2024届江苏无锡高三上学期期末数学试题含答案.pdf

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1、第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司无锡市无锡市 2023 年秋学期高三期终教学质量调研测试年秋学期高三期终教学质量调研测试数学数学 2024.1命题单位：一、单项选择题：本题共命题单位：一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合1,0,1,2,3,4A=，集合2230Bx xx=，则AB=（）A.1,0,1,2,3B.1,0,1C.0,1,2D.1,02.复数12i3i+在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.

2、笵三象限D.第四象限3.已知a，b是两个不共线向量，命题甲：向量tab+与2ab共线；命题乙：12t=，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时托油量Q（单位：L）与速度v（单位：km/h（0120v）的下列数据：v 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为描述汽车每小时枆油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）A.Qavb=+B.32Qavbvcv=+C.0.5vQa=+D.logaQkvb=

3、+5.已知0ab，设椭圆1C：22221xyab+=与双曲线2C：22221xyab=的离心率分别为1e，2e.若213ee=，则双曲线2C的渐近线方程为（）的 第2页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 A.2 55yx=B.45yx=C.52yx=D.55yx=6.已知直四棱柱1111ABCDABC D的底面是边长为 2的菱形，且120DAB=.若M，N分别是侧棱1CC，1BB上的点，且2MC=，1NB=，则四棱锥ABCMN的体积为（）A.3 B.2 C.3 3 D.6 7.已知nS是等比数列 na的前n项和，且存在kN，使得3kS+，9kS+，6kS+成等差数列.若对于任意的Nm，满足2

4、532mmaa+=，则8ma+=（）A.32m+B.16m+C.32 D.16 8.已知函数()f x的定义域为R，且()2f xx+为奇函数，()2f xx为偶函数.令函数()()(),0,0.f xxg xf xx=若存在唯一的整数0 x，使得不等式()()2000g xa g x+成立，则实数a的取值范围为（）A.)(8,31,3 B.)(3,13,8 C )(3,03,8 D.)(8,30,3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选

5、对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9.第一组样本数据12,nx xx，第二组样本数据1y，2y，ny，其中21iiyx=（1,2,in=），则（）A.第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的 2倍 B.第二组样本数据中位数是第一组样本数据的中位数的 2 倍 C.第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的 2倍 D.第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的 2倍 10.已知函数()sin 23f xx=+，()cos 26g xx=+，则下列说法正确的是（）A.()yf x=的图象关于点,

6、012对称.的 第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 B.()g x在区间 5,26上单调递增 C.将()g x图象上的所有点向右平移6个单位长度即可得到()f x的图象 D.函数()()()h xf xg x=+的最大值为3 11.已知过点()0,t的直线1l与抛物线C：24xy=相交于A、B两点，直线2l：4ykx=+是线段AB的中垂线，且1l与2l的交点为(),Q m n，则下列说法正确的是（）A.m为定值 B.n为定值 C.2222k且0k D.22t 12.已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为()01pp，我们称将试验进行至事件A发生r次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，

7、记作(),XNB r p，则下列说法正确的是（）A.若11,2XNB，则()12kP Xk=，1,2,3,k=B.若(),XNB r p，则()()1k rrP Xkpp=，,1,2,kr rr=+C.若(),XNB r p，(),YB n p，则()()P XnP Yr=D.若(),XNB r p，则当k取不小于1rp的最小正整数时，()P Xk=最大 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知直线6:30lxy=与圆222:40C xyxy+=相交于,A B两点，则|AB=_.14.随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲

8、”、“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为_.（用数字作答）15.已知函数()()sin 3f xx=+在区间,上的值域为2,12，则的值为_.16.已知函数()2e,0,0 xxf xxx=，若函数()f x的图象在点()()()111,0A xf xx 处的两条切线相互平行且分别交y轴于M、N两点，则AMBN的取值范围为 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 _.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程

9、或演算步骤.17.设数列 na满足11a=，22a=，214363nnnaaan+=+.（1）证明：数列13nnaan+为等比数列；（2）求数列 na的通项公式.18.在ABC中，角,A B C对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为()2223 74abc+.（1）求sinC；（2）若()3 7sin32BA=，求tan A.19.如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，2CDDEBE=，BCCD，/BE CD，F是线段AD的中点.（1）若BABC=，求证：EF平面ACD；（2）若1BE=，60ABC=，且平面ABC与平面ADE夹角的正切值为2 33，求线段AC的长.20.为考察

10、药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据 100 个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物M 疾病A 未患病 患病 合计 未服用 30 15 45 服用 45 10 55 合计 75 25 100 的 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 （1）依据0.1=的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取 1 只，用药物N进行治疗.已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34.若共选取 3次，每次选取的结果是相互独立的.记选

11、取的 3 只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望.附：()()()()22()n adbcabcdacbd=+，nabcd=+0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 21.在直角坐标系xOy中，动点(),P x y与定点()1,0F的距离和P到定直线l：4x=的距离的比是常数12，记动点P的轨迹为W.（1）求W的方程；（2）过动点()0,Tt（0t）的直线交x轴于点H，交W于点,A M（点M在第一象限），且2ATTH=.作点A关于x轴的对称点B，连接BT并延长交W于点N.证明：直线MN斜率不小于6.22.已知函数()4

12、lnf xxaxx=+（Ra），()fx为()f x的导函数，()()g xfx=.（1）若12a=，求()yf x=在31,e上最大值；（2）设()()11,P x g x，()()22,Q x g x，其中211xx.若直线PQ的斜率为k，且()()122gxgxk+，设椭圆1C：22221xyab+=与双曲线2C：22221xyab=的离心率分别为1e，2e.若213ee=，则双曲线2C的渐近线方程为（）A.2 55yx=B.45yx=C.52yx=D.55yx=【答案】A【解析】【分析】根据题意及椭圆和双曲线的离心率公式求得ba的值，写出双曲线的渐近线即可.【详解】因为213ee=，结

13、合离心率公式可得222213 1bbaa+=，解得2 55ba=，所以双曲线2C的渐近线方程为2 55yx=.故选：A.6.已知直四棱柱1111ABCDABC D底面是边长为 2 的菱形，且120DAB=.若M，N分别是侧棱1CC，1BB上的点，且2MC=，1NB=，则四棱锥ABCMN的体积为（）A.3 B.2 C.3 3 D.6【答案】A【解析】【分析】通过分析得到AH为四棱锥ABCMN的高，计算体积即可.【详解】取BC的中点H，连接AH，由直四棱柱1111ABCDABC D的底面是边长为 2 的菱形，且120DAB=，所以60,ABC=易得ABBCAC=，所以AHBC,又因为1BB 面AB

14、CD，且AH面ABCD，的 第4页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 所以1BBAH,又因为1,BBBCB=且1,BB BC 面11BBCC，所以AH 面11BBCC，故AH为四棱锥ABCMN的高.易得到3AH=，四边形BCMN的面积为()112232S=+=,所以四棱锥ABCMN的体积为1133333VS AH=,故选：A.7.已知nS是等比数列 na的前n项和，且存在kN，使得3kS+，9kS+，6kS+成等差数列.若对于任意的Nm，满足2532mmaa+=，则8ma+=（）A.32m+B.16m+C.32 D.16【答案】D【解析】【分析】借助等比数列知识，利用3kS+，9kS+，6

15、kS+成等差数列，求出312q=，再利用2532mmaa+=，求出2ma，再计算8ma+即可.【详解】因为3kS+，9kS+，6kS+成等差数列，所以9362kkkSSS+=+即96930kkkkSSSS+=，即9879876540kkkkkkkkkaaaaaaaaa+=，所以()98765420kkkkkkaaaaaa+=，因为数列 na是等比数列，且0na，第5页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 所以()543244444420kkkkkkaqaqaqaqaqa+=，()32242110kaqqqqq+=，所以()3222110qqqqq+=，即()()322110qqq+=，所以2

16、10qq+=（无解）或3210q+=，即312q=又因为2532mmaa+=，所以()33222132mmmaaqaq+=+=，所以264ma+=，所以2682164162mmaaq+=，故选：D.8.已知函数()f x的定义域为R，且()2f xx+为奇函数，()2f xx为偶函数.令函数()()(),0,0.f xxg xf xx=若存在唯一的整数0 x，使得不等式()()2000g xa g x+成立，则实数a的取值范围为（）A.)(8,31,3 B.)(3,13,8 C.)(3,03,8 D.)(8,30,3【答案】B【解析】【分析】先根据函数奇偶性定义求出()f x，表示出()g x

17、，画出图象，分类讨论即可.【详解】令()()2h xf xx=+，()()2m xf xx=，因为()2f xx+为奇函数，()2f xx为偶函数.所以()()()2hxh xfxx=+，()()()2mxm xfxx=+，所以()()()()22,h xf xxh xfxx=+=+可得()()22f xfxx+=，同理()()()()2,2m xf xxm xfxx=+可得()()4f xfxx=，由+得()22f xxx=+，第6页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 所以()222,02,0 xx xg xxx x+=，要满足存在唯一的整数0 x，使得不等式()()2000g xa g

18、 x+成立，而()()()()200000g xa g xg xg xa+=+，当0a=时，()200g x，显然不成立，当a0时，要使()()00,g xa只有一个整数解，因为()()111,3,gg=所以13a ，即31a 时，要使()()0,0g xa 只有一个整数解，因为()()()0,332,48ggg=,所以83a ，即38a.综上所述：实数a的取值范围为)(3,13,8.故选:B.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选对的得全

19、部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9.第一组样本数据12,nx xx，第二组样本数据1y，2y，ny，其中21iiyx=（1,2,in=），则（）A.第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的 2倍 B.第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的 2倍 第7页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 C.第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的 2倍 D.第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的 2倍【答案】CD【解析】【分析】根据平均数和标准差的性质以及中位数和极差的概念可得答案.【详解】

20、设样本数据12,nx xx，的样本平均数为x，样本中位数为m，样本标准差为s，极差为maxminxx，对于 A,C选项：由21iiyx=，根据平均数和标准差的性质可知，样本数据1y，2y，,ny的样本平均数为21x，故 A 错误；样本数据1y，2y，,ny的样本方差为2224a ss=，所以第二组数据的样本标准差2s，故 C 正确；对于 B选项：根据中位数的概念可知，样本数据1y，2y，,ny的中位数为21m，故 B 错误；对于 D选项：根据极差的概念可知,样本数据1y，2y，ny的极差为()()()maxminmaxminmaxmin21212yyxxxx=,故 D 正确.故选：CD.10.

21、已知函数()sin 23f xx=+，()cos 26g xx=+，则下列说法正确的是（）A.()yf x=的图象关于点,012对称 B.()g x在区间 5,26上单调递增 C.将()g x图象上的所有点向右平移6个单位长度即可得到()f x的图象 D.函数()()()h xf xg x=+的最大值为3【答案】BCD【解析】【分析】对于 A 选项：将12x=代入()f x验证即可；对于 B选项：换元后结合三角函数图象与性质判断即可；对于 C 选项：利用三角函数得图象变换化简整理即可；对于 D 选项：借助和差角公式计算即可.第8页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【详解】对于 A选项：将1

22、2x=代入()f x，得sin 2sin1121232f=+=，故()yf x=的图象不关于点,012对称,故选项 A 错误;对于 B选项：在()cos 26g xx=+，令26tx=+，则cosyt=，因为 5,26x，所以7 112,666tx=+，根据余弦函数图象可知cosyt=在7 11,66单调递增，故选项 B正确；对于 C选项：将()g x图象上的所有点向右平移6个单位长度,可得到cos 2cos 2cos2sin 2(),6666233g xxxxxf x=+=+=+=故选项 C 正确；对于 D选项：()()()sin 2cos 236h xf xg xxx=+=+,()1331

23、sin 2cos 2sin2cos2cos2sin23cos2,362222h xxxxxxxx=+=+=结合余弦函数的性质可知：()3cos23h xx=，故选项 D正确.故选：BCD.11.已知过点()0,t的直线1l与抛物线C：24xy=相交于A、B两点，直线2l：4ykx=+是线段AB的中垂线，且1l与2l的交点为(),Q m n，则下列说法正确的是（）A.m为定值 B.n为定值 C.2222k且0k D.22t 即可判断选项 C 和 D.第9页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知，直线1l的斜率存在且不为 0，因为直线1l过点()0,t且与抛物线C：24xy=相交

24、于A、B两点，直线2l：4ykx=+是线段AB的中垂线，所以设直线1l：1,0yxt kk=+，联立方程214yxtkxy=+=，可得2440 xxtk+=，所以216160tk=+,121244xxkx xt+=，所以AB的中点坐标222,tk k+，由题意可知，点(),Q m n是AB的中点，所以2mk=，22ntk=+，因为(),Q m n在直线2l：4ykx=+上，所以4nkm=+，因为2mk=，所以242nkk=+=，所以n为定值，故选项 B正确；因为k是变量，所以m不是定值，故选项 A 错误；因为22ntk=+，2n=，所以222tk+=，即222tk=，又因为216160tk=+

25、，所以2216216 20kk+，即216320k，解得22k 或22k，222tk=，所以22122kt=，解得22t ，故选项 D 正确.故选：BD.第10页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 12.已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为()01pp，我们称将试验进行至事件A发生r次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，记作(),XNB r p，则下列说法正确的是（）A.若11,2XNB，则()12kP Xk=，1,2,3,k=B.若(),XNB r p，则()()1k rrP Xkpp=，,1,2,kr rr=+C 若(),XNB r p，(),YB n p，则()()P XnP Y

26、r=D.若(),XNB r p，则当k取不小于1rp的最小正整数时，()P Xk=最大【答案】ACD【解析】【分析】利用负二项分布的概念可判断 AB 选项；利用二项分布和负二项分布的概率公式可判断 C 选项；分析可得()()()()11P XkP XkP XkP Xk=+，结合负二项分布的概率公式可判断 D选项.【详解】对于 A选项，因为11,2XNB，则()11111111122222kkP Xk=个，A对；对于 B选项，因为(),XNB r p，则()()()11111C1C1k rk rrrrrkkP Xkppppp=，,1,2,kr rr=+，B 错；对于 C选项，因为从1,2,n中取

27、出()0rjjnr+个数12rjaaa+，根据,x 得到32,4x+，根据值域得到方程，检验后求出答案.【详解】由题意得0，当,x 时，32,4x+，由于()()sin 3f xx=+在区间,上的值域为2,12，故245424=或544204=，解得8=，满足5816 第13页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 解得516=，不满足08，舍去，综上，的值为8.故答案为：8 16.已知函数()2e,0,0 xxf xxx=，若函数()f x的图象在点()()()111,0A xf xx 处的两条切线相互平行且分别交y轴于M、N两点，则AMBN的取值范围为_.【答案】e,2+【解析】【分析】由

28、()()12fxfx=可得出21e2xx=，利用弦长公式得出22e2xAMBNx=，利用导数求出函数()e2xg xx=在()0,+上的值域，即可为所求.【详解】当0 x 时，()exf x=，()exfx=，则()22exfx=，因为函数()f x的图象在点()()()111,0A xf xx 处的两条切线相互平行，则()()12fxfx=，即212exx=，则21e2xx=，21114AMxx=+，2221 exBNx=+，所以，222111222214e21 exxAMxxxBNxxx+=+，令()e2xg xx=，其中0 x，则()()2e12xxgxx=，当01x时，()0gx时，(

29、)0gx，此时函数()g x在()1,+上单调递增，第14页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 所以，()()e12g xg=，因此，AMBN的取值范围是e,2+.故答案为：e,2+.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出2x、1x所满足的关系式，然后将AMBN转化为含2x的函数，转化为函数的值域问题求解.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列 na满足11a=，22a=，214363nnnaaan+=+.（1）证明：数列13nnaan+为等比数列；（

30、2）求数列 na通项公式.【答案】（1）证明见解析 （2）()131232nnn na=【解析】【分析】（1）整理题目中的等式，根据等比数列的定义，可得答案；（2）根据等比数列的通项公式，利用累加法，可得答案.【小问 1 详解】由214363nnnaaan+=+，则()21131339nnnnaanaan+=+，所以()2113133nnnnaanaan+=+，由11a=，22a=，则2132 1 340aa+=+=故数列13nnaan+为等比数列.【小问 2 详解】由（1）可知数列13nnaan+是以4为首项，以 3为公比，故1134 3nnnaan+=，114 33nnnaan+=，的 第

31、15页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 则0214 33 1aa=；324 33 2aa=；()214 331nnnaan=.由累加法可得：()()()()11141 33311312 321 322nnnnnn naa+=，由11a=，则()1312 312nnn na=.18.在ABC中，角,A B C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为()2223 74abc+.（1）求sinC；（2）若()3 7sin32BA=，求tan A.【答案】（1）3 78;（2）73.【解析】【分析】（1）借助面积公式与余弦定理以及同角三角函数的平方关系计算即可.（2）借助三角函数的相关知识求出

32、()()tan,tanBAAB+，利用配凑角及二倍角公式计算即可.【小问 1 详解】结合题意：ABC的面积为()22213 7sin24SabCabc=+,222sin3 72abcCab+=，结合余弦定理可得：sin3 7 cos0CC=，所以22sin3 7 cossincos1CCCC=+=，解得3 7sin81cos8CC=，所以3 7sin8C=.第16页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【小问 2 详解】因为()3 7sin032BA=，所以BA，易得A为锐角，所以()()231cos1 sin32BABA=，所以()()()sin3 7tancos31BABABA=，由上问可

33、知()3 7sinsin8CAB=+=,()1coscos8ABC+=,所以()()()sintan3 7cosABABAB+=+，()()()()()()3 73 7tantan31tan2tan3 7,1tantan3 71 3 731ABBAAABBAABBA+=+=+所以22tantan23 71tanAAA=,整理得23 7 tan2tan3 70AA+=,即()()7 tan33tan70AA+=，解得3 7tan7A=（舍去），或7tan3A=.19.如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，2CDDEBE=，BCCD，/BE CD，F是线段AD的中点.（1）若BABC

34、=，求证：EF平面ACD；（2）若1BE=，60ABC=，且平面ABC与平面ADE夹角的正切值为2 33，求线段AC的长.【答案】（1）证明见详解 （2）3【解析】第17页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）首先证BG 平面 ACD，通过证明四边形 BGFE 是平行四边形，得EFBG，进而得证；（2）利用空间向量法求解即可【小问 1 详解】取 AC的中点 G，连接 BG、FG，因为BABC=，所以BGAC,又因为 平面ABC平面BCDE，平面 ABC平面BCDE BC=，BCCD，所以 CD平面 ABC，BG 平面 ABC，所以CDBG，因为ACCDC=，,AC CD 平面AC

35、D,所以BG 平面 ACD，又因为F是线段AD的中点，所以FGCD且12FGCD=，BECD且12BECD=，所以FGBE且FGBE=，四边形 BGFE平行四边形，所以EFBG，所以EF平面ACD【小问 2 详解】如图建系 因为1BE=，又2CDDEBE=，所以22CDDEBE=,又因为BCCD，/BE CD，所以四边形 BCDE 是直角梯形，所以()2222213BCDECDBE=设ABm=，所以()3,0Am m，()0,3,2D，()0,0,1E，所以()3,1EAm m=，()0,3,1ED=，设平面 ADE 的一个法向量()1,nx y z=，是 第18页/共24页 学科网（北京）股

36、份有限公司 所以13031,3,330mxmyznmyz+=+=，平面 ABC的法向量()20,0,1n=，设平面 ABC 与平面 ADE 夹角为，所以2 3tan3=，2321cos73139m=+，所以32m=，所以33,022A，()0,3,0C，所以2233322AC=+=20.为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据 100 个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物M 疾病A 未患病 患病 合计 未服用 30 15 45 服用 45 10 55 合计 75 25 100 （1）依据0.1=的独立性检验，分析药物M对预防疾

37、病A的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取 1 只，用药物N进行治疗.已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34.若共选取 3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的 3 只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望.附：()()()()22()n adbcabcdacbd=+，nabcd=+0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】20.药物M对预防疾病A有效果.21.答案见解析.第19页/共24页 学科网（北京）股份有限公司【解析】

38、【分析】（1）根据公式算出卡方，与表格中的数据比较即可.（2）结合全概率公式先求概率，每名志愿者用药互不影响，且实验成功概率相同，X服从二项分布求分布列和数学期望即可【小问 1 详解】零假设为0H:药物M对预防疾病A无效果，根据列联表中的数据，经计算得到()()()()22()n adbcabcdacbd=+2100(30 10 15 45)75 25 45 55=1003.0302.70633=,根据小概率值0.1=的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为药物M对预防疾病A有效果.【小问 2 详解】设 A 表示药物N的治愈率，1B表示对未服用过药物M,2B表示服用过药物M由题，()1150

39、.625P B=，()2100.425P B=，且()10.5P A B=，()20.75P A B=，()()()()()1122P AP BP A BP BP A B=+0.6 0.50.4 0.750.6=+=.药物N的治愈率30.65P=，则33,5X B，所以()303280C5125P X=，()121332361C55125P X=，()212332542C55125P X=，()3333273C5125P X=，X 的分布列如下表所示 X 0 1 2 3 第20页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 P 8125 36125 54125 27125()836542790123

40、1251251251255E X=+=21.在直角坐标系xOy中，动点(),P x y与定点()1,0F的距离和P到定直线l：4x=的距离的比是常数12，记动点P的轨迹为W.（1）求W的方程；（2）过动点()0,Tt（0t,借助2ATTH=及韦达定理，求出,M N的坐标，表示并化简直线MN斜率，利用基本不等式计算即可.【小问 1 详解】结合题意：设点P到定直线l：4x=的距离为d，则12PFd=，所以()221142xyx+=，化简得22143xy+=.故W的方程为22143xy+=.【小问 2 详解】由题意可知：直线AM的斜率存在，故可设直线AM的方程为(),0ykxtk=+，设()()11

41、22,A x yM xy,所以()11,B xy，,0tHk，因为2ATTH=，所以()11,2,tx tytk=，且()0,Tt在椭圆内部.第21页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 所以22,3,3,ttAtBtkk 联立2234120ykxtxy=+=，()2223484120kxktxt+=，所以122228,34tktxxxkk+=+=+所以()22216634k ttxkk=+，22212334k ttyk=+，即点()2222166123,3434k ttk ttMkkk+,因为2,3tBtk，()0,Tt，所以422BTtkktk=，所以直线BT的方程可设为2ykxt=+，

42、设()33,N xy 联立22234120ykxtxy=+=，()2223 16164120kxktxt+=，所以()2133322216166,316316tktk ttxxxxkkkk+=+=+，()2233221664815223 163 16k ttk ttykxtktkkk+=+=+=+，故()22221664815,3 163 16k ttk ttNkkk+,所以直线MN斜率为()()224222232224242322248151233842885414454316342,166166192721927231634MNk ttk ttyykkkkkkkkk ttk ttxxkkk

43、kkkkk+=+结合题意可知0k，即()22238333222 2644483MNkkkkkkkkk+=+=+=+，当且仅当324kk=，即64k=时，直线MN斜率取得最小值6.故直线MN斜率不小于6.第22页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 22.已知函数()4lnf xxaxx=+（Ra），()fx为()f x的导函数，()()g xfx=.（1）若12a=，求()yf x=在31,e上的最大值；（2）设()()11,P x g x，()()22,Q x g x，其中211xx.若直线PQ的斜率为k，且()()122gxgxk+，求实数a的取值范围.【答案】（1）1 （2）12,)+

44、【解析】【分析】（1）若12a=，求得()3412ln12fxxx=，得到()2(1)(1)12xxxgxx+=，结合()gx的符号，得到()0g x，即()0fx，进而求得函数()f x的最大值；（2）根据题意，转化为任意12,1,)x x+，都有()()121212()()2gxgxg xg xxx+对于(1,)t+恒成立，记()314(1)(2ln)tta ttt=+，求得()22212(1)tattt+=，分类讨论，求得函数的函数()t与最值，即可求解.【小问 1 详解】解：若12a=，可得()412 lnf xxxx=，则()3412ln12fxxx=，即()()3412ln12g

45、xfxxx=，可得()2212(1)(1)1212xxxgxxxx+=，第23页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 当31,ex时，()0gx，所以()yg x=在31,e上单调递增，又由3(e)4e 160g=，所以()0g x，即()0fx，所以函数()yf x=在31,e上单调递减，所以()()max11f xf=，即函数()f x的最大值为1.【小问 2 详解】解：由()()()()1122,P x g xQ xg x，可得1212()()g xg xkxx=，因为()()122gxgxk+，所以对任意12,1,)x x+且21xx，都有()()121212()()2gxgxg x

46、g xxx+，因为()4lnf xxaxx=+，可得()()34lng xfxxaxa=+=+，则()212agxxx=+，对任意12,1,)x x+且21xx，则()()()()()()1212122xxgxgxg xg x+()()2233121211221212122 4ln4lnaaxxxxxaxxaxxx=+3322121121212212441212()2 lnxxxxxx xx xaaxxx=+332214(331)(2ln)0 x ttta ttt=+对于21,),(1,)xt+恒成立，由332332224(331)(1)(1)x tttx tt+=则314(1)(2ln)0t

47、a ttt+对于(1,)t+恒成立，记()314(1)(2ln)tta ttt=+，可得()222222(1)1212(1)(1)ttattattt+=+=，若12a ，则()0t，()t在(1,)+单调递增，所以()()10t=，符合题意；第24页/共24页 学科网（北京）股份有限公司 若12a ，则()22()()121212(1)aattttt+=，当(1,)12at时，()0t，()t在(1,)+单调递增，所以，当(1,)12at时，()()10t=，不符合题意（舍去），综上可得，12a ，即实数a的取值范围为 12,)+【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别