,+递增，所以xlnx-x+lln x+10，所以hxx1时，h x+1ln x+2ln x+1，所以ln2x+1lnxln x+2得证.3(20122安徽马鞍山统考模拟)已知函数 f x=ex-ax,aR.(1)若 f x在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；(2)求证：当0a0时，f x1恒成立.【答案】(1)a1(2)见解析【分析】(1)由题意知 fx=exx-1+ax2，令g x=exx-1+a,x0，利用导数求得g x有最小值g 0

47、=a-1，结合 f x在定义域内无极值点，得a1，再验证a=1时，即可得结论；(2)结合(1)中结论可得g x在 0,+上单调递增，根据g 00 可得 fx存在唯一的零点x0 0,1，且 f x在 0,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增,故可得结论.【详解】(1)由题意知 fx=exx-1+ax2，令g x=exx-1+a,x0，则gx=exx，当x0时，gx0时，gx0,g x在 0,+上单调递增，又g 0=a-1，f x在定义域内无极值点，a1又当a=1时，f x在-,0和 0,+上都单调递增也满足题意，所以a1.(2)fx=exx-1+ax2，令g x=exx-1+a，由(1)可知g

48、 x在 0,+上单调递增，又g 0=a-10，所以 fx存在唯一的零点x0 0,1，故 f x在 0,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增，f x f x0由ex0 x0-1+a=0知 f x0=ex01即当0a0时，f x1恒成立.题型03 单变量构造：数列型【解题攻略】【解题攻略】数列型不等式证明1.对于nN型数列不等式证明，可以转化为定义域为X1,在实数范围内证明不等式。2.一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n的正整数属性，注意对应换元的取值范围73.数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明1 1(2

49、023吉林通化梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数 f x=1+1xx(x0)(1)证明：f xe；(2)讨论 f x的单调性，并证明：当nN N*时，2n+1ln n+10)，利用导数证明ln 1+tt，可得ln 1+1x1x，变形即可得证；(2)构造g x=xln 1+1x，利用导数证明其单调性，再结合复合函数的单调性即可判定 f x的单调性，利用 f x的单调性可得 1+1nn0)，则ht=11+t-1=-t1+t0，所以h t在 0,+上单调递减，所以h th 0=0，即ln 1+t0)，则有ln 1+1x1x，所以xln 1+1x1，所以ln 1+1xx1,1+1xxe，即 f x

50、0)可得lnf x=xln 1+1x，令g x=xln 1+1x，则gx=ln 1+1x-1x1+1x，令 t=ln 1+t-t1+t(t0)，则t=11+t-1(1+t)2=t(1+t)20，所以 t在 0,+上单调递增，t 0=0令t=1x(x0)，则有gx=ln 1+1x-1x1+1x0，所以g x在 0,+上单调递增，所以 f x=1+1xx在 0,+上单调递增，所以对于nN N*，有 1+1nn 1+1n+1n+1，所以ln 1+1nnln 1+1n+1n+1，所以nln 1+1n n+1ln 1+1n+1，即n ln n+1-lnn n+1ln n+2-ln n+1，整理得：2n+