【数学】一元线性回归模型及其应用教学课件 2023-2024学年高二数学（人教A版2019选择性必修第三册）.pptx

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1、选修三选修三选修三选修三 第八章第八章第八章第八章 成对数据的统计分析成对数据的统计分析成对数据的统计分析成对数据的统计分析8.2.1 一元线性回归模型一元线性回归模型课时目标：课时目标：研究当两个变量线性相关时，如何研究当两个变量线性相关时，如何利用利用成对成对样本数据样本数据建立适建立适当的统计模型当的统计模型，能结合具体实例，能结合具体实例了解模型及其参数的含义了解模型及其参数的含义.提出问题确定研究变量收集数据画散点图求回归模型做出预报(一元线性回归模型)在统计学中，回归分析指的是定量分析两种或两种以上变量间相关关系的一种统计分析方法。回归分析按照涉及的变量的个数，分为一元回归分析和多

2、元回归分析。回归回归回归分析回归分析定相关关系计算r问题背景确定两个变量的相关关系及强弱生活经验告诉我们，生活经验告诉我们，儿子身高儿子身高与与父亲身高父亲身高存在存在正线性相关正线性相关关系，即父亲的身高较关系，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高高时，儿子的身高通常也较高.以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，由表中的成对样本数据作散点图，如图所示.可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数为r0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了为

3、了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示，得到的数据如表所示.问题提出建立两个相关变量的关系式思考思考1：根据上表中的数据或散点图，儿子身高和父亲根据上表中的数据或散点图，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗可以用函数模型刻画吗？存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况.也存在儿子身高相同，而父亲身高不同的情况。不符合函数的定义，可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，不能用函数模型刻画.思考思考2：为什么为什么儿子身高和父亲身高有相关关系而不是函数关系儿子身高和父亲身

4、高有相关关系而不是函数关系？因为影响儿子身高的因素除了父亲身高这个主要因素外，还受其他随机因素的影响，如母亲身高、生活环境、饮食习惯、锻炼时间等.思考思考3：考虑上述随机因素的影响考虑上述随机因素的影响，你能否你能否用类似于函数的表达式用类似于函数的表达式来表示父亲身高来表示父亲身高x和儿子身高和儿子身高Y的关系？的关系？问题解决建立两个相关变量的统计模型用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差.假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值2，则它们之间的关系可以表示为：称为Y关于x的一元线性回归模型一元线性回归模型.Y称为因变量或响应变量；x称为自变量或解释变量；a称为截距参

5、数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.思考思考4：为什么要假设为什么要假设E(e)=0，而不假设它为某个不，而不假设它为某个不为为0的常数？的常数？因为随机误差表示大量已知和未知的影响因素之和，因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，它们会相互抵消，所以随机误差的期望值应为0.理解模型一元线性回归模型的实际意义用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差.则它们之间的关系可以表示为下面的一元线性回归模型：思考思考5：你能结合身高案例解释上述模型的意义吗？你能结合身高案例解释上述模型的意义吗？由于E(Y)=bx+a，故模型可解释为父亲身高为xi的所有男大学生的身高(子总

6、体)的均值E(Y)为bxi+a，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系。yi不一定为bxi+a，yi=bxi+a+ei，bxi+a是子总体的均值，yi只是该子总体中的一个样本值，这个样本值yi与均值E(Y)有一个误差项ei=yi(bxi+a).思考思考6：父亲身高为父亲身高为xi的的某一名某一名男大学生，他的身高男大学生，他的身高yi一定为一定为bxi+a吗？吗？理解为理解模型一元线性回归模型的实际意义思考思考7：你能结合你能结合上述身高案上述身高案例解释模型中例解释模型中产生随机误差项产生随机误差项e的原因的原因吗？吗？(1)存在其他可能影响儿子身高Y的因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯

7、和锻炼时间等；(2)测量身高时，可能存在由测量工具、测量精度导致的测量误差；(3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，而利用一元线性回归模型来近似刻画这种关系，这种近似产生了误差.用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差.则它们之间的关系可以表示为下面的一元线性回归模型：理解为若Y与x呈现线性相关，则Y关于x的一元线性回归模型一元线性回归模型为：Y称为因变量或响应变量；x称为自变量或解释变量；a，b为参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.可理解为E(Y)=bx+a课堂小结yi不一定为bxi+a，观测值yi与子总体的均值E(Y)有一个误差项ei=yi(bxi+a).

8、选修三选修三选修三选修三 第八章第八章第八章第八章 成对数据的统计分析成对数据的统计分析成对数据的统计分析成对数据的统计分析8.2.2 一元线性回归模型参数的一元线性回归模型参数的最小二乘估计最小二乘估计课时目标：课时目标：利用利用最小二乘法最小二乘法和成对和成对样本数据样本数据估计估计一元线性回归模型一元线性回归模型Y=bx+a+e中中的的参数参数a和和b；了解最小二乘法的原理，能利用该原理；了解最小二乘法的原理，能利用该原理推导参数估计推导参数估计值的计算公式值的计算公式.提出问题确定研究变量收集数据画散点图建立回归模型做出预报(一元线性回归模型)定相关关系计算r求解回归直线方程y=bx+

9、a(估计参数a,b)问题提出由散点图寻找一条适当的直线思考思考1：如何如何从散点图中从散点图中寻找到一条适当的直线，使得寻找到一条适当的直线，使得这些这些散点在整体上与这条直线最接近散点在整体上与这条直线最接近?方案1：先画出一条直线，测量出各点与直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置.测量出此时的斜率和截距，就可得到一条直线，如图.方案2：在图中选择两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图.方案3：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距.上面这些方法虽然有一定的

10、道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径.问题提出利用样本数据寻找一条适当的直线思考思考2：如何如何利用利用成对样本数据成对样本数据，用数学方法刻画，用数学方法刻画“从从整体整体上看，各散点与直线上看，各散点与直线最接近最接近”?析：可令n个样本点与直线的竖直距离之和最小y=bx+a问题分析利用样本数据寻找一条适当的直线最最小小二二乘乘法法经验回归直线及其方程经验回归直线及其方程问题解决最小二乘法求经验回归方程图形图形推导推导模型运用求身高案例的经验回归方程模型理解身高案例的经验回归方程含义2：父亲身高为176 cm的所有儿子身高的均值的

11、估计值为177 cm.斜率可以解释为父亲身高每增加1 cm，其儿子身高平均增加0.839 cm.含义1：由方程作出推测，当父亲身高为176 cm时，儿子身高一般在177 cm左右.思考思考5：根据方程，父亲身高为多少时，长大成人的儿根据方程，父亲身高为多少时，长大成人的儿子身高和父亲身高一样？子身高和父亲身高一样？模型理解身高案例的经验回归方程高个子父亲有生高个子儿子的趋势，矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势，思考思考6：分析案例中的经验回归方程分析案例中的经验回归方程可得到什么结论？可得到什么结论？儿子身高有向平均身高回归的趋势英国统计学家高尔顿把这种后代身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”(

12、自阅课本P122-123了解“回归的含义”)随机抽查了205对夫妇及其928个成年子女的身高数据记中亲身高为X，子女身高为Y女子身高1.08换算为男子升高父母身高取平均数得中亲身高新知：残差的定义父亲身高父亲身高x174170173169182172180172168166182173164180儿子身高儿子身高观测值观测值yi176176170170185176178174170168178172165182174.943 171.587 174.104 170.748 181.655 173.265 179.977 173.265 169.909 168.231 181.655 174.1

13、04 166.553 179.9771.057 4.413-4.104-0.748 3.345 2.735-1.977 0.735 0.091-0.231-3.655-2.104-1.553 2.023残差表：残差表：残差残差=观测值预报值观测值预报值残差之和为残差之和为0.027(计算或测量时数据四舍五入计算或测量时数据四舍五入)新知：残差分析2.残差的作用：残差的作用：判断回归模型刻画数据的效果；发现原始数据中是否存在可疑数据，对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策.1.残差分析途径：残差分析途径：列残差表、作残差图.以以残差残差为纵坐标，以为纵坐标，以样本编号样本

14、编号(或或x)为横坐标为横坐标.若存在某几个样本点的残差绝对值较大，则为可以数据，若存在某几个样本点的残差绝对值较大，则为可以数据，需予以纠正或剔除，再重新建立回归模型需予以纠正或剔除，再重新建立回归模型.残差图：残差图：残差残差有正有负有正有负，比较均比较均匀匀地分布在横轴的两边，地分布在横轴的两边，说明残差比较符合一元说明残差比较符合一元线性回归模型中对于随线性回归模型中对于随机误差的假定机误差的假定带状区域带状区域宽度越窄宽度越窄，残差，残差绝对值越小绝对值越小，且，且较均匀较均匀地落在横轴附近地落在横轴附近，说明回归方程预报的，说明回归方程预报的精度越高精度越高.理解辨析残差残差与观测

15、时间有线性关系，应将时间变量纳入模型残差残差与观测与观测时间时间有有非线性关系非线性关系，应在，应在模型中加入时间的模型中加入时间的非线性函数部分非线性函数部分残差的方差残差的方差不是一不是一个常数，随观测个常数，随观测时时间间的变大而变大的变大而变大残差比较均匀地分残差比较均匀地分布在以取值为布在以取值为0 0的横的横轴为对称轴的水平轴为对称轴的水平带状区域内带状区域内理解运用残差练习1.已知两个线性相关变量与的统计数据如下表：x3456y2.534mB残差的概念残差的概念回归直线过样本点中心回归直线过样本点中心理解运用残差练习2.2020年初，新型冠状病毒引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机

16、构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第x周12345治愈人数y(单位：十人)38101415B课堂小结1回归分析的流程课堂小结2经验回归方程的理解解释变量的取值不能离样本数据的范围太远解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.一般解释变量的一般解释变量的取值在样本数据范围取值在样本数据范围内内，经验回归方程的预报效果会比较好，经验回归方程的预报效果会比较好，超出这个范围越远，预报的效果越差超出这个范围越远，预报的效果越差.不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的

17、精确值.它是响应变量的可能取值的平均值它是响应变量的可能取值的平均值.经验回归方程只适用于经验回归方程只适用于所研究的样本的总体所研究的样本的总体.如，根据如，根据我国我国父亲身高与儿子身高父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程，不能用来描述的数据建立的经验回归方程，不能用来描述美国美国父亲身高与儿子身高之间的关系父亲身高与儿子身高之间的关系.根据生长在根据生长在南方南方多雨地区的树高与胸多雨地区的树高与胸径径的数据建立的经验回归的数据建立的经验回归方程方程不能用来描述不能用来描述北方北方干旱地区的树高与胸干旱地区的树高与胸径径之间的关系之间的关系.只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的

18、经验回归方程才有实际意义，只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有实际意义，否则求出的经验回归方程毫无意义否则求出的经验回归方程毫无意义.经验回归方程一般都有时效性经验回归方程一般都有时效性.例如，根据例如，根据20世纪世纪80年代年代的父亲身高与儿子身高的的父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程，不能用来描述数据建立的经验回归方程，不能用来描述现在现在的父亲身高与儿子身高之间的关系的父亲身高与儿子身高之间的关系.综合应用树高与胸径的关系P113-例例.经验表明，一般树的胸径经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上树的主干在地面以上1.3 m处的直径处的直径)越大，树越大

19、，树就越高就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据(如下表如下表)，试根据，试根据这些数据建立这些数据建立树高树高关于关于胸径胸径的经验回归方程的经验回归方程.编号编号123456789101112胸径胸径d/cm18.120.122.224.426.028.329.632.433.735.738.340.2树高树高h/m18.819.221.021.022.122.122.422.623.02

20、4.323.924.7解：以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图，可见两个变量呈正线性相关，因此可用一元线性回归模型刻画树高h与胸径d之间的关系.综合应用树高与胸径的关系根据经验回归方程，由表中的胸径d的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)：以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图如下：残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，可以根据经验回归方程由胸径预测树高.综合应用非线性关系的回归模型非线性关系的回归模型思想：变换为线性回归模型析：以世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图如下：问题问题.(P

21、115-119)人们常将男子短跑的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100 m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100 m世界纪录产生年份的经验回归方程.在图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，在图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用似乎可用一元线性回归模型一元线性回归模型建立经验回归方程建立经验回归方程.思考思考1：仔细观察图中散点与直线的位置关系，你能看出其中存在的问题吗？仔细观察图中散点与直线的位置关系，你能看出其中存在的问题吗？以经验回归直线为参照，第以经验回归直线为参照，第1个散点个散点远离远离经验回归直线，经

22、验回归直线，且且前后两时间段前后两时间段的散点都在经验回归直线的的散点都在经验回归直线的上方上方，中中间时间段间时间段的散点都在经验回归直线的的散点都在经验回归直线的下方下方.这说明这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.思考思考2：你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗？的分布特征吗？散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近.已学的函数_的图象具有类似的形状特征.注意到短跑的第1个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线y=c1+c

23、2ln(t1895)的周围，其中c1和c2为未知参数，且c20.思考思考1：仔细观察图中散点与直线的位置关系，你能看出其中存在的问题吗？仔细观察图中散点与直线的位置关系，你能看出其中存在的问题吗？y=lnx、y=lgx思考思考3：如何利用成对数据估计参数如何利用成对数据估计参数c1和c2？注意到短跑的第1个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线y=c1+c2ln(t1895)的周围，其中c1和c2为未知参数，且c20.非线性经验回归函数精确到精确到0.01作出(xi，yi)的散点图，可见x与y呈现出很强的负线性相关特征.思考思考3 3：如何利用成对数据估计参数如何利用成对数据估

24、计参数c1和c2？注意到短跑的第1个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线y=c1+c2ln(t1895)的周围，其中c1和c2为未知参数，且c20.非线性经验回归函数该经验回归方程对于表中的成对数据该经验回归方程对于表中的成对数据xi，yi具有非常好的拟合精度具有非常好的拟合精度.x和和Y之间的线性相关程度比之间的线性相关程度比t和和Y的线的线性相关程度强得多性相关程度强得多.由图可看出，非线性经验回归方程由图可看出，非线性经验回归方程对对于原始数据的拟合效果远远好于线性经于原始数据的拟合效果远远好于线性经验回归方程验回归方程思考思考4：你能否通过你能否通过残差分析残差分析来

25、比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏？方程方程各项残差的绝对值各项残差的绝对值远远小于方程远远小于方程，即方程，即方程的拟合效果要远远好于的拟合效果要远远好于.一般情况下，直接一一比较两个模型的各项残差绝对值比较困难，因为对于某些一般情况下，直接一一比较两个模型的各项残差绝对值比较困难，因为对于某些散点，模型散点，模型的残差的绝对值比模型的残差的绝对值比模型的小，而另一些散点的情况则相反的小，而另一些散点的情况则相反.方案二：通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果.在残差平方和最小的标准下，非线性回归模型的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果.方

26、案一：通过比较残差的绝对值之和来比较两个模型的效果.方案二：通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果.经验回归方程的拟合效果要优于经验回归方程的拟合效果.方案三：通过比较决定系数R2来比较两个模型的效果.残差平方和残差平方和总偏差平方和总偏差平方和(与回归方程无关)(与回归方程有关)R2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好.经验回归方程的刻画效果比经验回归方程的好很多.新知决定系数R2R2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好.样本相关系数r刻画线性相关关系的正负和强弱；决定系数R2刻画模型拟合效果的好坏.在含有1个解释变量的线性模型中，R2=r2.方案四：可用新的观测数据来检验模型的拟合效

27、果.方程对于新数据的预报效果远远好于方程事实上，我们还有事实上，我们还有1968年之后年之后的男子短跑的男子短跑100 m世界纪录数据世界纪录数据.2020全国卷I-5某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)得到下面的散点图：由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）x2023252730z22.4334.6对数变换对数变换z=lny练习2.2020年初，新型冠状病毒(COVID-19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y关于x的二次回归方程为y=6x2+a，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为()A0 B1C4 D5周数周数(x)12345治愈治愈人数人数(y)2173693142练习3.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地展开.某地交警部门加强执法管理期间，对某路口不带头盔的骑行者进行了统计，得到如下数据（其中y表示第x天不戴头盔的人数）：x1248y11549325END