【数学】余弦定理与正弦定理 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、6.4.3余弦定理和正弦定理余弦定理千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？AB120a=4kmc=?kmCb=6km 如图6.4-8，在ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c怎样用a、b和C表示c？分析：因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究.设图图6.4-86.4-8那么所以同理可得余弦定理向量法余弦定理向量法余弦定理的文

2、字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 你能用其他方法证明余弦定理吗？()在ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c怎样用a、b和C表示c？余弦定理建系法余弦定理思考思考：利用余弦定理可以解决什么问题？：利用余弦定理可以解决什么问题？已知两边及其夹角求第三边（已知两边及其夹角求第三边（SAS型型）重点：解三角形 三角形的三个角三角形的三个角A A、B B、C C和它们的对边和它们的对边a a、b b、c c叫做三角形的叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形

3、做解三角形。(1)(教材P43例5改编)在ABC中，已知b3，c2 ，A30，求a的值；例1由余弦定理，得a2b2c22bccos A(2)在ABC中，已知b ，c ，B30，求a的值.由余弦定理b2a2c22accos B，思考思考：利用余弦定理可以解决：利用余弦定理可以解决SSASSA型的问题吗？型的问题吗？跟踪训练1(1)已知在ABC中，a1，b2，cos C ，则c .23由余弦定理a2b2c22bccos A，得522b222bcos A，余弦定理推论思考思考：利用余弦定理可以解决：利用余弦定理可以解决SSSSSS型的问题吗？型的问题吗？例2在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角

4、的大小.跟踪训练2acb，A为最大角.由余弦定理的推论，得又0A180，A120，最大角A为120.大角对大边，大边对大角余弦定理判断三角形的形状在ABC中，若acos Bacos Cbc，试判断该三角形的形状.例3由acos Bacos Cbc并结合余弦定理，整理，得(bc)(a2b2c2)0.因为bc0，所以a2b2c2，故ABC是直角三角形.先化边为角，或者化角为边 在ABC中，A60，a2bc，则ABC一定是A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形跟踪训练3在ABC中，因为A60，a2bc，所以由余弦定理可得，a2b2c22bccos Ab2c2bc，所以bcb2c

5、2bc，即(bc)20，所以bc，结合A60可得ABC一定是等边三角形.正弦定理思考思考：怎么解决：怎么解决AASAAS型的解三角形问题？型的解三角形问题？ABCacb正弦定理思考思考：怎么解决：怎么解决AASAAS型的解型的解三角形三角形问题？问题？正弦定理思考思考：怎么解决：怎么解决AASAAS型的解型的解三角形三角形问题？问题？正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理思考思考：你能用向量的方法证明正弦定理吗？：你能用向量的方法证明正弦定理吗？证明：证明：作外接圆O,过B作直径BC,连AC,OCcbaCBA正弦定理 你能用其他方法证明正弦定理吗？正弦定理sin Asi

6、n Bsin C2Rsin B2Rsin C2Rsin A正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即思考：思考：利用正弦定理可以解决三角形的哪些问题？利用正弦定理可以解决三角形的哪些问题？已知两角和一边，解三角形已知两角和一边，解三角形已知两边和其中一边的对角，解三角形已知两边和其中一边的对角，解三角形(教材P47例7改编)在ABC中，已知B30，C105，b4，解三角形.例1因为B30，C105，所以A180(BC)180(30105)45.正弦定理AAS解三角形跟踪训练1在ABC中，已知a8，B60，C75，求A，c

7、的值.A180(BC)180(6075)45.正弦定理ASA解三角形例20CbababA为钝角一解无解无解A为直角一解无解无解A为锐角一解一解bsin Aab两解absin A一解a45，所以BC180，故三角形无解.反思感悟(2)在ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解ab无解无解一解absin A两解absin A一解absin A无解(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是A.a8，b16，A30，有一解B.b18，c20，B60，有两解C.a5，c2，A90，无解D.a30，b25，A150，有一解跟踪训练3