【数学】等比数列的概念（1）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、第四章 数列4.3 等比数列等比数列4.3.1 等比数列的概念等比数列的概念(1)从第从第2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的差差都等于同一个常数的数列都等于同一个常数的数列课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）温故引新什么是等差数列？你能说出等差数列的定义吗？类比等差数列的定义，从运算的角度，你能提出类比等差数列的定义，从运算的角度，你能提出一个新的概念吗？一个新的概念吗？从从第第2项项起起，每每一一项项与与它它的的前前一一项项的的和和、积积、商商都都等等于于同同一一个个常常数的数列数的数列请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？请看以下几个数列，思考它

2、们有何共同特征？课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列：你你发现上述数上述数列有什么列有什么规律律？请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）2.庄子天下中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：，木棰长度第一天取半第二天取半第三天取半第四天取半.第 天取半n设木棰长度为1你你发现上述数上述数列有什么列有什么规律律？请看以下几个数列，思考它

3、们有何共同特征？请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）细细菌菌个数个数第一次第一次第二次第二次第三次第三次24第第 n 次次分裂次数分裂次数82n3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：你你发现上述数上述数列有什么列有什么规律律？请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？4.某人存入银行某人存入银行a元，存期为元，存期为5年，年利率为年，年利率为r，那么按照，那么按照复利复利，他，他5年内每年年

4、内每年末得到的末得到的本利和本利和分别是分别是 a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5.课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）本利和：本金+利息第一年利息转到第二年作本金请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？请看以下几个数列，思考它们有何共同特征？课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）共同特点共同特点:从第二项起，每一项与前一项的从第二项起，每一项与前一项的比比都等于都等于同一个常数同一个常数.如果用如果用an表示数列表示数列，那么有，那么有 ，取值规律取值规律:从第从第 2 项起项起,每一项每一项与它的前一项的比

5、都等于与它的前一项的比都等于 9a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5.课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）如果一个数列从第如果一个数列从第_项起，项起，每一项与它的前一项的每一项与它的前一项的_都等都等于于_一个常数，那么这个数列一个常数，那么这个数列就叫做就叫做_.常数叫做等常数叫做等_数列的数列的_等比数列二二比比同同等比数列等比数列公比公比等差数列 如果一个数列从第如果一个数列从第二二项起，项起，每一项与它的前一项的每一项与它的前一项的差差都等都等于于同同一个常数一个常数,那么这个数列那么这个数列就叫做就叫做等差数列等差数列.

6、常数叫做等常数叫做等差差数列的数列的公差公差.公差公差通常用字母通常用字母d表示表示公比公比通常用字母通常用字母q表示表示(q0)比比探究1：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？定义符号1.判断下列数列是否是等比数列判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比如果是，写出它的公比.课本课本P31课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）(3)5,5,5,5,5,5,2.2.观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，不是观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，不是的话请说明理由的话请说

7、明理由:(4)0,1,2,4,8,(5)2,0,2,0,2,是是,公比是公比是 2 2是是,公比是公比是 -2-2是是,公比是公比是 1 1不一定不一定,分类讨论分类讨论不是不是,分母不能为分母不能为 0 0不是不是,公比不能是公比不能是 0 0课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）思考思考1：等差数列的项、公差均可以是等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢吗？等比数列呢？思考思考2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？常数列是等差数列吗？是等比数列吗？思考思考3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？常数列一定是等差数列，公差为

8、常数列一定是等差数列，公差为0；非零非零常数列是等比数列，公比为常数列是等比数列，公比为1.非零常数列非零常数列既是等差数列又是等比数列既是等差数列又是等比数列,公差为公差为0,公比为公比为1.等差数列的项、公差均可以是等差数列的项、公差均可以是0,但等比数列的项和公比均但等比数列的项和公比均不不可以是可以是0课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）等差中项 等比中项 如果三个数如果三个数a,A,b组成组成等等差数列差数列，那么，那么A叫做叫做a和和b的的等差中项等差中项.如果三个数如果三个数a,G,b组成组成等等比数列比数列，那么那么G叫做叫做a和和b的的等比中项等比中项.

9、定义a,A,b成等差数列a,G,b成等比数列关系注意：注意：若若a,b同号同号,则有则有两个两个等比中项等比中项;若若a,b异号异号,则则无无等比中项等比中项.探究2：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？等差数列 等比数列 不不完完全全归归纳纳法法课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）累乘法累加法等差数列 等比数列 探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数

10、列的概念（1）等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：思考：思考：已知等比数列的第已知等比数列的第m项项am，公比为，公比为q，求通项公式求通项公式an.等比数列的等比数列的任意一任意一项项都可以由该数列的都可以由该数列的某一项某一项和和公比公比表示表示.课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）指数型指数型函数函数思考思考1：类比指数函数的性质，判断公比q0的等比数列的单调性？探究4：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？qq10q0a10q=1a1课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）从图象上看，表示等比数列an 中的各项的点是指

11、数型函数 图象上一群孤立的点.思考思考2：公比公比q0且且q1的等比数列的图象有什么特点？的等比数列的图象有什么特点？思考思考3：公比公比q0时时等比数列的项有什么特点等比数列的项有什么特点？偶数项的符号与奇数项符号相反课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）解法解法1 1：的两边分别除以的两边，得2=14解得 =12或 121=384,1=384,基本量思想课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）解法2：所以课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）变式练习：若若48和和12分别是第分别是第4项和第项和第8项，求第项，求第6项项.注意：注意

12、：等比中项还要关注等比中项还要关注项的关系项的关系，奇数项奇数项的的符号相同符号相同，偶数项偶数项的的符号相同符号相同.解法2：所以 变式变式 在等比数列在等比数列an中，中，(1)a11，a48，求，求an；(2)an625，n4，q5，求，求a1；(3)a2a518，a3a69，an1，求，求n.课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）例例2 数列数列an共有共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于项等于80,第第2项与第项与第4项的和等于项的和等于136，第，第1项与第项与第5项的和等于项的和等于132.求这个数

13、列求这个数列.课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）(1)如果是三个数成等比数列，可设为 ，a，aq【归纳总结】对称设元法对称设元法(2)如果是四个数成等比数列，可设为 ，aq，aq31.与等差数列有关的数的设元技巧：2.与等比数列有关的数的设元技巧：(1)如果是三个数成等差数列，可设为a-d，a，a+d(2)如果是四个数成等差数列，可设为a+2d，a-d，a+d，a+2d课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）1.已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两个之积为16，前后两个数之

14、积为-128.求这四个数.解：设所求四个数为由题意知解得因此所求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.2 有有四四个个实实数数，前前三三个个数数依依次次成成等等比比数数列列，它它们们的的积积是是8；后后三三个个数数依依次次成成等等差数列，它们的积为差数列，它们的积为80，求出这四个数，求出这四个数课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（2）课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）形形等差数列等比数列类类比比抽象概念代数运算代数运算归纳法归纳法累累乘乘法法累累加加法法通项公式函数角度数数一次函数指数函数数数形形课堂小结课堂小结a1a3a5a7q28

15、20.22.已知已知an是一个公比为是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.416500.080.0032课本课本P31课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）3.在等比数列在等比数列an中，中，a1a336，a2+a4 60.求求a1和公比和公比q.课本课本P31课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）4.对于数列对于数列an,若点若点(n,an)(nN*)都在函数都在函数y=cqx的图象上，其中的图象上，其中c,q为常数，且为常数，且c0,q0,q1，试判断数列，试判断数列an是否是等比数列，并证明你的结论是否是等比数列，并证明你的结论.课本课本P31课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）课题课题 4.3.1 等比数列的概念（等比数列的概念（1）作业：