湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期期末统一考试数学试题含答案.pdf

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1、湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期期末统一考试数学试题书书书?高三数学?参考答案?第?页?共?页?届高三统一考试试题数学参考答案?解析?本题考查集合的交集?考查数学运算的核心素养?因为?所以?所以?解析?本题考查三角函数的周期?考查数学运算的核心素养?的最小正周期均为?但在?上不单调递减?的最小正周期为?且在?上单调递减?的最小正周期为?解析?本题考查排列组合的实际应用?考查应用意识与逻辑推理的核心素养?因为第一站不去株洲?所以第一站可以从长沙?衡阳?郴州?益阳这?个城市中选择?个?共有?种选择?所以该旅游团四站的城市安排共有?种?解析?本题考查复数方程的求解与复数的模?考查数学运算

2、的核心素养?由?得?因为?所以?或?所以?的值为槡?或?解析?本题考查对数运算的实际应用?考查应用意识与逻辑推理的核心素养?当?时?则?则?所以?等星的亮度是?等星亮度的?倍?解析?本题考查抛物线的定义的应用?考查直观想象与逻辑推理的核心素养?因为?的准线方程为?所以?因为?所以?槡?当且仅当?在线段?上时?等号成立?所以?的最小值为?解析?本题考查导数的几何意义?考查逻辑推理与数学运算的核心素养?由?得?设?则?所以?为增函数?因为?所以?则?所以曲线?在点?处的切线方程为?令?得?令?得?则所求三角形的面积为?解析?本题考查正棱台的体积与二面角?考查空间想象能力与运算求解能力?如图?取?的

3、中点?取?的中点?连接?则?所以二面角?的平面角为?则?设上底面与下底面的中心分别为#QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=#?高三数学?参考答案?第?页?共?页?连接?则?槡?槡?槡?槡?过点?作?垂足为?则?则?槡?槡?槡?槡?则?故该三棱台的体积为?槡?槡?槡?槡?解析?本题考查直线与圆的位置关系?考查数学运算的核心素养?依题意可设圆?的圆心坐标为?则?槡?槡?解得?或?所以圆?的圆心坐标为?或?解析?本题考查立体几何初步中的点?线?面的位置关系?考查空间想象能力?如图?交线?的位置关系可能是重合?由三棱锥的三个侧棱相交于

4、一点?可知交线?的位置关系可能是相交于一点?由三棱柱的三个侧棱两两平行?可知交线?的位置关系可能是两两平行?若有两条交线互相平行?则可证它们均与第三条直线平行?所以交线?的位置关系不可能是恰有两条交线平行?解析?本题考查平面向量的综合与基本不等式?考查逻辑推理与直观想象的核心素养?因为?所以?设?则?解得?则?槡?当且仅当?时?等号成立?正确?因为?所以?所以?槡?槡?槡?当且仅当?时?等号成立?所以?的最小值为槡?正确?如图?过点?作?垂足为?则?在?上的投影向量为?当?在?上的投影向量为?时?因为?所以?得?则?#QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgA

5、AMsAAASANABAA=#?高三数学?参考答案?第?页?共?页?错误?正确?解析?本题考查函数的奇偶性与抽象函数?考查数学抽象与逻辑推理的核心素养?由条件可知?因为?所以?且?可得?所以?均正确?取?槡?则?槡?槡?此时?满足?是定义在?上的奇函数?所以?未必成立?解析?本题考查三角恒等变换?考查数学运算的核心素养?因为?所以?依题意得?槡?所以?解得?解析?本题考查椭圆的性质?考查应用意识与数学运算的核心素养?因为?槡?槡?所以?因为长轴长为?所以?故?解析?本题考查全概率公式的实际应用?考查应用意识与数学运算的核心素养?若从该中学三个年级的学生中随机选取?名学生?则这名学生阅读完?红楼

6、梦?的概率为?解得?因为该中学高三的学生阅读完?红楼梦?的概率不低于高一的学生阅读完?红楼梦?的概率?所以?故?的取值范围是?解析?本题考查数列与不等式的交汇?考查逻辑推理的核心素养与分类讨论的数学思想?当?时?当?时?当?时?槡?槡?因为?槡?槡?槡?槡?所以?槡?槡?又?槡?槡?所以?#QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=#?高三数学?参考答案?第?页?共?页?故数列?的前?项和为?解?依题意可得?分则?分?的可能取值为?分所以?的分布列为?分?因为?所以?分依题意可得?分所以?分因为?所以?又?为正整数?所以?的最大值为

7、?分?证明?在?中?分在?中?分因为?平分?所以?分又?所以?分所以?与?相等或互补?分?解?因为?所以?与?互补?分在?中?分在?中?分所以?又?所以?分则?槡?槡?分所以?的面积?槡?分故?内切圆的半径?槡?槡?槡槡?分?证明?因为?所以?分#QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=#?高三数学?参考答案?第?页?共?页?所以?分所以?是公差为?的等差数列?分?因为?所以?由?知?则?分设?则?分所以?分则?分所以?分?分?解?以?为坐标原点?建立如图所示的空间直角坐标系?则?分所以?分设?则?分设平面?的法向量为?则?分令?

8、得?分依题意可得?解得?分所以?槡?槡?分?因为?分所以?分设直线?与平面?所成的角为?则?槡?槡?#QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=#?高三数学?参考答案?第?页?共?页?槡?所以直线?与平面?所成角的正弦值为槡?分?解?因为?分所以根据双曲线的定义可知点?的轨迹为以?为焦点?实轴长为?的双曲线的左支?分由?得?分所以?的方程为?分?注?的方程也可以写为?由题意可设?的方程为?分设?联立?得?分则?分直线?直线?联立?与?得?分?分?分解得?故点?在定直线?上?分因为圆?的圆心到直线?的距离为?所以?的最小值为?槡?分?

9、证明?设函数?则?当?时?所以?为增函数?所以?分?分因为?所以?当?时?分#QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=#?高三数学?参考答案?第?页?共?页?所以?所以?在?上为增函数?故?即当?时?对?恒成立?分?解?分证明如下?不妨设?由?得?分所以要证明?只需证?分即证?即证?分设函数?则?方法一?设函数?则?当?时?当?时?分所以?所以?分易证?所以?所以?在?上单调递减?分又?所以?则?从而?得证?分?方法二?设函数?则?当?时?当?时?分所以?所以?所以?因为此连不等式的两个等号的取等条件不同?所以?分从而?所以?所以?在?上单调递减?分又?所以?则?从而?得证?分#QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=#