2024年高三数学极光杯线上测试（一）含答案.pdf

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1、数学试题第 1 页（共 4 页）2024 年“极光杯”线上测试（一）数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1)60cos(A21B23C21D232设集合6,5,4,3,2A，12,2,1aaB，若7|xxBAN，则BAA3,2

2、B4,3C5,4D6,53若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是A)101,0(B)101,101(C)51,0(D)51,51(4设平面向量a，b满足2|a，3|b，4|ba，则ba,cosA31B41C31D415对于各数位均不为0的三位数abc，若两位数ab和bc均为完全平方数，则称abc具有“S性质”，则具有“S性质”的三位数的个数为A2B3C4D56设7.0log2a，6.0log3b，2.0log3.0c，则AcbaBcabCbacDabc7在二面角l中，点A，B，C，lD，lAB，且AB与半平面，所成的角相等，则“BDAC”是“BDCACD”的A充要条件B充分

3、不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件#QQABJQIAogiAAgAAAAhCQwWICEKQkBEAACoOgAAAoAAASBFABAA=#数学试题第2页（共4页）a8已知凸四边形ABCD内接于圆O，CBDABD2，362CDAD，则ACBD的最大值为A26B332C524D533二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9设双曲线13:22yxC，则AC的实轴长为2BC的焦距为4CC的离心率为2DC的渐近线方程为03 yx10设函数xxxxfln32)(，记)(xf的极小值点为

4、1x，极大值点为2x，则A321xxB21xxC2ln3)()(21xfxfD)()(21xfxf11已知随机变量X服从正态分布),(2N，)43()32(XPXP记X的密度函数为)(xf，0h，则A21)3(XPB21)9(2XPC)3()33(fhhXPD)3()33(fhXhP12已知实数x，y满足2|yxyx，则A11yxB22yxC2122yxD1133yx三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设22)i 21()i2(z，则|i 8|z三生三世14若某圆锥的侧面积为底面积的5倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为三生三世15设O为坐标原点，椭圆)0(12222bab

5、yax的左、右顶点分别为1A，2A，点P为椭圆上一点，直线1PA的斜率为31，PO的斜率为2，则2PA的斜率为三生三世16在8)1(ax的展开式中，若3x的系数为56，则a三生三世；若展开式中有且仅有4x项的系数最大，则a的取值范围是三生三世#QQABJQIAogiAAgAAAAhCQwWICEKQkBEAACoOgAAAoAAASBFABAA=#数学试题第3页（共4页）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知直线6x和32x是函数)0,0)(sin()(xxf图像两条相邻的对称轴（1）求)(xf的解析式和单调区间；（2）保持)(xf图像上

6、各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的)0(1aa倍，得到函数)(xgy的图像若)(xg在区间),0(恰有两个极值点，求a的取值范围18（12分）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为X和Y在治疗过程中，用指标I衡量患者是否受益：若I，则认为指标I正常；若I，则认为指标I偏高；若I，则认为指标I偏低若治疗后患者的指标I正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为6.0（1）求)(YE和)(YD

7、；（2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息设采用新治疗方案治疗第i位的患者治疗后指标I的值为ix，1i，2，50，定义函数：iiiixxxxf,1,0,1)(（i）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由|)(|)(|)(|5021xfxfxfA；2 1)()(1)()(1)()(50502211xfxfxfxfxfxfB；（ii）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（i）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策#QQABJQIAogiAAgAAAAhCQwWICEKQkBEAACoOgAAAoAAASBFABAA=#数学试题第 4

8、 页（共 4 页）19（12 分）如图，五面体CDEFAB 的底面CDEF 是矩形，AB底面CDEF，AB 到底面CDEF 的距离为 1，2EBDEBDABFACFAC（1）证明：平面ABCD平面 ABEF；（2）设平面ACF平面lBDE （i）证明：l底面CDEF；（ii）求l到底面CDEF的距离20（12分）已知等比数列na的公比1q，1a，2a，13a成公差为d的等差数列（1）求dq 的最小值；（2）当11a取最小值时，求集合|NnnaaA中所有元素之和21（12分）设O为坐标原点，A为抛物线xy42上异于O的一点，)4,1(B，)0,4(C（1）求|AB的最小值；（2）求ACBtan的

9、取值范围；（3）证明：ACOACB22（12分）设函数xxxfe)(，xxxgcossinee)(（1）求曲线)(xfy 平行于直线2 xy的切线；（2）讨论)(xg的单调性#QQABJQIAogiAAgAAAAhCQwWICEKQkBEAACoOgAAAoAAASBFABAA=#2024 年测试（一）参考答案 第 1 页（共 4 页）2024 年“极光杯”线上测试（一）数学参考答案一、选择题1A2C3D4B5C6A7A8D二、选择题9AD10ACD11BD12ABD三、填空题13101421521161；)45,54()510,210(四、解答题17解：（1）由题设条件知)(xf的最小正周期

10、)632(22T，所以2又因为1)3sin()6(f，0，所以6，)62sin()(xxf令226222kxk，得)(xf的单调递增区间为)(6,3Zkkk，令2326222kxk，得)(xf的单调递减区间为)(32,6Zkkk（2）由题可知)62sin()(axxg，所以当),0(x时，)62,6(62aax若)(xg在区间),0(恰有两个极值点，则xysin在区间)62,6(a恰有两个极值点，因此256223a，解得a的取值范围是67,32(#QQABJQIAogiAAgAAAAhCQwWICEKQkBEAACoOgAAAoAAASBFABAA=#2024年测试（一）参考答案 第2页（共4

11、页）18解：（1）由题设知Y服从二项分布)6.0,50(B，所以306.050)(YE，124.06.050)(YD（2）（i）统计量A反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下：若患者i受益于新治疗方案，则其指标I的值ix满足0)(ixf，否则1|)(|ixf，会被统计量A计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量A的数值加1统计量B反映了未受益于新治疗方案且指标I偏高的患者数量，理由如下：若患者i接受新治疗方案后指标I偏低或正常，则其指标I的值ix满足0 1)()(iixfxf，若指标I偏高，则2 1)()(iixfxf，12 1)()(iixfxf，会被统计量B计入，且每位未受益于

12、新治疗方案且指标I偏高的患者恰使得统计量B的数值加1（ii）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中X的观测值大于Y的观测值由（i）知Y的观测值Ay50，因此，当3050A，即20A时，认为新治疗方案优于标准治疗方案；当3050A，即20A时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当；当3050A，即20A时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案19解：（1）取CF中点M，DE中点N，连结AM，BN，MN因为底面CDEF是矩形，/AB底面CDEF，平面ABCD底面CDCDEF，所以EFCDAB/，而CDMN/，所以A，B，M，N共面由题设知ACF，BDE都是正三角形，所以AMCF，BNDE因为底面

13、CDEF是矩形，所以DECF/，则BNCF，CF平面ABMN记A在MN，CD，EF上的射影分别为1A，2A，3A，则3AACF，且3AAMN，所以11AA而13121MFMCAAAA，所以32AAA是以A为顶点的等腰直角三角形，32AAAA又因为EFAA2，所以CDAA2，从而2AA平面ABCD而2AA平面ABEF，所以平面ABCD平面ABEF#QQABJQIAogiAAgAAAAhCQwWICEKQkBEAACoOgAAAoAAASBFABAA=#2024 年测试（一）参考答案 第 3 页（共 4 页）（2）（i）因为DECF/，所以/CF平面BDE由线面平行的性质可知，lCF/，其中 l平

14、面ACF平面BDE而 l底面CDEF，所以/l底面CDEF（ii）由（1）知A，B，M，N共面，所以AM和BN有交点，记为G所以lG，l到底面CDEF的距离等于G到底面CDEF的距离因为3 BNAM，所以四边形ABNM是等腰梯形，BNMAMN，因此112MAAAMNd，其中d为G到底面CDEF的距离由几何关系可知22121AAMAMA，22221MAABMN，代入计算得221d20解：（1）由题设知23121aaa，即1)1(21qa；11)1(112qqaaad因此当1q时，31111qqdq，当111qq，即2q时等号成立所以dq的最小值为3（2）21010111)1(qqqaa，令1)(

15、5qqqf，1q24)1()54()(qqqqf，令0)(qf得450q，)(qf在)45,1(单调递减，在),45(单调递增，因此)(qf的最小值点是45，)(211qfa取最小值时，45q此时161a，202a，253a3a不是偶数，所以Aa 4，Aan)5(n所以当11a取最小值时，A中所有元素之和为6125201621解：（1）设)4,4(2ttA，0t，则17322416)44()14(|242222tttttAB设17322416)(24ttttf，)22)(12(16)234(16)(23ttttttf因为0815)41(22222ttt，所以令0)(tf得210t，)(tf在)

16、21,(单调递减，在),21(单调递增，故)(tf的最小值为8)21(f，|AB的最小值为22#QQABJQIAogiAAgAAAAhCQwWICEKQkBEAACoOgAAAoAAASBFABAA=#2024年测试（一）参考答案 第4页（共4页）（2）由题可知34tanOCB，21,0(1|tan2ttACO当0t时，ACOOCBACB，所以ACOACOACBtan43tan34tan该式是关于ACOtan的减函数，所以34tan21ACB；当0t时，ACOOCBACB，所以ACOACOACBtan43tan34tan该式是关于ACOtan的增函数，所以211tan34ACB；综上，ACBt

17、an的取值范围是211,34()34,21（3）由（2）知，ACBACOtan21tan，且900ACO，所以ACBACO22解：（1）xxxfe1)(，则曲线)(xfy 在点)(,(tft处切线l的斜率为tte1若l平行于直线2 xy，则1e1tt，即1ett设ttt e)(，01e)(tt，所以)(t在),(单调递增而1)0(，所以方程1)(t有唯一解0t故曲线)(xfy 平行于直线2 xy的切线只有一条，即在)0,0(处的切线xy（2）因为)2()(xgxg，所以)(xg的一个周期是2)(sin)(cosee)esinecos(sinecose)(cossincossinsincosco

18、ssinxfxfxxxxxgxxxxxxxx，而0ecossinxx，因此)(xg的正负与)(sin)(cosxfxf的正负一致由（1）知当1x时，0)(xf，则)(xf单调递增，所以)(sin)(cosxfxf等价于xxsincos，)(sin)(cosxfxf等价于xxsincos由xysin和xycos的图像知，当)(42,432(Zkkkx时，xxsincos；当)(452,42(Zkkkx时，xxsincos故)(xg在区间)(42,432(Zkkk单调递增，在)(452,42(Zkkk单调递减#QQABJQIAogiAAgAAAAhCQwWICEKQkBEAACoOgAAAoAAASBFABAA=#