山西省太原市2023-2024学年高三上学期期末学业诊断数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司20232024 学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷（考试时间：上午（考试时间：上午 8:0010:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分。一、选择题（本题共分。一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2|20Ax xx=-，|22xBx=，则AB=I（）A.0,)+B.0,1)C.(1,2D.

2、2,)+2.已知复数z满足(1i)2iz-=，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A.(1,1)B.(1,1)-C.(1,1)-D.(1,1)-3.圆22420 xyxy+-+=的圆心坐标为（）A.(2,1)-B.(2,1)-C.(4,2)-D.(4,2)-4.第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等 4 名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（）A.18B.24C.32D.365.已知a，0,2pb，且tan3a=，t

3、an2b=，则ab+=（）A.512pB.23pC.34pD.56p6.如图是函数()f x的部分图象，则()f x的解析式为（）A.sin6()22xxxf x-=-B.cos6()22xxxf x-=-C.sin6()22xxxf x-=-D.cos6()22xxxf x-=-7.已知椭圆22:12xCy+=的左、右焦点分别为1F，2F，点M为C上异于长轴端点的任意一点，12FMF山西省太原市2023-2024学年高三上学期期末学业诊断数学试题学科网（北京）股份有限公司的角平分线交线段12F F于点N，则11MFNF=（）A.2B.22C.105D.1028.若实数a，b，c满足3loga

4、p=，lnbp=，ln2cp=，则（）A.abcB.acbC.bacD.bca二、选择题（本题共二、选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分）9.已知数列 na中，11a=，*121nnaan+=+N，数列 na的前n项和为nS，则下列结论正确的是（）A.na是等比数列B.415a=C.101000aD.2nnSan=-10.已知函数()2sinsin6f xxx

5、p=+，则下列结论正确的是（）A.32ffpp=B.()f x的图象关于点,06p对称C.()f x在区间5,12 12pp-上单调递增D.将()f x的图象先向左平移3p个单位长度，再向下平移32个单位长度后得到的函数图象关于原点对称11.已知函数22|ln|,0e()44,eeexxf xxxx=-+，若方程()f xa=有四个不同的实数解1x，2x，3x，4x，且满足1234xxxx，则下列结论正确的是（）A.01aB.1222 2,3)xx+C.123414e2,5eexxxx+D.2212343e,4ex x x x 学科网（北京）股份有限公司12.在棱长为 1 的正方体1111AB

6、CDA BC D-中，E为线段1BC的中点，点P和Q分别满足111D PDCl=uuuu ruuuuu r，11DQD Bm=uuuu ruuuu r，其中l，0,1m，则下列结论正确的是（）A.当12l=时，三棱锥QPDE-的体积为定值B.当12m=时，四棱锥QABCD-的外接球的表面积是94pC.当1l=时，不存在m使得11PQB DD.PQEQ+的最小值为5 26三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.双曲线2214yx-=的渐近线方程为_.14.4211(12)xx+-的展开式中常数项为_.15.已知非零向量ar，br夹

7、角为23p，则|2|abb+rrr的最小值为_.16.已知实数l，k分别满足2eell=，3(ln1)kke-=，其中e是自然对数的底数，则kl=_.四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题 10 分）已知在等差数列 na中，23a=，833aa=，nS是数列 nb的前n项和，且满足*231nnSbn=-N.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）设*Nnnnca bn=，求数列 nc的前n项和nT.18.（本小题 12 分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，

8、C的对边，点D在线段BC上，BDDCl=uuu ruuur，2AD=，ABC的面积为3 3.（1）当2l=，且60ADB=时，求B；（2）当1l=，且2228bc+=时，求ABC的周长.19.（本小题 12 分）“阳马”是我国古代数学名著九章算术中商功章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥SABCD-中，四边形ABCD是边长为 3 的正方形，SAAB，学科网（北京）股份有限公司SCBC，3 2SASC=.（1）证明：四棱锥SABCD-是一个“阳马”；（2）已知点E在线段AC上，且AEECl=uuu ruuu r，若二面角ASED-的余弦值为3015-，求

9、直线SE与底面ABCD所成角的正切值.20.（本小题 12 分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第 1 天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第 1 天选择了米饭套餐，那么第 2 天选择米饭套餐的概率为13；如果他第 1 天选择了面食套餐，那么第 2 天选择米饭套餐的概率为23.已知他开学第1 天中午选择米饭套餐的概率为23.（1）求该同学开学第 2 天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第*n nN天选择米饭套餐的概率为nP，（i）证明：12nP-为等比数列；（ii）证明：当2n 时，59nP 的准线与x轴相

10、交于点D，过抛物线C焦点F的直线与C相交于A，B两点，DAB面积的最小值为 4.（1）求抛物线C的方程；（2）若过点(5,2)E的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点P，使得对任意的直线l，都有PMPN.若存在，求出点P的坐标；若不存在，则说明理由.22.（本小题 12 分）已知函数()ln(1)f xxxkxk=-+，1k.（1）当1k=时，求()f x的最小值；（2）当(1,)x+时，不等式()0f x 恒成立，求实数k取得的最大整数值.学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷参考答案及评

11、分标准参考答案及评分标准一.单项选择题：CBABCCAA二.多项选择题：9.BD10.AC11.ACD12.ABD三.填空题：13.2yx=14.2515.316.3e四.解答题：17.解：（1）设 na的公差为d，由题意得1113,732,adadad+=+=+1*1,21N2,naannd=-=；当1n=时，则1112231Sbb=-，11b=，当2n 时，则11231nnSb-=-，112233nnnnSSbb-=-，13nnbb-=，nb是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，1*3Nnnbn-=；（2）由（1）得1*(21)3Nnnnnca bnn-=-，22112311 1 3 3

12、5 3(23)3(21)3nnnnnTcccccnn-=+=+-+-LL，23131 33 35 3(23)3(21)3nnnTnn-=+-+-L，得2312123333(21)3nnnTn-=+-L，*(1)31NnnTnn=-+.18.解：（1）由题意得13sin3 322ABCSa ADADBaD=，6a=Q2BDDC=uuu ruuur，4BD=，2CD=，2222cos12ABADBDAD BDADB=+-=，2 3AB=，2223cos22ABBDADBAB BD+-=，0180BQ，30B=；（2）由题意得BDCD=，1()2ADABAC=+uuuruuu ruuur，22222

13、2111()22cos4444ADABACABACAB ACcbbcBAC=+=+=+=uuuruuu ruuuruuu ruuuruuu r uuur，Q2228bc+=，cos6bcBAC=-，学科网（北京）股份有限公司2222cos40abcbcBAC=+-=，2 10a=，Q1sin3 32ABCSbcBACD=，sin6 3bcBAC=，12bc=，222()252bcbcbc+=+=，2 13bc+=，2(1013)abc+=+，ABC的周长为2(1013)+.19.（1）证明：Q四边形ABCD是正方形，ABAD，Q SAAB，SAADA=I，AB平面SAD，SDAB，同理可证SD

14、BC，ABBCB=QI，SD平面ABCD，四棱锥SABCD-是一个“阳马”；（2）由（1）得SD 平面ABCD，SDAD，Q3 2SA=，3AB=，3SD=，以点D为原点，DA，DC，DS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(0,0,0)D，(3,0,0)A，(3,3,0)B，(0,3,0)C，(0,0,3)S，Q AEECl=，33,011Elll+，设111,mx y z=r是平面SAE的一个法向量，则,mACmSAuuurruurr1111330,330,xyxz-+=-=令11z=，则111,1,xy=，(1,1,1)m=r，设222,nxyz=r

15、是平面SDE的一个法向量，则,nSDnDEuuu rruuurr22230,330,11zxylll=+=+令21y=-，则22,0,xzl=，(,1,0)nl=-r，学科网（北京）股份有限公司2130cos,|1531m nm nm nll-=-+r rr rrr，13l=，9 3,04 4E，22933 10444DE=+=，Q SD 平面ABCD，直线SE与底面ABCD所成角的正切值为2 105SDDE=.20.解：（1）设iA=“第i天选择米饭套餐”(1,2)i=，则iA=“第i天选择面食套餐”，根据题意123P A=，113P A=，号211|3P AA=，212|3P AA=，由全

16、概率公式，得 2121121|P AP A P AAP A P AA=+2112433339=+=；（2）（i）设nA=“第n天选择米饭套餐”(1,2,)n=L，则nnPP A=，1nnP AP=-，11|3nnP AA+=，12|3nnP AA+=，由全概率公式，得 11112|33nnnnnnnnP AP AP AAP AP AAP+=+=-+，即11233nnPP+=-+，1111232nnPP+-=-，Q11126P-=，12nP-是以16为首项，13-为公比的等比数列；（ii）由（i）可得1*111N263nnPn-=+-，当n为大于 1 的奇数时，12111111145263263

17、279nnP-=+-+=；当n为正偶数时，11111526329nnP-=-.21.解：（1）由题意得,02pF，,02pD-，设直线AB的方程为(R)2pxtyt=+，11,A x y，22,B xy，学科网（北京）股份有限公司由2,22pxtyypx=+=得2220ytpyp-=，122yytp+=，212y yp=-，2222121212441yyyyy ypt-=+-=+，DAB面积222121|12DABSDFyyptpD=-=+，当0t=时，DABSD取最小值2p，2p=，抛物线C的方程为24yx=；（2）由（1）得抛物线2:4C yx=，假设存在定点00,P xy，设直线l的方程

18、为5(2)()xm ymR-=-，33,M xy，44,N xy，则30yy，40yy，由25(2),4xm yyx-=-=得244(25)0ymym-+-=，344yym+=，344(25)y ym=-，PMPNQ，0PM PN=uuuu r uuur，22223040304030403040116PM PNxxxxyyyyyyyyyyyy=-+-=-+-uuuu r uuurQ，2034034160yyyyy y+=，2004240ymy+-=，当020y+=时，即002,1yx=-=时，PMPN恒成立，存在定点(1,2)P-.22.解：（1）当1k=时，()ln1f xxx=+，(0,)

19、x+，则()ln1fxx=+，令()0fx，则10 xe，则1xe，()f x在10,e上单调递减，在1,e+上单调递增，()f x在1xe=处取得最小值111fee=-；（2）当1k=时，则()ln110f xxx=+，显然成立；学科网（北京）股份有限公司当1k 时，原不等式等价于ln1xxxkx+，则2ln2()(1)xxg xx-=-，令()ln2h xxx=-，1x，则1()0 xh xx-=，()h x在(1,)+上单调递增，Q(3)1 ln30h=-，0(3,4)x$，00h x=，即00ln20 xx-=，002lnxx-=，当01,xx时，()0h x，()0g x，()0g x，()g x在0,x+上单调递增，()g x在0 xx=处取得最小值为000000ln1xxxg xxx+=-，00kg xx=，且0(3,4)x，综上，实数k的最大整数值为 3.注：以上各题其它解法请酌情赋分.