【数学】向量的数乘运算课件 2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、第六章 平面向量及其应用6.2.3 向量的数乘运算学 习 任 务01了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义（重点）理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算（重点）理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题（难点）020403理解实数相乘与向量数乘的区别（易混点）复习回顾向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则：l同起点，和向量由起点指向对角线端点同起点，和向量由起点指向对角线端点l适用于适用于不共线的向量求和不共线的向量求和.l首尾相接，和向量由起点指向终点首尾相接，和向量由起点指向终点.向量加法的三角形法则：向量加法的三角形法则：l

2、适用于适用于任意非零向量求和任意非零向量求和.本质上一致，平行四边形法则中运用了相等向量的平移。Cba+baBABbaACa+bO复习回顾aOABb.向量减法的三角形法则向量减法的三角形法则共起点，连终点，指向被减向量.注意ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点，这就是向量减法的几何意义01探索新知探索新知狗、猫和老鼠狗、猫和老鼠老鼠由B处以6 m/s的速度向正东奔跑，狗由A处以6 m/s的速度向正西奔跑，猫由A处以5 m/s的速度向正东奔跑，问：老鼠和狗能否相遇？猫和老鼠能否相遇？可以用向量解决这个问题吗？探索新知已知非零向量a，作出a+a+a和（a）+（a）+（a）.它们的长度和方向

3、分别是怎样的？探究探究？向量的加法POCABQMN上述这种实数与向量的乘法运算称为上述这种实数与向量的乘法运算称为向量的数乘向量的数乘.3a的方向与的方向与a相同，长度是相同，长度是a的的3倍倍探索新知思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识？探索新知 如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？思考思考？注意：注意：b3.5 a，b 与a的方向相同，b的长度是a的长度的3.5倍2.实数和向量可以相乘，但不能相加减，+a，a无意义探索新知思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识？0可看成实数0与任意向量a的乘积，a的相反向量可看成

4、1与a的乘积归纳总结：探索新知数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？a3(2)a2(+)222+2探索新知数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？向量数乘的运算律：探索新知推广：探索新知例5 计算（1）（3）4 a （2）3（a b）2（a b）a （3）（2 a 3 b c）（3 a 2 b c）解：（1）原式（34）a 12 a （2）原式3 a 3 b 2 a 2 b a

5、5 （3）原式2 a 3 b c 3 a 2 b c a 5 b 2 c探索新知规律总结(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”都是指向量，实数看成向量的系数.向量也可以通过列方程来解，即把所求向量当成未知量，利用解代数方程的方法求解.(2)要清楚向量数乘与实数乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.探索新知探索新知 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？探究探究？可以发现，实数与向量的积与原向量共线可以发现，实数与向量的积与原向量共线探索新知lab也就是说，也就是说，位于同一直

6、线上的向量可以由位于这位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示条直线上的一个非零向量表示探索新知探索新知向量共线定理中为什么规定向量共线定理中为什么规定a0 呢呢？探索新知探索新知探索新知02题型突破题型突破题型一题型一向量的线性运算向量的线性运算例1(1)若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.x4b3a3x3a2x4a4x4a4b0 x3a4b04b3a题型突破(2)化简下列各式：2(5a4bc)3(a3bc)7a.原式18a3b9a3b9a.原式10a8b2c3a9b3c7abc.题型突破向量也可以通过列方程来解把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解在运

7、算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算u向量数乘运算的方法向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数方法总结题型突破题型题型二二向量共线定理向量共线定理1如何证明向量a与b共线？提示：要证明向量a与b共线，只需证明存在实数，使得ba(a0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可探究问题2如何证明A，B，C三点在同一直线上？题型突破A，B，D三点共线思路探究题型突破思路探究A，B，P三点共线观察x+y的值题型

8、突破多维探究题型突破2，k8.2e1ke2e14e2.题型突破变式3 试利用本例(2)中的结论判断下列三点是否共线.231，P，A，B三点共线；题型突破1证明或判断三点共线的方法方法总结题型突破2利用向量共线求参数的方法方法总结判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得ab(b0)已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得的值题型突破题型题型三三用已知向量表示未知向量用已知向量表示未知向量D题型突破题型突破多维探究题型突破ab题型突破方法总结u用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程03当堂检测当堂检测当堂检测当堂检测当堂检测当堂检测当堂检测课堂小结1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的3判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数，使ba.若存在，则共线；不存在，则不共线课堂小结证明三点共线问题，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线若a与b不共线且ab，则0.特别注意